Momenti nella storia dei logaritmi

Momenti nella storia dei logaritmi

Riccardo Rosso

Dipartimento di Matematica, Universit`a di P

Sommario

• Preistoria

• Nascita dei logaritmi

• Logaritmi come ausilio per il calcolo

• Logaritmi e geometria

• Logaritmi e serie

• Logaritmi dei numeri complessi

Preistoria : Istanze teoriche Archimede (287(?)-212 a.C.), Arenario

Proporzione continuata a partire dall’unit`a

a

= 1, a

= q, a

= q

, a

= q

, ....(a

: a

= a

: a

= a

: a

= ...) a

× a

= a

⇒ q

× q

= q

Al prodotto di elementi di una progressione geometrica corrisponde la

somma degli esponenti che formano una progressione aritmetica

Michael S

(1487 ca-1567), Arithmetica Integra (1544)

• estende la regola ad esponenti negativi

1. Nelle progressioni aritmetiche l’addizione corrisponde alla moltiplicazione in quelle geometriche...

2. La sottrazione nelle [progressioni] aritmetiche corrisponde alla divisione nelle geometriche....

3. La moltiplicazione semplice (cio`e di un numero per un numero)

quando sia eseguita in una [progressione] aritmetica, corrisponde alla moltiplicazione di un numero per se stesso nelle progressioni

geometriche. Cos`ı alla moltiplicazione per due in progressioni aritmetiche corrisponde la moltiplicazione quadrata in quelle geometriche....

4. La divisione eseguita in progressioni aritmetiche corrisponde alle

estrazioni di radici nelle progressioni geometriche.

Preistoria : Il peso dei calcoli

Operazioni critiche: moltiplicazione con molte cifre, estrazioni di radici Per alleviare la fatica:

Tavole numeriche

Tabula Tetragonica (1592), Giovanni Antonio M

(1550-1617) Contiene tutti i quadrati degli interi da 1 ad 11000

Come si usa per calcolare √

43 = 6.55743...

(6557)

= 42994249 : 10

p42, 994249 ≈ √

43 ' 6, 557 Metodo tradizionale

√ 43 = p

6

+ 7 = 6 r

1 + 7

36 ' 6



1 + 7 72



' 6, 583

Formule di prostaferesi

sin α cos β = 1

2 [sin(α + β) + sin(α − β)]

Trasformano prodotti in somme Dispositivi automatici

Bastoncini di N

(Rabdologia, 1617)

Come si usano per eseguire 357 × 249

357 × 249 =?

3

0 6

0 9 1

2

1 5 1

8 2

1 2

4 2

7 357× 2 = 714

357× 4 = 1428

357× 9 = 3213 3213

1428 714 88893

5

1 0

1 5 2

0

2 5 3

0 3

5 4

0 4

5 7

1 4

2 1 2

8

3 5 4

2 4

9 5

6 6

3

2

4

9

Un prodotto `e ridotto ad una somma

Nascita dei logaritmi

Chi? John N

(N

, 1550-1617) [Jobst B ¨

(1552-1632)]

Quando? 1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usu, in utraque Trigonometria; ut etiam in omni Logistica Mathematica,

Amplissimi, Facillimi & expeditissimi explicatio.

Contiene definizioni, risultati principali ed applicazioni.

Nell’edizione del 1620 il titolo cambia leggermente:

Logarithmorum Canonis Descriptio seu arithmeticarum supputationum mirabilis abbreviatio....,

1617 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio

Contiene definizioni, dimostrazioni e i dettagli sulla costruzione delle

Origine di un nome

Logaritmo `e vocabolo composto da rapporto (λoγoν) e numero

( αριθµoς), quasi a dire numero di rapporti; ci`o che ben esprime la realt`a ´ delle cose.

(Nicolaus M

, Logarithmotechnia, 1668)

Wilhelm M

(1850) logaritmo `e l’accostamento di λoγιστ ικoς ed

´

αριθµoς: numeri per il calcolo (zum Rechnen dienliche).

Caspar P

(1553) aveva introdotto la parola Logarithmanteia,

logaritmomanzia in tutt’altro contesto.

Che cosa `e (o non `e) un logaritmo neperiano Definizione poggia su un modello cinematico

Si considerano due punti: a, mobile di moto uniforme (arithmeticus) su una semiretta bi

g, mobile di moto geometrico su un segmento ST di lunghezza finita R = 10

: sinus totus, raggio della circonferenza trigonometrica.

g, partendo da T , percorre in tempi uguali segmenti di lunghezza proporzionale alla sua distanza da S.

T 1

g

2 g

3 g

4 5 6

S

T 1 = βT S 12 = β1S, 23 = β2S, 34 = β3S, ....

T 1, 12, 23, ..., percorsi tutti nello stesso intervallo di tempo.

b

a a

c i

g g

d S

T

y(t) := bc, x(t) := dS

y(0) = 0, x(0) = R, entrambi con la stessa velocit`a v

Definizione: il logaritmo neperiano di dS `e pari a bc: y = nl (x).

Conseguenza: nl (R) = nl(10

) = 0 mentre nl (1) = 161180957 6= 0 . Propriet`a fondamentale: Se a : b = c : d allora

nl (a) − nl (b) = nl (c) − nl (d)

proportionatorum sinuum sunt aequi-differentes artificiales.

ab : a = b : 1 ⇒ nl (ab) = nl (a)+nl (b)−nl (1) 6= nl (a)+nl (b) !!!

Perch´e ?

Ogni teorema di trigonometria era scritto come proporzione in cui uno dei termini era il sinus totus R

R : a = b : c Passando ai logaritmi (neperiani)

nl (c) = nl (a) + nl (b) si recupera la trasformazione di prodotti in somme.

In termini moderni

y(x) = nl x = R(ln R − ln x) = ln  R x



= R log

e

x R R = 1 ⇒ nl (x) = log

e

x

Osservazioni

• N

introduce i logaritmi come funzione diretta

• Sistema logaritmico: progressione aritmetica associata ad una progressione geometrica

• Il modello cinematico di N

fu abbandonato (menzionato da Colin M

L

)

• Nuova definizione di logaritmi:

non `e sconveniente riferirsi ai logaritmi come a dei compagni equidifferenti di numeri proporzionali

(B

, Arithmetica Logarithmica)

B

e N

riconoscono pi`u semplici i logaritmi con

log 1 = 0

Logaritmi definiti come funzione inversa dell’esponenziale

• carteggio L

-Johann B

(fine ’600-inizio ’700);

• su rivista (1771, postumo): William J

(1675-1749)

1. Ogni numero x `e esprimibile da un’unica potenza di un medesimo numero radicale r.

Infatti un numero qualsiasi si trova da qualche parte nella scala delle diverse potenze del numero radicale r i cui indici sono m − 1, m − 2, m − 3, ecc. dove non solo vengono espressi i numeri r

, r

, ecc.

ma anche ogni numero intermedio x `e rappresentato da r con un appropriato indice z.

L’indice z `e detto il logaritmo del numero x. (r

= x)

• Su un manuale (1685): Algebra, John W

(1616-1703)

1 r rr r

r

r

r

ecc.

0 1 2 3 4 5 6 ecc. ,

“Questi esponenti sono detti logaritmi e sono numeri artificiali che sono messi in corrispondenza ai numeri naturali in modo che all’addizione o alla sottrazione dei primi corrispondano la moltiplicazione o la divisione dei secondi.”

Leonhard E

(E

, 1707-1783) Introductio in Analysin Infinitorum (1748):

“il logaritmo di un qualsiasi numero y `e quell’esponente della potenza a

tale che a

`e uguale ad y”

Compilatori di tavole

N

Henry B

:

Arithmetica Logarithmica (I ed. 1624, II ed. 1628, Adriaan V

) Logaritmi briggsiani ≈ logaritmi in base 10

Contenuti

• Algoritmo della radice quadrata

• Schemi alle differenze finite

• tecniche di interpolazione

Altri compilatori: Johannes K

, Juan C

L

C

: costruire un sistema logaritmico che coniughi i vantaggi di

quello neperiano e di quello briggsiano.

Logaritmi e geometria

• Spirale logaritmica: Evangelista T

(1608-1647)

• Curva logaritmica: Evangelista T

, Christiaan H

(1629-1695)

• Logaritmi ed iperbole

1 Gregorio di S. V

(1584-1667):

Opus Geometricum de Quadratura circuli et sectionum coni (1647) 2 Alfonso Antonio

S

(1618-1667):

Solutio problematis a R.P. Marino Mersenno minimo propositi (1649) 3 Nicolaus M

(1620-1687): Logarithmotechnia (1668)

5 James G

(1638-1675): Exercitationes Geometricae (1668)

4 Johann B

I, Wilhelm Gottlieb L

: d ln x =

(1697)

Gregorio di S. V

Lib. VI, Prop. CIX Siano AB ed AC gli asintoti di un’iperbole

(equilatera) DEF. Si suddivida AC in modo che AG, AH, AI, AK ed AC formino una progressione geometrica.

A B

C F G

D

H E

I L

K M

Si traccino i segmenti DG, EH, LI, MK ed FC paralleli all’asintoto AB. I

trapezi curvilinei DH, EI, LK ed MC sono equivalenti.

segmenti: progressione geometrica ⇒ aree: progressione aritmetica Propriet`a logaritmica!

James G

:

Dimostrazione rigorosa quadratura iperbole di M

Nicholaus M

(1668):

Logaritmi naturali: compaiono nella quadratura dell’iperbole.

logaritmi tabulari: logaritmi di B

.

La proposta didattica di Felix K

(Elementar Mathematik vom h¨oheren Standtpunkte aus I Band, 1908) K

lamenta il distacco tra insegnamento (Schulbetrieb) della

matematica ed il progresso della ricerca (vorw¨artsgehende Forschung) nella matematica del XIX secolo.

Vorrei ancora una volta riassumere brevemente come ritengo debbano

essere introdotti i logaritmi nella scuola in modo semplice e naturale: la

regola somma `e che il principio corretto (richtige quelle) per introdurre

nuove funzioni risiede nella quadratura di curve note. Ci`o `e conforme,

come ho mostrato, sia alle circostanze storiche, sia al modo di procedere

nelle parti pi`u avanzate della matematica (ad es. le funzioni ellittiche)

Realizzazione della proposta di Felix K

Rihard S

(1909) segue le linee direttive di K

C⁰D⁰ = ^OC_OA⁰₀ × A⁰B⁰ = cA⁰B⁰ A

B

C

D xy = 1

A ≡ (1, 1) B ≡ (x, ¹_x) C ≡ (c, ¹_c) D ≡ (d,¹_d)

O A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

• si dividono A

B

e C

D

in n parti uguali: plurirettangoli circoscritti ed inscritti all’arco AB equivalenti agli omologhi per l’arco CD.

• passaggio al limite

• Area s delimitata da x

= 1 ed x

= x ⇒ s := ln x

• Seguono le propriet`a elementari dei logaritmi

• Calcolo di (ln x)

=

• Esponenziale come funzione inversa del logaritmo

La trigonometria iperbolica

• Vincenzo R

(1707-1775)

Opuscula ad res Physicas et Mathematicas pertinentes (1757) Analogie e differenze tra circonferenza ed iperbole

O A

P

x

+ y

= R

x

− y

= R

OA = Cos[2Sett(OPC)]

CA = Sin[2Sett(OPC)]

OD = Cosh[2Sett(OFP)]

DF = Sinh[2Sett(OFP)]

C

D F

Un piccolo ritocco

Abel B

Essai d’un nouvel algorithme des logarithmes (1787-88) dati e incognite

• addizione x + y = z

• sottrazione x + y = z oppure x + y = z

• moltiplicazione xy = z

• divisione xy = z oppure xy = z

• elevamento a potenza x

= z

• estrazione di radice x

= z

• logaritmo x

= z

Logaritmi e serie

1 Le serie come strumento di compilazione pi`u rapida delle tavole logaritmiche.

2 Le serie per definire i logaritmi (Pietro M

)

3 Legami inattesi: la costante di E

-M

Serie e tavole logaritmiche: sempre pi`u veloci!

• Serie di M

(1668): quadratura dell’iperbole

ln(1 ± x) = ±x − x

2 ± x

3 − x

4 + ... (|x| < 1)

• Serie di G

-N

(1668) ln 1 + x

1 − x = 2[x + x

3 + x

5 + ... (|x| < 1) convergenza pi`u rapida.

Esempio: Il calcolo di log 2 (N

) 2 = 1.2 × 1.2

0.8 × 0.9 = (1 + 0.2) × (1 + 0.2)

(1 − 0.2) × (1 − 0.1)

Varianti (Jean Charles

B

, 1733-1799) ln 1 + x

1 − x = 2[x + x

3 + x

5 + ... (|x| < 1) 1 + x = (p − 1)

(p + 2) = p

− 3p +2 1 − x = (p + 1)

(p − 2) = p

− 3p−2 ln 1 + x

1 − x = ln p

− 3p + 2

p

− 3p − 2 = ln 1 +

1 −

ln(p+2)+2 ln(p−1)−ln(p−2)−2 ln(p+1) = 2

"

2

p

− 3p + 1 3

 2

p

− 3p



+ ....

#

p=5,6,7,8: sistema lineare di quattro equazioni per determinare ln 2, ln 3, ln 5, ln 7

Uso di polinomi di grado pi`u alto: Thomas L ` (1810-11)

Un virtuoso: Philippe K

(1851)

Problema: Determinare tutti i logaritmi decimali degli interi da 1 a 10

con l’approssimazione di sette cifre decimali noti solo log 2, log 3, log 7, log 11 e log 13.

log 1 + y

1 − y = 2k[y + y

3 + y

5 + ... (k = log e < 1 2 ) 1 + y

1 − y = 1 + z ⇒ y = z z + 2 log(1 + z) = 2k[ z

z + 2 + 1 3

 z z + 2



+ 1 5

 z z + 2



+ 1 7

 z z + 2



+ ...

z = x

a ⇒ log(1 + z) = log a + x a log(x + a) = log a + 2k

"

x

x + 2a + 1 3

 x

x + 2a



+ 1 5

 x

x + 2a



+ ...

#

Approssimazione di K

Se

<

log(x + a) = log a + 2k x

x + 2a ± ε |ε| < 10

∀x ∈ N = 1, ...., 10

Ora non resta che risolvere questo problema (!)

Preso un numero z ∈ (1, 10

) scriverlo nella forma z = x + a dove a abbia solo 2, 3, 5, 7, 11, 13 come fattori primi e

<

Esempio (X

,1904)

z

= 9546253 = 954, 6253 × 10000

z = 954, 6253 = a + x = 945 + 9, 6253 (945 = 3

× 5 × 7)

I logaritmi definiti come limite

Pietro M

(1625-1686), Geometria speciosa (1659) Siano a ed n numeri naturali.

n-esimo iperlogaritmo di a:

Hyl

(a) := 1

n + 1

n + 1 + 1

n + 2 + .... + 1 na − 1 n-esimo ipologaritmo di a:

hyl

(a) := 1

n + 1 + 1

n + 2 + .... + 1

na − 1 + 1 na .

Hyl

(a) ≥ Hyl

(a) hyl

(a) ≤ hyl

(a) Hyl

(a) − hyl

(a) = 1

n



1 − 1 a



> 0

Definizione

log a := lim

n→∞

Hyl

(a) = lim

n→∞

hyl

(a)

• Questa definizione si pu`o estendere ai numeri razionali;

• bisogna verificare che valgono le propriet`a dei logaritmi I prologaritmi

plog

(a) := 1 + 1

2 + 1

3 + .... + 1 a plog

(a) := 1

a + 1 + 1

a + 2 + .... + 1 2a ...

plog

(a) := 1

(n − 1)a + 1 + 1

(n − 1)a + 2 + .... + 1 na . log a

b =

X

[plog

(a) − plog

(b)]

Esempio a = 2, b = 1

log 2 = 1 − 1

2 + 1

3 − 1

4 + 1

5 − 1

6 + ...

Sembra esserci un legame molto stretto tra i logaritmi e la serie armonica 1 + 1

2 + 1

3 + 1

4 + 1

5 + 1

6 + ....

Questa serie diverge (Nicola O

, ca. 1323-1382)

1 +

+

+

+

+

+

+

+ ...

>

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

molto lentamente

La costante di E

-M

γ := lim

n→∞



1 + 1

2 + 1

3 + .... + 1

n − ln(n + 1)



= lim

n→∞

γ

Significato geometrico

ln(n + 1) =

Z

1 x d x

1

y = _x¹

Significato geometrico γ := lim

n→∞



1 + 1

2 + 1

3 + .... + 1

n − log(n + 1)



= lim

n→∞

γ

X

k=1

1

k = 1 + 1

2 + 1

3 + .... + 1 n

1

1/2

1/3

1/n

La costante di E

-M

γ

=

n

X

k=1

1 k −

Z

1 x dx

1 n + 1

γ = 0.577218...

Il calcolo di γ ln(1 + x) = x − x

2 + x

3 − x

4 + ...

• x = 1/k....

ln(1 + 1

k ) = 1

k − 1

2k

+ 1

3k

− 1

4k

+ ...

• Riordiniamo e sommiamo

n

X

k=1

1 k =

n

X

k=1

ln  k + 1 k



+ 1 2

n

X

k=1

1

k

− 1 3

n

X

k=1

1

k

+ 1 4

n

X

k=1

1

k

− ....

• ln

= ln(k + 1) − ln k...

γ

=

n

X

k=1

1

k − ln(n + 1) = 1 2

n

X

k=1

1

k

− 1 3

n

X

k=1

1

k

+ 1 4

n

X

k=1

1

k

− ....

La ζ di R

(prima di R

) ζ(n) =

∞

X

k=1

1

k

n ∈ N, n > 1 Problema di Basilea: Calcolare ζ(2) = P

k=1 1

k²

=

(E

, 1737) Espressioni esatte per ζ(4), ζ(6), ζ(8), ...., ζ(26) (E

, 1750)

ζ(2n) = (−1)

(2π)

2(2n)! B

B

numeri di B

Non si conoscono espressioni esatte per ζ(2p + 1)

Irrazionalit`a di ζ(3), Roger A

(1978)

Formula di E

-M

L

P

k=1

f (k) = R

1

f (x)dx +

[f (1) + f (n)]+

P

B2k

(2k)!

[f

(n) − f

(1)] + R(f, m) γ = γ

− 1

2n + 1

12n

− 1

120n

+ 1

256n

+ ....

Problema aperto: γ `e razionale o no?

Logaritmi di numeri complessi (1712-1713)

Controversia L

-Johann B

I sui logaritmi dei numeri negativi

(1727-1729)

Carteggio Johann B

I- E

sullo stesso argomento (1745)

Pubblicazione carteggio L

- B

(1747-1749)

E

commenta il carteggio L

-B

elabora la teoria dei logaritmi di numeri complessi

Dubia fluctuant contraria...

Argomento a favore dei logaritmi dei numeri negativi:

(−a)

= a

⇒ log (−a)

= log (a)

⇒ 2 log (−a) = 2 log (a)

⇓

log (−a) = log (a)

Argomento contrario ai logaritmi dei numeri negativi y = ln x ⇐⇒ x = e

Se x = −1

−1 = y

1 + y

1 · 2 + y

1 · 2 · 3 + y

1 · 2 · 3 · 4 + ...

Incompatibile con la scelta x = −1, y = 0

Un salto nel buio

Dopo aver ben soppesato tutte le difficolt`a appena esposte, ritengo che esse provengano dal fatto che noi supponiamo che ogni numero non ha che un logaritmo.

log 1 = 0, α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, ecc.

con α, β, γ.... numeri complessi

√ 1 = ±1

log √

1 = 1

2 log (1) = 0, 1

2 β, 1

2 δ, 1

2 ζ, 1

2 ϑ, ....

log √

1 = log(−1) = 1

2 log (1) = 1

2 α, 1

2 γ, 1

2 ε, 1

2 η, ....

√

1 = 1, −1 ± √

−3 2

log √

1 = 1

3 log (1) = 0, 1

3 γ, 1

3 ζ, 1

3 ι, ecc.

log √

1 = log −1 + √

−3

2 = 1

3 log(1) = 1

3 α, 1

3 δ, 1

3 η, ecc.

log √

1 = log −1 − √

−3

2 = 1

3 log (1) = 1

3 β, 1

3 ε, 1

3 ϑ, ecc.

Problema: come attribuire concretamente infiniti logaritmi ad un numero?

La circonferenza: arrivano i nostri!

Per dimostrare questa pluralit`a infinita di logaritmi corrispondenti ad ogni numero non occorre altro che considerare lo stretto rapporto

esistente tra i logaritmi e gli archi di circonferenza: `e noto infatti che gli archi di circonferenza si possono esprimere tramite logaritmi immaginari e, viceversa, i logaritmi sono esprimibili tramite archi immaginari di

circonferenza. Dunque, siccome il seno od il coseno corrispondono ai numeri e gli archi ai logaritmi, cos`ı come ad uno stesso seno corrisponde ad un’infinit`a di archi distinti, allo stesso modo ad uno stesso numero deve corrispondere un’infinit`a di logaritmi distinti.

x = sin ϕ y = cos ϕ = p

1 − x

dϕ = dx

y = dx

√ 1 − x

x = z √

−1 ⇒, dϕ = dz √

√ −1

1 + z

ϕ = √

−1 ln( p

1 − x

+ x

√ −1 ) ϕ = 1

√ −1 ln(y + √

−1x) ln(cos ϕ + √

−1 sin ϕ) = (ϕ ± 2nπ) √

−1 ⇔ e

= cos ϕ + √

−1 sin ϕ Sur les logarithmes des nombres n´egatifs et imaginaires

(1747, obiezioni di D’A

, pubblicato nel 1862)

De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les logarithmes des nombres negatives et imaginaires (1751)

Contiene una dimostrazione incompleta:

Conclusioni

• Logaritmi come ponte tra logistica e matematica

• Trigonometria pre- e post-logaritmica

• Impatto sui calcoli

The miracolous powers of modern computation are largely due to the invention of logarithms (Florian C

, 1910)

• presente (e futuro): logaritmi discreti e sistemi numerici logaritmici