Universit` a di Pavia - Facolt` a di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale - 19 luglio 2007

Universit` a di Pavia - Facolt` a di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale - 19 luglio 2007

COGNOME NOME

La prova consta di 3 Quesiti a risposta chiusa e 2 Quesiti a risposta semiaperta; la durata della prova `e di 2 ore e 30 minuti. Non ` e permesso consultare testi od appunti, al di fuori di quelli distribuiti dalla Commissione.

Per i quesiti a risposta chiusa, la risposta a ciascuno di essi va scelta esclusivamente tra quelle gi`a date nel testo, annerendo un solo circoletto . Una sola `e la risposta corretta. Qualora sia data pi`u di una risposta allo stesso quesito, nessuna sar` a considerata valida. Per i quesiti a risposta semiaperta, lo studente dovr` a indicare la risposta nello spazio sottostante la domanda. I punteggi per ciascun quesito sono dichiarati sul testo, nel seguente formato {E,NE,A} dove E `e il punteggio assegnato in caso di risposta Esatta, NE quello in caso di risposta Non Esatta e A quello in caso di risposta Assente. L’esito finale della prova `e determinato dalla somma algebrica dei punteggi parziali.

ESITO | | |

Ai sensi del D. Lgs. 30/06/2003, n. 196, si autorizza la pubblicazione online in chiaro dell’esito della prova.

FIRMA:

QUESITI A RISPOSTA CHIUSA

QC1. Trovare la curvatura κ della curva

p(t) − O = t ² e ^t e x + √

3(1 − t ² )e y + sin te z

nel punto corrispondente a t = 0.

{6,-1,0}

Risposta κ = √

3 κ = √

5 κ = √

6 κ = 2 √

2 κ = 4 κ = 2 √

7

QC2. Ad una lamina quadrata omogenea ABC ^′ F di massa m e lato 5ℓ viene asportata una porzione anch’essa quadrata CDEC ^′ di lato ℓ in modo da formare una lamina ad L con bracci uguali. Calcolare il momento di inerzia I n della lamina cos`ı ottenuta rispetto all’asse di simmetria AD.

{6,-1,0}

Risposta

⁵ 4 mℓ ² 16 ⁵ mℓ ^{2 52} 25 mℓ ^{2 272} 75 mℓ ^{2 85} 32 mℓ ^{2 40} 27 mℓ ² QC3. Si consideri il seguente sistema di vettori applicati:







v 1 = e x + e y − e z applicato in P 1 − O ≡ (0, 1, 2), v ² = e x + βe y + e z applicato in P ² − O ≡ (1, 0, 1), v ³ = e x − 2e y + e z applicato in P ³ − O ≡ (1, −1, 0).

Calcolare per quale valore di β il trinomio invariante assume il valore −1

{6,-1,0}

Risposta

β = − ³ 4 β = ³ 2 β = ⁵ 4 β = −4 β = −14 β = −25

QUESITI A RISPOSTA SEMIAPERTA

QA1. In un piano verticale, una lamina omogenea quadrata di massa 2m e lato 2ℓ `e libero di ruotare attorno al punto medio O di AB. Un punto materiale P di massa m `e libero di scorrere lungo il lato CD opposto ad O. Una molla ideale di lunghezza a riposo nulla e costante elastica 2mg/ℓ attrae P verso il punto medio M di CD. Nelle risposte si utilizzino le coordinate lagrangiane ϑ ed s indicate in Figura 2.

QA1.1 Fornire l’espressione dell’energia potenziale totale del sistema {2,0,0}.

QA1.2 Fornire l’espressione dell’energia cinetica totale del sistema {3,0,0}.

QA1.3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni in un intorno della configurazione con s = 0, ϑ = 0. {4,0,0}

QA2. La struttura rigida riportata in Figura 3 ` e composta da due aste: AC avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio ℓ e massa trascurabile, e BC di lunghezza ℓ √

2 e massa 4m, incernierata in C alla prima. La struttura ` e vincolata a terra da un pattino orizzontale in A ed una cerniera in B, posti alla stessa quota a distanza 2ℓ. Il centro della circonferenza cui appartiene AC si trova alla stessa quota di C, sopra AB. In C agisce una forza f = −mge x .

QA2.1 Sia Φ la reazione vincolare in B; calcolare Φ x = Φ · e x {2,0,0} e Φ y = Φ · e y {1,0,0}

QA2.2 Calcolare il momento M A esplicato dal pattino in A{2,0,0}.

QA2.3 Determinare il modulo del momento flettente in M punto medio di AC. {3,0,0}

e x

e y

A B

D C

F E C

n

Fig. 1

O

A

C

P M ϑ

s B

D e x

e y

Fig. 2

e x

e y

g

A B

C

M 2ℓ

f

Fig. 3

QA1.1 ...

QA1.2 ...

QA1.3 ...

QA2.1 ...

QA2.2 ...

QA2.3 ...