Esercitazione per il corso di Ricerca Operativa
Un’industria tessile produce due tessuti T 1 e T 2 usando tre diverse fibre di cotone F 1, F 2 e F 3; i tessuti si differenziano per la diversa percentuale di fibre in essi contenute. Le composizioni dei due tessuti possono infatti variare nel rispetto delle seguenti regole:
Tessuto T 1:
non pi´u del 50% della fibra F 1;
non pi´u del 20% della fibra F 2;
non meno del 15% della fibra F 3.
Tessuto T 2:
non pi´u del 40% della fibra F 1;
non pi´u del 20% della fibra F 3.
Le tre fibre costano rispettivamente £8000, £1200, £5000 al chilogrammo e sono giornalmente disponibili in quantit`a massime di 2500 Kg., 1500 Kg. e 3500 Kg.
rispettivamente. I ricavi dalla vendita dei tessuti ammontano a £8000 al metro per il tessuto T 1 e a £9000 al metro per il tessuto T 2. Con un chilogrammo di fibra si possono realizzare 10 metri di tessuto T 1 e 9 metri di tessuto T 2.
Si formuli un modello di programmazione lineare per la massimizzazione dei ricavi totali.
Analisi sintetica del problema.
ricavo euro/mt F 1 F 2 F 3
8 T 1 ≤50% ≤20% ≥15%
9 T 2 ≤40% ≤20%
costo euro/kg 8 1,2 5
– Variabili di decisione. xij i = 1, 2, 3 j = 1, 2 kg di fibra grezza F i utilizzata per il tessuto T j
utilizzando queste variabili possiamo rappresentare le quantit`a:
Fi= xi1+ xi2 quantit`a di fibra F i utilizzata Tj= rj· (x1j+ x2j+ x3j) quantit`a di fibra F i utilizzata
dove rj`e il rapporto kg/mt e vale 10 e 9 rispetivamente per il tessuto T 1 e T 2.
– Funzione obiettivo. massimizzare guadagno = ricavo -costi max 8T1+ 9T2− (8F1+ 1, 2F2+ 5F3)
max 80(x11+x21+x31)+81(x12+x22+x32)−8(x11+x12)−1, 2(x21+x22)−5(x31+x32) – Vincoli. Sono vincoli di qualit`a
x11≤ 0.5(x11+ x21+ x31) x21≤ 0.2(x11+ x21+ x31) x31≥ 0.15(x11+ x21+ x31) x12≤ 0.4(x12+ x22+ x32) x32≥ 0.2(x12+ x22+ x32) xij≥ 0
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Un’azienda produce un unico prodotto P1. La produzione `e ripartita in quat- tro trimestri. Il costo unitario di produzione varia da trimestre a trimestre secondo la seguente tabella:
costo I0 trimestre 7000 20trimestre 6000 30trimestre 10000 40trimestre 9000
Alla fine di ciascun trimestre l’azienda deve soddisfare le seguenti domande:
domanda I0trimestre 20 20 trimestre 30 30 trimestre 50 40 trimestre 60
Si suppone che l’azienda abbia a disposizione un locale per l’immagazzinamento del prodotto alla fine del trimestre. Il costo di immagazzinamento `e di 8000 per unit`a di prodotto.
Supponendo che non si abbiano scorte iniziali e non si desiderino scorte finali, formulare un problema di PL che consenta di pianificare la produzione trimestrale minimizzando i costi.
Nota: l’esercizio non `e considerato valido se non `e specificato correttamente il significato delle variabili di decisione.
Variabili di decisione. xi quantit`di P1 prodotta nel trimestre i, i = 1, 2, 3, 4 yi quantit`a di P1 in magazzino alla fine del trimestre i, i = 1, 2, 3. Si osserva che alla fine del quarto trimestre il magazzino `e vuoto (y4= 0)
– Funzione obiettivo. minimizzare i costi = costi di produzione e costo di mag- azzino.
min 7x1+ 6x2+ 10x3+ 9x4+ 8(y1+ y2+ y3) – Vincoli.
x1= 20 + y1
x2+ y1= 30 + y2
x3+ y2= 50 + y3
x4+ y3= 60 xi, yi≥ 0
2
Un’azienda manifatturiera produce i prodotti P1 e P2 utilizzando sia del lavoro umano che una risorsa materiale A. In particolare, una tonnellata di P1 richiede 7 ore-lavoro, 4 tonnellate di A e reca un ricavo di 4, mentre una tonnellata di P2 richiede 2 ore-lavoro, 5 tonnellate di A e reca un ricavo di 2.
In una settimana la quantit`a di ore di lavoro disponibili `e pari a 30, mentre la quantit`a di risorsa disponibile dipende dal fornitore scelto. Ci sono infatti 2 fornitori possibili. Il primo pu`o fornire un massimo di 25 tonnellate di A per settimana al costo unitario di 10, il secondo un massimo di 35 tonnellate di A al costo unitario di 13. Formulare come problema di PL il problema di massimizzare il profitto settimanale, ammettendo di poter acquistare A da entrambi i fornitori.
Variabili di decisione. xiquantit`a di prodoto P i, i = 1, 2; Ajquantit`a di risorsa A acquistata da fornitore j = 1, 2
– Funzione obiettivo. massimizzare guadagno = ricavo -costi max 4x1+ 2x2− 10A1− 13A2
– Vincoli.
7x1+ 2x2≤ 30 A1≤ 25 A2≤ 35
4x1+ 5x2≤ A1+ A− 2 xi, Aj≥ 0
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