Problema geometria analitica classe seconda variazione del problema n65 pag545 volume secondo Il quadrilatero di vertici A(-1;-3), B(3;-7) C(7;-3) e D è un quadrato.
Calcola :
• l’area
• il perimetro
• e le coordinate del vertice D
Verifica che le rette passanti per i lati opposti sono a due a due parallele
Coordinate, formula distanza, coefficiente angolare, condizione di parallelismo.
Quadrato e proprietà: le diagonali sono perpendicolari, congruenti e si bisecano
Applicando la formula della distanza calcoliamo il lato del quadrato:
1 3 3 7 √16 16 √32 √2 · 16 4√2 Area A =(lato)(lato)=32 Perimetro 2p=4(lato)=44√2 16√2
• Calcolo coordinate del punto D
a) Sapendo che le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari Le coordinate si possono ottenere facilmente
osservando che A e C hanno la stessa ordinata yA=yC=-3.
Se la diagonale di estremi A e C risulta orizzontale, la diagonale di estremi B e D risulta verticale.
1) L’ascissa del punto D risulta uguale all’ascissa del punto B xB=xD=3.
2) L’ordinata del punto D si ottiene calcolando le dimensioni della diagonale AC
| xA-xC|=|-1-7|=8 e sommando tale valore all’ordinata del punto B: yD=yB+8=-7+8=1
b) sapendo che il punto D si trova alla stessa distanza dal punto A e dal punto C Con D(x;y) indichiamo le coordinate del punto D, applichiamo
due volte la formula della distanza per ricavare la lunghezza dei segmenti AD e DC
1 3 √ 7 3 Eleviamo al quadrato e uguagliamo
1 3
√ 7 3
1 3 7 3
2 1 14 49
2 14 1 49 16 48 3
Se x=3 possiamo sostituire il valore per ricavare y:
1 3
√32 3 1 3 32 16 6 9 6 25 32 0 6 7 0 7 1 0
7 1
c) sapendo che il punto d’intersezione delle diagonali è punto medio delle diagonali
Le diagonali di un parallelogramma si bisecano: E punto medio del segmento AC e del segmento BD
!"#! $%&#' 3 ("#( $%)%) 3 E(-3;-3)
come punto medio del segmento BD, B(3;-7) D(h;k) *#) 3 +%' 3 , 3 6 , 3 - 7 6 - 1 D(3;1)
• Calcolo della pendenza dei segmenti AB e CD Pendenza segmento mAB
A(-1;-3)
B(3;-7) .
∆ ∆ 3 7
1 3 4
4 1
Pendenza segmento mCD
C(7;-3)
D(3;1) .
∆ ∆ 3 1 7 3 4
4 1
Pendenza segmento mAD
A(-1;-3) D(3;1)
.∆
∆ 3 1
1 3 4
4 1
Pendenza segmento mCB
C(7;-3) B(3;-7)
.∆
∆ 3 7 7 3 4
4 1
I segmenti AB e CD hanno la stessa pendenza quindi sono paralleli , idem i segmenti AD e CB.
