1
= sen
a) ha lim → = ∞, b) è monotona non decrescente c) è continua e dispari, d) non è derivabile in = 0 2) Trovare l'estremo inferiore per l'insieme {−2, √3, 5, 0}
3) Decomporre il seguente polinomio
− 5+ 8 − 4 e studiarne dove esso è positivo.
4) Studiare la funzione
= arctan "1
$
N.B. non calcolare positività, né derivata seconda.
5) Calcolare
→%lim& log 6) Trovare le soluzioni dell'espressione
− log || = 1001 in ∈ ℝ\{0}.
7) Dimostrare che
= .+||
per ≠ 0 1 per = 01 è strettamente crescente in ℝ.
8) Calcolare il limite
→2lim log "1 + ||23$
9) Verificare che
4→5lim
sen(77)
7 = 0
10) Sia 8 un insieme con un numero finito di elementi, detta | ∙ | la cardinalità dell'insieme e :(8) l'insieme delle parti dell'insieme, dimostrare che
|8| < |<(8)|
11) Dati gli insiemi = e > con un numero finito di elementi, sotto quale ipotesi
|= ∪ >| = |=| + |>|
2 12) Verificare che in ℝ la relazione
ℛA ⇔ = A è una relazione di equivalenza.
13) Determinare il carattere della serie
C7 24
4D3
14) Dopo averne verificato le ipotesi, applicare il teorema di Rolle alla funzione
= + 3
√ + 1 nell'intervallo E−,F.
3 1) La risposta corretta è la c poiché è una funzione continua e pari e sen è una funzione continua e dispari e il prodotto di due funzioni continue è ancora una funzione continua, mente il prodotto di una funzione pari per una dispari è una funzione dispari.
2) Poiché l'insieme {−2, √3, 5, 0} è un insieme finito l'estremo inferiore coincide con il minimo ossia -2.
3) Proviamo x=1) 1 -5 +8 -4 = 0 ossia è uno zero. Ne consegue che per Ruffini
− 5+ 8 − 4 = − 1− 4 + 4 = − 1 − 2> 0 per > 1 e ≠ 2 4)
= arctan "1
$
C.E. ≠ 0, inoltre arctan H2I3J = arctan H−3IJ = − arctan H3IJ ossia la funzione è dispari e basta studiarla in > 0 e poi ribaltarla rispetto l'origine.
→%lim&arctan "1
$ =K 2
→5lim arctan "1
$ = 0
L = 1 1 + 1
"− 1
$ =
1 + = − 1
1 + < 0 per > 0
→%lim&− 1
1 + = −1 e quindi il grafico è:
5)
→%lim& log = lim →%& log 1
=M lim →%&
1
− 1
= lim →%&− = 0
4 6)
− log || = 1001 ⇒ log || = −1001 ⇒ || = O23%%3⇒ = ±O23%%3= ± 1 O23%%3 7)
= .+||
per ≠ 0
1 per = 01 ⇒ Q+ 1 per > 0
− 1 per < 0 1 per = 0 1
Si vede subito che la funzione è continua in ≠ 0 e posso calcolare la derivata
L = 3> 0 e inoltre
→%lim±3= 0
Poiché la derivata è positiva e si annulla solamente in un punto ne consegue che la funzione è strettamente crescente.
8)
→2lim log "1 + ||23$ = lim →2log "1 − 1
R√$ = lim →2log "1 − 1
√R $
R
= lim →2log S"1 − 1
√R $√
R
T
UR
=
= lim →2 WV
→5 log S"1 − 1
R√$√
R
XYYYZYYY[T
→\]^
= +∞ ∙ −1 = −∞
9)
4→5lim
sen77
7 = 0
poiché la successione sen77 è una successione limitata e la successione 43 è infinitesima.
10)
|8| < |<8|
Supponiamo che 8 sia dotato di 7 elementi, ne consegue che |8| = 7, il numero di elementi dell'insieme delle parti di 8 invece sono |:8| = 24. Evidentemente 7 < 24 già per 7 = 1.
11) Per poter essere
|= ∪ >| = |=| + |>|
l'insieme unione deve avere lo stesso numero di elementi della somma degli elementi dell'insieme = e dell'insieme > e quindi necessariamente
= ∩ > = ∅ 12) Per essere
ℛA ⇔ = A una relazione di equivalenza, deve essere
5 b) simmetrica: ℛA ⇒ Aℛ, infatti = A⇔ A=
c) transitiva: ℛA ∧ Aℛb ⇒ ℛb, infatti = A∧ A = b⇒ = b 13) Per la serie applichiamo il criterio del rapporto:
4→5lim c4
c423= lim4→57 24 2423
(7 − 1)= lim4→5H 7 7 − 1J
1 2 =1
2 < 1 e quindi la serie converge.
14) In E−,F la funzione è continua
() = + 3
√ + 1 visto che il suo dominio è > −1. In esso è derivabile con derivata
′() = − 1 2( + 1)√ + 1 e inoltre
"−2
3$ = "32 3 $ = 4 e quindi esiste c tale che L = 0. Tale punti vale c =1.
