I.I.S. Blaise Pascal – Manerbio (BS) Prepariamoci ai Giochi Matematici Lezione del 2 ottobre 2017
CALCOLO COMBINATORIO
1. PERMUTAZIONI
𝑃𝑛ℎ,𝑗 = 𝑛!
ℎ! ∙ 𝑗!
Ho esattamente 𝑛 elementi disposti in 𝑛 posizioni e voglio sapere quanti sono tutti i modi possibili per ordinarli. Qualora ci siano elementi dello stesso tipo che si ripetono ℎ o 𝑗 volte, è necessario dividere le permutazioni degli 𝑛 elementi per le permutazioni di ℎ o di 𝑗.
Le permutazioni mi interessano per gli anagrammi di una parola, ad esempio.
Esempio: Si calcolino gli anagrammi della parola “ANAGRAMMA”.
𝑃94,2 = 9!
4! ∙ 2! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5
2 = 9 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5
Sia da notare che la lettera “A” si ripete 4 volte, mentre la “M” viene ripetuta 2 volte. Per questo motivo è necessario dividere 9! per 4! ∙ 2!.
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2. DISPOSIZIONI
𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Le disposizioni di 𝑛 elementi di classe 𝑘 mi consentono di riordinare 𝑛 elementi esattamente in 𝑘 posti. In altre parole, dati 𝑛 elementi, posso andare a calcolare tutti i possibili ordinamenti in un sottogruppo di 𝑘 elementi. Il tipico esempio che ci aiuta a capire che cosa sono in concreto le disposizioni è il cosiddetto esempio dei podi. Infatti, dato un numero 𝑛 di concorrenti, possiamo stabilire a priori quali sono tutti i possibili gruppi ordinati dei vincitori.
Esempio: Ad una gara ciclistica partecipano 10 concorrenti. Si calcolino tutti i possibili podi.
𝐷10,3 = 10!
(10 − 3)! = 10!
7! = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720
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3. COMBINAZIONI
𝐶𝑛,𝑘 = 𝑛!
𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)! = (𝑛 𝑘)
Dato un insieme costituito da 𝑛 elementi, le combinazioni di 𝑛 elementi di classe 𝑘 ci permettono di calcolare quanti sono tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme di partenza costituiti esattamente da 𝑘 elementi.
Esempio: Consideriamo un insieme costituito da 5 elementi. Qualora volessimo calcolare quanti sono tutti i suoi sottoinsiemi costituiti da esattamente 2 elementi, è necessario calcolare le combinazioni di 5 elementi di classe 2. L’espressione delle combinazioni può essere sintetizzata nel seguente modo: (𝑛
𝑘). Questa formula si legge “𝑛 su 𝑘” e viene chiamata coefficiente binomiale.
