Esercizio 2 Calcolare

Corso di ANALISI I (2008/09) - Foglio 3 del 20/3/09.

Esercizio 1 Calcolare i seguenti integrali indefiniti Z

log ² x dx , Z

sin ³ x dx .

Esercizio 2 Calcolare

Z x ² arctan x 1 + x ² dx .

Esercizio 3 Usando la formula trigonometrica cos ² x

2 = 1 + cos x 2 calcolare una primitiva di

f (x) = 1 1 + cos x .

Esercizio 4 Calcolare l’area della regione A del piano definita da

A = {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x ² , x + y ≤ 2} .

Esercizio 5 Ritrovare attraverso l’integrazione la nota formula dell’area del cerchio. Se B(0, r) denota il cerchio di raggio r centrato nell’origine, dimostrare cio` e che

m(B(0, r)) = πr ² .

Esercizio 6 Dimostrare che la funzione integrale F (x) =

Z x

−1

e ^−t

dt ,

` e definita per ogni x ∈ R, `e crescente e ha un flesso nell’origine.

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Esercizio 7 Si consideri la funzione integrale F (x) =

Z x 0

sin t ² dt ;

determinare l’ordine di infinitesimo di F (x) per x → 0 ⁺ , cio` e il numero α > 0 tale che lim

x→0

F (x)

x ^α = C 6= 0 .

Esercizio 8 Per una funzione continua f : R → R definiamo la sua traslata f a come la funzione f a (x) = f (x − a) ,

e la funzione riscalata f _k (k > 0) come quella definita da f _k (x) = f ( x

k ) . Dimostrare che per ogni c ≤ d si ha:

1) Z d+a

c+a

f a (x) dx = Z d

c

f (x) dx ∀a ∈ R (Invarianza dell’integrale per traslazioni) 2)

Z kd kc

f _k (x) dx = k Z d

c

f (x) dx ∀k > 0

Esercizio 9 (?) Sia f una funzione derivabile due volte su [0, b] con f ”(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [0, b].

Dimostrare che

Z b 0

f (x) dx ≥ f (0) b + f ⁰ (0) b ² 2 .

Esercizio 10 Dimostrare o confutare

• Se f una funzione integrabile definita su [a, b) e f (x) ≥ 0, per ogni x ∈ [a, b), ed inoltre Z b

a

f (x)dx = 0, allora f (x) = 0 per tutti gli x ∈ [a, b).

• Se f una funzione continua e limitata definita su [a, b) tale che f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b), e

Z b a

f (x)dx = 0, allora f (x) = 0 per tutti gli x ∈ [a.b).

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