Calcolare: N 1 = |b − c| e N 2 = a modulo 2.

prima prova parziale Geometria 2 parte B - 4 maggio 2020 Riportare i seguenti dati sui fogli protocollo con lo svolgimento:

Cognome, Nome, Matricola:

Siano a, b, c le ultime tre cifre del proprio numero di matricola (c ultima).

Calcolare: N ₁ = |b − c| e N ₂ = a modulo 2.

Testo del compito:

Esercizio 1. Si consideri la superficie ottenuta ruotando il profilo numero N ₁ : (0) z = e ^x , (1) z = log x, (2) z = sin x, (3) z = sinh x, (4) z = cosh x, (5) x = e ^z , (6) x = log z, (7) x = sin z, (8) x = sinh z, (9) x = cosh z, nel piano x, z attorno all’asse delle z.

(a) Scrivere una parametrizzazione σ e una equazione cartesiana per la superficie.

(b) Determinare le matrici di prima e seconda forma fondamentale di σ.

(c) Determinare la matrice dell’applicazione di Weingarten, e la curvatura K di σ, che tipi di punti vi sono su σ?

(d) Determinare le linee asintotiche di σ, le linee di curvatura su σ, e le curve su σ che formano angolo costante con le linee di curvatura.

(e) Determinare le equazioni differenziali delle linee geodetiche di σ; ridurre il sistema ad una equazione differenziale ordinaria del prim’ordine.

Esercizio 2. Sia γ una curva biregolare unitaria in R ³ contenuta in un cilindro retto a base circolare (asse del cilindro ortogonale al piano della base) C.

(a) Mostrare che esistono un punto P ed un vettore v tali che la curva definita da δ :=

(γ − P ) × v ` e contenuta in una circonferenza. ` E vero il viceversa, cio` e che una curva γ con questa propriet` a ` e contenuta in un cilindro?

(b) Supponiamo ora di scegliere un riferimento euclideo in modo che il cilindro abbia come asse quello delle z; mostrare che γ ammette una parametrizzazione del tipo γ(s) =

 _{R cos θ(s)}

R sin θ(s) z(s)



e trovare condizioni (relazioni tra θ(s) e z(s)) affinch´ e γ(s) sia unitaria. In particolare esprimere z ⁰ , z ⁰⁰ , z ⁰⁰⁰ in termini di θ e sue derivate.

(c) Sia α(s) l’angolo formato da γ ⁰ (s) con l’asse del cilindro C. Esprimere θ ⁰ , θ ⁰⁰ , θ ⁰⁰⁰ e z ⁰ , z ⁰⁰ , z ⁰⁰⁰ in termini di α (e sue derivate).

si affronti il punto corrispondente al proprio numero N 2 , ed eventualmente l’altro in se- guito:

(0) Determinare il riferimento di Fr´ enet di γ. Esprimere curvatura e torsione di γ in funzione di α. Come si possono caratterizzare le curve cilindriche con questi dati?

(1) Determinare il riferimento di Darboux di γ come curva sul cilindro C. Esprimere

curvature geodetica e normale, e torsione geodetica in funzione di α. Come si possono

caratterizzare le curve cilindriche con questi dati?

Risultati dell’esercizio teorico:

(a) La curva γ ` e contenuta in un cilindro di asse P + hvi se e solo se d(γ, P + hvi) ` e costante,

cio` e sse k(γ − P ) × vk ` e costante,

quindi sse la curva δ := (γ − P ) × v ha distanza costante dall’origine (cio` e ` e contenuta in una sfera),

e si vede subito anche che δ ` e una curva piana perch´ e δ ⁰ = γ ⁰ × v, δ ⁰⁰ = γ ⁰⁰ × v, δ ⁰⁰⁰ = γ ⁰⁰⁰ × v (tutti ortogonali a v fisso).

(b) Il cilindro retto di asse z e raggio R ha parametrizzazione σ(z, θ) =

 _{R cos θ}

R sin θ z

 , e quindi una curva che stia su di esso ha la descrizione richiesta.

Derivando si ha γ ⁰ =

 −Rθ

sin θ Rθ

cos θ

z



, da cui kγ ⁰ k ² = R ² θ ⁰² + z ⁰² e quindi la curva ` e unitaria sse R ² θ ⁰² + z ⁰² = 1.

Da questa relazione abbiamo z ⁰² = 1 − R ² θ ⁰² , e derivando z ⁰ z ⁰⁰ = −R ² θ ⁰ θ ⁰⁰ ,

e derivando ancora z ⁰⁰² + z ⁰ z ⁰⁰⁰ = −R ² (θ ⁰⁰² + θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ ).

Quindi possiamo ricavare z ⁰ = ± √

1 − R ² θ ⁰² , poi z ⁰⁰ = −R ² θ ⁰ θ ⁰⁰ /z ⁰ ,

e z ⁰⁰⁰ = −(R ² (θ ⁰⁰² + θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ ) + z ⁰⁰² )/z ⁰ = −R ² (θ ⁰⁰² + θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ z ⁰² )/z ⁰³ .

(c) Possiamo supporre di essere in parametro d’arco (condizione vista prima), e allora cos α(s) = γ ⁰ (s) ·  ₀

0 1



= z ⁰ (s),

da cui z ⁰ = cos α, z ⁰⁰ = −α ⁰ sin α, z ⁰⁰⁰ = −α ⁰⁰ sin α − α ⁰² cos α , e Rθ ⁰ = sin α, Rθ ⁰⁰ = α ⁰ cos α, Rθ ⁰⁰⁰ = α ⁰⁰ cos α − α ⁰² sin α . (0) Abbiamo gi` a scritto γ ⁰ =

 −Rθ

sin θ Rθ

cos θ

z



, che supponiamo in lunghezza d’arco, troviamo γ ⁰⁰ =

 −Rθ

sin θ−Rθ

cos θ Rθ

cos θ−Rθ

sin θ

z



, che ` e gi` a ortogonale a γ ⁰ , quindi possiamo calcolare t = γ ⁰ , n = γ ⁰⁰ /kγ ⁰⁰ k e

κ ² = kγ ⁰⁰ k ² = R ² θ ⁰⁰² + R ² θ ⁰⁴ + z ⁰⁰² =



 



 



R ² θ ⁰⁰² + θ ⁰⁴ − R ² θ ⁰⁶ 1 − R ² θ ⁰² R ² α ⁰² + sin ⁴ α

R ²

Per trovare il binormale usiamo b = γ ⁰ × γ ⁰⁰ /kγ ⁰ × γ ⁰⁰ k = γ ⁰ × γ ⁰⁰ /kγ ⁰⁰ k, mentre per calcolare la torsione serve γ ⁰⁰⁰ =

 −Rθ

sin θ−3Rθ

θ

cos θ+Rθ

sin θ Rθ

cos θ−3Rθ

θ

sin θ−Rθ

cos θ

z

 , e il determinante

| γ ⁰ γ ⁰⁰ γ ⁰⁰⁰ | =     

−Rθ

sin θ −Rθ

sin θ−Rθ

cos θ −Rθ

sin θ−3Rθ

θ

cos θ+Rθ

sin θ Rθ

cos θ Rθ

cos θ−Rθ

sin θ Rθ

cos θ−3Rθ

θ

sin θ−Rθ

cos θ

z

z

z

     che si calcola con operazioni elementari, per esempio usando la prima riga per annullare il primo termine della seconda, e poi la seconda riga per semplificare la prima si arriva a:

R ² θ ⁰      

−θ ⁰ −θ ⁰⁰ −θ ⁰⁰⁰ + θ ⁰³

0 θ ⁰ −3θ ⁰⁰

z ⁰ z ⁰⁰ z ⁰⁰⁰

che si pu` o calcolare direttamente in termini di θ e derivate, tipo R ² θ ⁰² θ ⁰ z ⁰⁰⁰ − 3θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ z ⁰⁰ + (3θ ⁰⁰² − θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ + θ ⁰⁴ )z ⁰
=

= R ² θ ⁰

z ⁰³ −R ² θ ⁰² θ ⁰⁰² + R ² θ ⁰² (3θ ⁰⁰² − θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ )z ⁰² + (3θ ⁰⁰² − θ ⁰ θ ⁰⁰⁰ + θ ⁰⁴ )z ⁰⁴
, e sostituendo invece le espressioni trovare in α e derivate diventa:

sin α R

− sin α −α ⁰ cos α −α ⁰⁰ cos α + α ⁰² sin α + sin ³ α/R ²

0 − sin α −3α ⁰ cos α

cos α −α ⁰ sin α −α ⁰⁰ sin α − α ⁰² cos α

      che infine d` a

− sin α R



α ⁰⁰ sin α − 3α ⁰² cos α − sin ⁴ α cos α R ²

 . e permette di calcolare la torsione (dividendo per kγ ⁰⁰ k ² ):

τ = − R sin α R ² α ⁰² + sin ⁴ α



α ⁰⁰ sin α − 3α ⁰² cos α − sin ⁴ α cos α R ²

 .

Si pu` o concludere che una curva tale che esiste una funzione α in modo che curvatura e torsione abbiano le espressioni calcolate ` e necessariamente una curva cilindrica, nel senso che sta sulla superficie di un cilindro retto.

(1) Nel riferimento di Darboux il primo vettore ` e sempre v 1 = γ ⁰ =

 −Rθ

sin θ Rθ

cos θ

z



, che supponiamo in lunghezza d’arco,

mentre il terzo ` e il normale alla superficie che si scrive facilmente v 3 =

 _{cos θ}

sin θ 0

 , quindi il secondo ` e v 2 = v 3 × v 1 =

 z

sin θ

−z

cos θ Rθ

 . Ora il sistema differenziale di Darboux ` e

( v ₁ ⁰ v ⁰ ₂ v ₃ ⁰ ) = ( v ₁ v ₂ v ₃ )





0 −κ g −κ n

κ _g 0 −τ _g κ n τ g 0





e derivando v 3 (` e il pi` u semplice!) troviamo v ⁰ ₃ =

 −θ

sin θ θ

cos θ

0



= −κ n v 1 − τ g v 2

da cui segue che κ _n = −Rθ ⁰² = − sin ² α

R e τ _g = z ⁰ θ ⁰ = sin α cos α e infine, derivando v 1 abbiamo v ₁ ⁰ = γ ⁰⁰ = κ g v 2 + κ n v 3 R

da cui ricaviamo κ _g = z ⁰⁰

Rθ ⁰ = − Rθ ⁰⁰

z ⁰ = −α ⁰ .

Si pu` o concludere che una curva tale che esiste una funzione α in modo che curvature geodetica e normale e torsione geodetica abbiano le espressioni calcolate ` e necessari- amente una curva cilindrica.

Si pu` o anche osservare che vi sono alcune relazioni facili: κ ² _n + τ _g ² = −κ _n /R e κ ⁰ _n = 2κ g τ g , e che anche queste relazioni caratterizzano le curve cilindriche.

∗ Infine, una avvertenza: l’angolo α del problema non ` e l’angolo ϑ di deriva tra i riferi- menti di Fr´ enet e Darboux: quest’ultimo d` a il legame (ϑ ⁰ = τ g − τ ) tra τ e τ g , ed ` e l’angolo tra normale principale della curva e normale alla superficie: abbiamo i dati per calcolarne cos ϑ, e di conseguenza ϑ ⁰ = −(cos ϑ) ⁰ / sin ϑ = −(cos ϑ) ⁰ / √

1 − cos ² ϑ.