Satellite geostazionario
Un satellite di massa m, con m molto minore della massa terrestre MT = 6 · 1024kg, si trova su un’orbita geostazionaria, cio`e sul piano equatoriale ad angolo azimutale fisso.
1. Si determini il raggio dell’orbita ed il valore del momento angolare in funziona del raggio dell’orbita (si usi G = 6.7 · 10−11m3kg−1s−2).
2. Si vuole raddoppiare il raggio dell’orbita, passando da una orbita in- termedia ellittica, applicando due impulsi ~I1 e ~I2 opportuni tangenti alla traiettoria e diretti nel verso di percorrenza della traiettoria stessa.
Si determinino i due impulsi.
3. Si vuole adesso portare il satellite su un’orbita parabolica applicando un altro impulso ~I3 tangente alla traiettoria. Determinare ~I3.
Soluzione 1
Essendo l’orbita circolare, possiamo scrivere direttamente l’accelerazione centripeta:
mv2
R = GmM
R2 (1)
La velocit`a v `e legata al periodo da:
v = 2πR T Sostituendo e riarrangendo i termini:
R3
T2 = GM
4π2 (2)
Ricaviamo, cio`e, la legge di Keplero sulla proporzionalit`a fra il cubo del raggio dell’orbita (semiasse maggiore per orbite ellittiche) ed il quadrato del periodo.
Per ricavare R notiamo che il periodo di un’orbita geostazionaria `e nec- essariamente T = 24h, da cui:
R3= 6.7 · 10−116 · 1024(86400)2
4π2 = 76 · 1021m3 (3)
1
da cui:
R = 4.2 · 107m = 42000km (4)
cio`e circa h = 36000km sopra la superficie terrestre.
Il valore del momento angolare `e:
L = mvR = mRp
GM/R =
√
Gm2M R (5)
dove abbiamo usato l’equazione (1) per scrivere v.
Soluzione 2
L’energia nel caso di moto circolare si scrive come:
E0= L2
2mr2 −GM m
r (6)
in quanto ˙r = 0.
Fornendo un impulso tangenziale I1 il momento angolare cambia im- provvisamente:
L → L + I1r
portando il satellite su un’orbita ellittica, per una opportuna scelta di I1. Naturalmente, questo valore rimarr`a poi costante su tutta l’orbita.
L’energia diventa:
E1 = 1
2m ˙r2+(L + I1r)2
2mr2 −GM m
r (7)
tuttavia al perigeo e all’apogeo continua ancora a valere il fatto che ˙r = 0.
Scriviamo, allora, la eq.7 in questi due punti imponendo il valore dei raggi che devono essere R e 2R, rispettivamente:
E1= (L + I1R)2
2mR2 −GM m R E1= (L + I1R)2
8mR2 −GM m 2R
(8)
Eliminando E1: (L + I1R)2
2mR2 −GM m
R = (L + I1R)2
8mR2 −GM m
2R (9)
da cui:
(L + I1R)2 = 4
3Gm2M R (10)
che ammette due soluzioni:
I1 = ± r4
3− 1
! rGm2M
R (11)
2
La soluzione con il segno positivo corrisponde ad un impulso nella di- rezione della traiettoria, mentre l’altra corrisponde ad un impulso opposto, naturalmente di modulo maggiore. Scegliamo il segno positivo
Il satellite sta ora percorrendo una traiettoria ellittica con raggio com- preso fra R e 2R. All’apogeo vengono di nuovo accesi i reattori fornendo un impulso I2 e modificando il momento angolare come nel caso precedente.
L2 = L + I1R + I22R (12)
Siccome voglio portare il satellite su una traiettoria circolare di raggio 2R, il nuovo valore di L risulta:
L2 = 2mRv = 2mR rGM
2R =
√
2Gm2M R (13)
Applicando la condizione di eq.12:
I2 =
rGm2M R
1
√ 2 − 1
√ 3
(14)
Soluzione 3
L’energia dell’orbita circolare `e:
E2 = L22
8mR2 −GM m
2R = 2Gm2M R
8mR2 −GM m
2R = −GM m
4R (15)
Essendo l’orbita legata, l’energia totale `e negativa.
Fornendo un impulso I3 abbiamo una nuova variazione di momento an- golare e quindi di energia:
E3= (L2+ 2RI3)2
8mR2 −GM m
2R (16)
In questo caso vogliamo portare il satellite su un’orbita parabolica, carat- terizzata dalla condizione E3 = 0. Imponendo questa condizione si ricava l’impulso da fornire:
(L2+ 2RI3)2− 36Gm2M R = 0 (17) da cui:
2RI3= 6Gm2M R −
√
2Gm2M R (18)
e, infine:
I3 = 6 −√ 2 2
rGm2M
R (19)
3
