 Impulso e quantità di moto:

(1)

Lavori e Forze

 Impulso e quantità di moto:

 Impulso: l’impulso di una forza variabile in un certo intervallo di tempo è definito come l’integrale della forza rispetto al tempo nell’intervallo considerato:

I 

t

₁

,t

₂

( ) ⁼

_t

^F ^ ^dt

1

t₂

∫

, nel caso della forza costante si ha

 I

t

₁

,t

₂

( ) ⁼

_t

^F ^ ^dt

1

t₂

∫ ^{= F} ^ ^{∆ t}

^.

 La somma degli impulsi di tutte le forze agenti su un punto materiale è uguale all’impulso della forza risultante.

 Siccome

F 

= ma 

= d mv 

( )

dt

^

I  t

₁

,t

₂

( ) ^{= m dv}

_t

^

1

t₂

∫

^.

 Teorema dell’impulso: l’impulso in un certo intervallo di tempo della forza risultante è uguale alla variazione in quell’intervallo di tempo della quantità di moto del corpo sul quale agisce la forza:

•

Q

 = mv 



I 

t

₁

,t

₂

( ) ^{= m v} _⎡⎣ ^ ( ) ^t

2

^{− v} ^ ( ) ^t

1

_{⎤⎦ = Q} ^ ( ) ^t

2

^{− Q} ^ ( ) ^t

1 ^.

 Lavoro:

 Lavoro elementare di una forza:

dL = F 

·dr 

= Fdr cosϑ

(prodotto scalare). L’unità di misura del lavoro è Joule 

( 1J = 1N·1m )

^,

[ ] ^dL ^{= F} [ ] [ ] ^L

^.

 La forza

F 

in esame nella definizione di

dL

non è la risultante delle forze applicate al punto materiale, ossia non è la sola responsabile dello spostamento infinitesimo di

r

.

 Osservazione sull’angolo

ϑ

:

• Se

ϑ < π

2 → dL > 0

si dice che la forza compie un lavoro motore.

• Se

ϑ > π

2 → dL < 0

si dice che la forza compie un lavoro resistente.

• Se

ϑ = π

2 → dL = 0

, il lavoro compiuto è 0.

 Scomposizione di

F 

in componenti cartesiane

dL = F 

·dr 

= F

_x

dx + F

_y

dy + F

_z

dz

.

 Scomposizione di

F 

in coordinate T , N locali:

dL = F 

·dr 

= F (

T

u  + F

_T N

u 

_N

) ^·dsu ^{ = F}

^T ^T

^ds

ossia non dipende da

F

_N. (Nel moto circolare uniforme abbiamo un moto sottoposto ad una forza

F

_N ma il lavoro è Ø).

 Il lavoro elementare della forza risultante di

n

forze agenti sullo stesso punto materiale è pari alla somma algebrica dei lavori elementari delle singole forze:

F 

_i

·dr 

= dL = dL

_i

i=1

∑

n

⁼ ^F ^

ⁱ

^·dr ^

i=1

∑

n ^.

 Lavoro di una forza lungo un cammino finito:

L = F 

·dr 

A,γ

∫

B , vado da

A

a

B

lungo la linea

γ

. Viene definito integrale di linea che va da

A

a

B

. (NB: è l’integrale di un prodotto scalare).

(2)

 Sia nota la legge oraria

r

 = r 

(t)

e sia nota

F

 (r  )∀r 

∈γ

allora

L = F 

(r  )·dr 

=

r_A ,γ r_B



∫ ^F

^x

(x, y, z)dx +

r_A

,γ r_B



∫ ^F

^y

(x, y, z)dy + F

_z

(x, y, z)dz

r_A

,γ r_B



r_A

∫

,γ r_B

∫



L

dipende non solo dagli estremi

A

e

B

ma anche da

γ

(“altrimenti come vado da

A

a

B

?).

Infatti sarebbe meglio scrivere

δ

L e non

dL



dF = F(B) − F(A)

A

∫

B ^,

δ L ≠ L(B) − L(A)

A

∫

B ^.

 Potenza:

 Potenza istantanea di una forza: la potenza

W

sviluppata dalla forza all’istante considerato è il rapporto tra il lavoro

dL

compiuto e l’intervallo di tempo

dt

.

W = dL dt = F 

·dr  dt = F 

· dr  dt = F 

·v 

⇒ dL = W (t)dt

. L’unità di misura è

[ ]

W ^{= L}

[ ] [ ]

^T ⁻¹ si misura in

J·s

⁻¹

= W

(watt).

 Nota: 1

kWh

lavoro compiuto dalla Forza della potenza di

1kW

in 1 ora 

1·10

³

·3, 6·10

³

J = 3,6·10

⁶

J

.



W

_m

= L

∆ t = W (t)dt

t_A t_B

∫

t

_B

− t

A

potenza media nell’intervallo

( t

_A

,t

_B

)

^.

 Energia cinetica:

 Definizione: l’energia cinetica di un punto materiale di massa

m

nella posizione

P

è la quantità scalare (indice di stato fisico) definita dalla relazione

E

_C

(P) = 1

2 mv

_p²

+ K

con

K

costante arbitraria essendo

v

_p la velocità del punto materiale in

P

.

 Definizione di Energia: l’energia di un corpo è la misura del lavoro che il corpo può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova.

 Hp: sia

F 

la risultante di tutte le forze agenti sul punto materiale considerato. Allora il lavoro elementare

dL

della forza risultante è legata alla energia cinetica del punto materiale.

dL = F 

·dr 

= ma 

·dr 

= m dv  dt ·dr 

= mdv 

· dr  dt = mv 

·dv 

. Faccio il differenziale del prodotto scalare di

v 

con sé stesso.

d v 

·v 

( ) ^{= dv} ^ ^·v ^ ^{+ v} ^ ^·dv ^ ^{= 2v} ^ ^·dv ^ ^{⇒ dL =} ₂ ¹ ^mdv

²

^{= d} ^⎛ _⎝⎜ ¹ ₂ ^mv

²

^⎞ _⎠⎟ ^{= d E} ^{( )}

^C ^.

Integrando da

r

^A



a

r

^B





F 

·dr 

= L

_A

⎯ →γ⎯ B

= dE

_C

A,γ

∫

B

⁼ ^d ^⎛ _⎝⎜ ¹ ₂ ^mv

²

^⎞ _⎠⎟ ⁼ ¹ ₂ ^mv

²^B

⁻ ¹ ₂ ^mv

²^A A,γ

B

∫

A,γ

B

∫

 Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica: il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su un punto materiale quando questo passa da una posizione a un’altra, è uguale alla differenza tra le energie cinetiche possedute dal punto materiale nella posizione finale e in quella iniziale,

rispettivamente.

L

_A

⎯ →γ⎯ B

= F 

·dr 

A,γ

∫

B

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = E

^C

(B) − E

_C

(A)

.

(3)

 Osservazione:

[ ] E

_C

^{= L} [ ]

ossia si misura anch’essa in Joule.

 Il teorema delle forze vive vale in qualunque sistema di riferimento (inerziale o no).

 La variazione di energia cinetica è uguale al rapporto complessivo fatto da tutte le forze agenti.

 Energia potenziale:

 Energia potenziale della forza peso:

W 

·dr 

= mg z (

_Q

− z

₀

) ^{= mgz}

^Q

Q

O

∫

^,

^E

^P

^{( )} ^Q ^{= mgz}

^Q

^{( )} ^+K

(scelgo di avere

K

tale che

E

_P

(O) = 0

allora

K = 0

),

z

_Q è l’altezza in cui si trova il punto materiale. L’energia potenziale di un punto materiale di massa

m

soggetto ad una forza peso

W 

in un punto

Q

non è altro che il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare questo punto materiale dalla posizione

Q

in cui si trova all’origine del sistema di riferimento.

 Con l’energia potenziale si calcola facilmente il lavoro della forza cui è associata.

L

_A→B

= W 

·dr 

A

∫

B

^{= W} ^ ^·dr ^

A

O

∫ ^{− W} ^ ^·dr ^

B

∫

O

^{= E}

^P

^{( )} ^A ^{− E}

^P

^{( )} ^B ^{= − E} ⁽

^P

^{( )} ^B ^{− E}

^P

^{( )} ^A ⁾ ^{= −∆ E}

^P

⁽ ^{A, B} ⁾

.

 E_P

( )

Q ^{− E}P

( )

O ^{= − W}^^·dr^

O Q

∫



F 

·dr 

A,γ₁

B

∫ ⁼ ^F ^ ^·dr ^

A,γ₂

∫

B

^∀γ

¹

^,γ

²

^∈E

³ l’integrale di linea della forza di

γ

₁ è lo stesso

dell’integrale di linea di

γ

₂, è quindi indipendente dalla linea l’energia potenziale è quindi un’energia conservativa.

 Energia potenziale (di una forza conservativa):

E

_P

( ) Q ^{= F} ^ ^·

Q

O

∫ ^dr ^

con

O

un particolare punto di

E

³

nel quale si assume per convenzione essere

E

_P

( ) O ^{= 0}

, potrebbe non essere l’origine del sistema di riferimento.

 L’energia potenziale è un indice di stato fisico. La differenza tra due indirizzi di stato fisico genera una grandezza fisica (in questo caso un Lavoro) siccome le costanti degli indici si annullano.

 L’energia potenziale

E

_P

( ) Q

può essere interpretata (o definita) come il lavoro compiuto dalla forza a cui è associata per spostare il punto materiale in esame dalla posizione

Q

ad una posizione di riferimento

O

ove si assume che essa si annulli.

 L’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa

m

ad altezza

h

dal suolo è:

U = mgh

.

 Tipologie di campi:

 Campo scalare: è una funzione scalare definita su un sottoinsieme di uno spazio a più dimensioni

f :Ω → 

con

Ω ⊆ 

^N. Esempio: lo spazio euclideo è isomorfo a



³ perché hanno la stessa dimensione.

 Le energie potenziali sono campi scalari.

(4)

 Campo vettoriale: è una funzione vettoriale (a valori vettoriali) definita su un sottoinsieme di uno spazio a più dimensioni

f :Ω → 

³ con

Ω ⊆ 

^N^.

 Le forze sono campi vettoriali.

 Per un campo di forze conservative si ha che l’integrale di linea del campo lungo un qualsiasi cammino chiuso è nullo: F

·dr

γ = 0

∫

^

∫

^γ

^F ^ ^·dr ^ ⁼ ^F ^ ^·dr ^

A,γ₁

B

∫ ⁻ ^F ^ ^·dr ^

A,γ₂

∫

B

^{= 0}

^.

 Campo di forza: è una regione dello spazio in cui il punto materiale considerato risulta soggetto ad una forza.

 Un campo di forza è conservativo in una certa regione dello spazio se il lavoro compiuto dalla forza del campo, quando il punto di applicazione si sposta all’interno di tale regione, dipende solo dalla posizioni del punto di partenza A e del punto di arrivo B e non dalla particolare traiettoria seguita.

 Modi equivalenti di definire una forza conservativa:

 È un campo di forze

F 

tali che:



F 

·dr 

A,γ₁

B

∫ ⁼ ^F ^ ^·dr ^

A,γ₂

∫

B

^∀γ

¹

^, ^γ

²

^∈E

³ passanti per A e B.



L

^A→B

= F 

·dr 

.

 F

·dr

∫

γ ^{= 0}



∃E

_P

( ) Q

campo scalare tale che

E

_P

( ) Q ^{= F} ^ ^·dr ^

Q O

∫

^.

 Esempi di forze conservative:



Forza peso:

F

 = mg 

.



Forza elastica (di Hooke):

F

= −Kr u_r_

F 

·dr 

=

r_A



r_B



∫ ^−Kr ^ ^·dr ^ ⁼

r_A



r_B



∫ ^{− K} ¹ ₂ ^dr ^

²

⁼

r_A



r_B



∫ ¹ ₂ ^{d r} ( ) ^ ^·r ^ ⁼ ¹ ₂ ^dr ^ ^·r ^ ⁺ ¹ ₂ ^r ^ ^·dr ^

^

F 

·dr 

= − 1 2 Kr

²

⎡

⎣⎢

⎤

r_A

⎦⎥



r_B



∫

r_A r_B

= 1

2 Kr

²_A

− 1

2 Kr

²_B

= − 1

2 Kr

²_B

− 1 2 Kr

_A²

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = − E (

_P

( ) B ^{− E}

P

( ) A )

^.



Forze centrali:

un campo di forze si dice centrale se assume la seguente forma funzionale:

F 

r 

( ) ^{= F r} ^{( )} ^u ^

^r, il suo modulo dipende solamente dalla distanza dal punto d’origine e la direzione è quella radiale rispetto all’origine del sistema di riferimento. Con

r 

definito in un sistema di riferimento che ha l’origine posta in un punto particolare dello spazio detto centro di volta del campo.

(5)



Forza gravitazionale:

F 

= −γ Mm r

²

u 

_r_.

F 

·dr 

r_A



r_B



∫ ^{= −G} ^Mm _r

²

^u ^·dr

^r

^ ^{= −G} ^Mm _r

²

^dr ^{= G} ^Mm _r

r_A B



r_B



∫ ^{− G} ^Mm _r

r_A A r_B

∫ ^{= −G} ^Mm _r

A

− −G Mm r

_B ^

E

_P

(r) = −G Mm

r + K

. Se

K = 0 ⇒ E

_P

( ) r

_∞

^{= 0}

Punto O di riferimento ove si assume

E

_P

(O) = 0

non è l’origine del sistema di riferimento, ma è ∞.

 Energia meccanica di un punto materiale:

 Indice di stato fisico dato dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale del punto materiale:

E = E

C

+ E

P

 Teorema di conservazione dell’energia meccanica: un punto materiale soggetto a sole forze conservative conserva nel suo moto la propria energia meccanica. In altre parole sotto l’azione di sole forze conservative, l’energia meccanica è una costante del moto (si conserva, non varia).

 Dimostrazione:

L

_A

⎯ →γ⎯ B

= L

_{i, A}

⎯ →γ⎯ B i=1

∑

N somma di tutti i lavori fatti dalle

N

forze agenti sul punto materiale. In base al teorema delle forze vive:

L

_A

⎯ →γ⎯ B

= ∆ E

C

( A, B ) ^{= E}

C

( ) B ^{− E}

C

( ) A

^.

• Poiché tutte le N forze agenti sul punto materiale sono conservative sarà

L

_{i, A}

⎯ →γ⎯ B

= L

i, A→B

= −∆ E

p,i

( A, B ) ^{= E}

^p,i

( ) ^A ^{− E}

^p,i

( ) ^B

^

L

_{i, A}

⎯ →γ⎯ B

= L

_{i, A→B}

= L

_{i, A→B}

i=1

∑

N

⁼ ^{−∆ E}

^p,i

⁽ ^{A, B} ⁾

i=1

∑

N

^{= −∆}

^AB

^E

^p,i i=1

∑

N

^{= −∆ E}

^p

⁽ ^{A, B} ⁾

^

−∆ E

_p

( A, B ) = ∆ E

_c

( A, B )

^

^{∆ E}

p

( A, B ) + ∆ E

_c

( A, B ) = 0



∆

_{A, B}

( E

_p

+ E

c

) ^{= 0}

^

∆ E A, B ( ) ^{= 0}

C.V.D.

 Se sono in presenza di un sistema di forze o campo di forze conservativo, la risultante di tutte le forze agenti è una variazione di energia cinetica che avverrà a discapito dell’energia potenziale:

∆ E

_c

= −∆ E

_p. Se

E

_c aumenta significa che

E

_p diminuisce e viceversa (proporzionalità inversa).

 Se sono presenti anche forze non conservative come cambia l’energia meccanica?



L

_A

⎯ →γ⎯ B

= L

^{( )}_A→B^c

+ L

^{( )}_A^nc

⎯ →γ⎯ B

= ∆ E

_c

( A, B )

^.



−∆ E

p

( A, B ) ^{+ L}

^{( )}^A^nc⎯ →_γ⎯ B

= ∆ E

c

( A, B )

^

^L

^{( )}^A^nc⎯ →_γ⎯ B

= ∆ E

c

( A, B ) ^{+ ∆ E}

^p

( ^{A, B} )

^

∆ E A, B ( ) ^{= L}

^{( )}A^nc⎯ →_γ⎯ B.

 L’energia meccanica non si conserva in generale, cioè quando sono presenti non solo forze conservative e tende in generale a diminuire perché le forze non conservative di solito compiono un lavoro resistente (negativo).

 Teorema di conservazione dell’energia: l’energia (totale, intesa in tutte le forme che può

assumere) di un sistema fisico si conserva, non si crea né si distrugge, ma si trasforma da una forma ad un’altra.

(6)

 In generale l’approccio energetico non consente di dare una soluzione completa al problema generale della dinamica del punto materiale (determinare

r

 = r 

(t)

), spesso si riesce se è già nota la traiettoria. Tuttavia spesso siamo interessati ad un problema più particolare, ad una

informazione parziale sul moto, che è a volte possibile dedurre con argomenti energetici.

 Esempi con energia meccanica:

 Forza peso:

 Ipotesi: abbiamo un punto materiale di massa

m

ad una certa altezza

h

con il modulo della velocità

v

_i e lo lasciamo cadere al suolo.

 Siccome siamo in un sistema di forze conservative sappiamo che

E

_i

= E

_f quindi

E

_p,i

+ E

c,i

= E

p, f

+ E

c, f . Sappiamo inoltre che quando raggiunge il suolo

E

_{p, f}

= 0

, quindi possiamo riscrivere l’equazione in questo modo

mgh + 1

2 mv

²_i

= 0 + 1

2 mv

²_f 

1 2 mv

²_f

= 1

2 mv

²_i

+ mgh

, la possiamo risolvere e ottenere

v

_f

= v

²_i

+ 2gh

.

 Forza elastica (Hooke):

 Nota la legge oraria del punto materiale di massa

m

:

x(t) = Acos ( ) ωt

con

ω = k m

verifichiamo che l’energia meccanica

E = E

_p

+ E

_c è costante:

 Determiniamo

v(t) = dx(t)

dt = −Aω sin ωt ( )

e la usiamo nella seguente equazione

E = E

_p

+ E

_c

= 1

2 kx

²

(t) + 1

2 mv

² 

E = 1

2 kA

²

cos

²

( ) ωt ⁺ ¹

2 mA

²

ω

²

sin

²

( ) ωt

, dimostro che l’energia meccanica è indipendente dal tempo 

E = 1

2 kA

²

_⎡⎣ cos

²

( ) ωt ^{+ sin}

²

( ) ^ωt _{⎤⎦ =} ¹

2 kA

² (per il passaggio appena eseguito è utile ricordare che

ω = k

m

^).

 Conclusione: in

x = ±A ⇒ E

_c

= 0 ⇒ E = E

_p

= 1

2 kA

², invece in

x = 0 ⇒ E

_p

= 0 ⇒ E

_c

= E = 1

2 kA

².

 Linee di forza, superfici equipotenziali, gradiente (di un campo scalare):

 Linee di forza di un campo vettoriale: sono linee dello spazio sul quale è definito il campo vettoriale tale che:

 Siano tangenti ed equiverse al campo vettoriale in ogni punto del dominio.

 La loro densità sia proporzionale al modulo (intensità) del campo vettoriale in ogni punto del suo dominio.

(7)

 Superfici equipotenziali di un campo vettoriale conservativo: sono luoghi geometrici dei punti

x, y, z

ove l’energia potenziale associata al campo vettoriale assume lo stesso valore.

E

_p

( x, y, z ) ^{= c}

è una superficie equipotenziale (di potenziale

c

).

 Le superfici equipotenziali sono ovunque ortogonali alle linee di forza nei punti della superficie equipotenziale.

• Dimostrazione:

dL = .dE

_p per la conservatività del campo e

dE

_p

= 0

su ogni superficie equipotenziale

E

_p

( x + dx, y + dy,z + dz ) ^{− E}

p

( x, y, z ) ^{= 0}

se e solo se

x + dx, y + dy,z + dz

( ) ^∈

alla stessa superficie potenziale di

( x, y, z )

^

^dL ^{= 0}

lungo una superficie equipotenziale, ma

dL = F 

·dr 

per definizione di lavoro elementare;

dr 

è incluso (giace) nella superficie equipotenziale considerata.

F 

·dr 

= 0 ⇒ F 

è

perpendicolare alla superficie equipotenziale considerata, quindi anche le linee di forza sono ortogonali alla superficie equipotenziale considerata.

 Gradiente:

 Con una dimensione in un campo di forze conservative noi sappiamo che F

= Fxu_x_,

dL = F

x

dx = −dE

p

= − E _⎡⎣

p

( x + dx ) ^{− E}

p

( ) x _⎤⎦

^

^F

x

= − E

_p

( x + dx ) ^{− E}

p

( ) x

dx = − dE

_p

( ) x dx

ossia la forza

F

_x è la derivata dell’energia potenziare rispetto allo spostamento con il segno opposto. Questa non è una novità siccome abbiamo detto in precedenza che

E

_p

( ) x ^{= − F} ∫

x

dx

^.

 Ma quando abbiamo a che fare con uno spazio multidimensionale (esempio a 3 dimensioni)

non possiamo scrivere

F :

F

_x

= − dE

_p

( ) x dx F

_y

= − dE

_p

( ) y

dy F

_z

= − dE

_p

( ) z

dz

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

siccome avremo raramente l’energia potenziale

E

_p dipendente dai singoli vettori, ma avremo

E

_p

( x, y, z )

. Quindi scriveremo

F :

F

_x

= − ∂E

_p

( x, y, z )

∂x F

_y

= − ∂E

_p

( x, y, z )

∂y F

_z

= − ∂E

_p

( x, y, z )

∂z

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

o in forma più compatta

F 

= −∇ 

E

_p

( x, y, z ) ^{= −} ^∂E _∂x

^p

^u  +

x

∂E

_p

∂y u  +

_y

∂E

_p

∂z u 

_z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

. Dove ∂ (de) è il simbolo della derivata parziale e

∇ 

(nabla) è un operatore detto operatore nabla o anche gradiente (

grad

  

).

(8)

• Osservazione: per effettuare una derivata parziale rispetto ad una variabile

x

(esempio:

F

_x

= − ∂E

p

( x, y, z )

∂x

) si esegue una normale derivata assumendo come costanti le altri variabili indipendenti (in questo caso

y, z

).

 Il gradiente effettua una derivazione lungo la direzione ortogonale alla superficie equipotenziale.

 Impulso e quantità di moto:

Lavori e Forze