Matematica Open Source
– http://www.extrabyte.info Quaderni di Analisi Matematica – 2016Limiti notevoli
Marcello Colozzo
-6 Π -5 Π -4 Π -3 Π -2 Π -Π 0 Π 2 Π 3 Π 4 Π 5 Π 6 Π x
1 2
y
Proposizione 1 Di seguito altri limiti notevoli che derivano da quelli fondamentali.
Proposizione 2
xlim→0
arcsin x
x = 1
Dimostrazione. Eseguiamo il cambio di variabile t = arcsin x, per cui:
xlim→0
arcsin x x = lim
t→0
t sin t = 1
Proposizione 3
xlim→0
sinh x
x = 1 (1)
Dimostrazione. Abbiamo
sinh x
x = ex− e−x
2x = ex− 1 + 1 − e−x 2x
= 1 2
ex− 1
x + 1 − e−x x
= 1 2
ex− 1
x + e−xex− 1 x
, per cui:
xlim→0
sinh x x = 1
2
limx→0
ex− 1
| {zx }
=1
+
limx→0e−x
| {z }
=1
· limx→0
ex− 1 x
= 1
Proposizione 4
xlim→0
arcsinhx
x = 1 (2)
Dimostrazione. Eseguiamo il cambio di variabile t =arcsinhx, per cui:
xlim→0
arcsinhx x = lim
t→0
t
sinh t = 1
Proposizione 5
xlim→0
tan x
x = 1 (3)
Dimostrazione. Abbiamo:
xlim→0
tan x
x =
xlim→0
sin x x
·
xlim→0
1 cos x
= 1
1
Proposizione 6
xlim→0
arctan x
x = 1 (4)
Dimostrazione. Eseguiamo il cambio di variabile t = arctan x, per cui:
xlim→0
arctan x x = lim
t→0
t tan t = 1
Proposizione 7
xlim→0
tanh x
x = 1 (5)
Dimostrazione. Abbiamo:
xlim→0
tanh x
x =
xlim→0
sinh x x
·
xlim→0
1 cosh x
= 1
Proposizione 8
xlim→0
1 − cos x x2 = 1
2 (6)
Dimostrazione.
xlim→0
1 − cos x
x2 = lim
x→0
2 sin2 x2
x 2
2
· 4
t==x
2
1 2
limt→0
sin t t
2
= 1 2 In fig. ?? riportiamo il grafico di 1−cos xx2 .
-6 Π -5 Π -4 Π -3 Π -2 Π -Π 0 Π 2 Π 3 Π 4 Π 5 Π 6 Π x
1 2
y
Figura 1: Grafico di 1−cos xx2 .
Proposizione 9
|x|→+∞lim
1 + α x
x
= eα (7)
2
Dimostrazione.
|x|→+∞lim
1 + α
x
x
= lim
|x|→+∞
1 + α x
xαα
Eseguiamo il cambio di variabile t = αx:
|x|→+∞lim
1 + α x
αxα
=
"
|t|→+∞lim
1 + 1
t
t#α
= eα
Proposizione 10
limx→0(1 + αx)1x = eα (8)
Dimostrazione.
xlim→0(1 + αx)x1 = lim
x→0
h(1 + αx)αx1 iα
Eseguiamo il cambio di variabile t = αx:
limx→0
h
(1 + αx)αx1 iα
=h
limt→0(1 + t)1tiα
= eα
3
