S.I.S.S.I.S. 2000/2001
LABORATORIO DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA
??L’ORGANIZZAZIONE DEI DATI IN TABELLE E L’UTILIZZO DEI GRAFICI
??VALORI MEDI E INDICI DI VARIABILITA’
??EVENTI CASUALI E PROBABILITA’
PROF.SSA O. GIAMBALVO
A CURA DI:
CARDULLO PAOLO COTTONE FLAVIA DI GIORGIO PIETRO PERRONE ANGELO URSO MARCELLA
ORGANIZZAZIONE DEI DATI IN TABELLE E UTILIZZO DEI GRAFICI
Classe: IV I.P.S.S.A.R.
Obiettivi:
- raccolta dei dati
- spoglio e trascrizione dei dati - classificazione dei dati
- modalità e frequenza
- organizzazione dei dati in tabella
- costruzione dei grafici opportuni per ogni tipo di tabella prodotta
Prerequisiti:
- livelli di misura statistici (nominale, ordinale, intervalli, rapporti) - concetto di variabile (qualitativa, quantitativa)
- rappresentazioni grafiche cartesiane
Tempo di attuazione: 4 ore
Contenuti e metodologia:
Nell'affrontare questo percorso didattico, si sceglie di seguire la strategia del problem solving, in quanto si pensa che "imparare facendo" (learning by doing) sia il metodo più adeguato per l'apprendimento degli argomenti da trattare.
Prima lezione (2ore)
Per introdurre l’argomento organizzazione dei dati in tabelle e utilizzo dei grafici, si ritiene opportuno sottoporre agli allievi un problema da risolvere, in cui il ruolo dell'insegnante è quello di guidarli a proporre soluzioni. Per esempio, si potrebbe richiedere agli studenti di descrivere in maniera sintetica il loro gradimento relativamente al colore.
Dopo la rilevazione dei dati, si procede alla sistematica formalizzazione dell'argomento prescelto, con l'invito al riordino dei dati raccolti e alla creazione della distribuzione di frequenze delle loro preferenze. Questo è il passo iniziale da compiere per poter introdurre sul concetto di variabile qualitativa, quello di modalità, di frequenza e l’utilità della sintesi mediante la distribuzione di frequenza.
Dapprima si propone agli studenti di rappresentare in maniera autonoma la sintesi mediante la distribuzione di frequenza, poi li si guida ad una soluzione più corretta. I contenuti introdotti sono: raccolta dei dati, spoglio, classificazione, modalità, frequenza, distribuzione di frequenza, tabella. Si guidano gli studenti, per la descrizione sintetica del comportamento di un collettivo, alla ricerca di strade alternative all'uso delle distribuzioni di frequenza, cercando di orientarli verso l'uso di rappresentazioni grafiche. Si sottolinea come lo studio di un fenomeno statistico venga facilitato dalla rappresentazione grafica, che riesce a mettere in evidenza con più immediatezza certe caratteristiche della distribuzione statistica. Avendo considerato una variabile qualitativa, la rappresentazione più opportuna è costituita dal diagramma a torta (o diagramma circolare o aerogramma). Si divide un cerchio in settori circolari aventi un angolo al centro proporzionale alle frequenze o intensità che rappresentano, utilizzando la proporzione:
3600 : x = n : ni .
In generale, si fa notare il ricorso a questa rappresentazione grafica quando di un dato fenomeno si vogliono rappresentare le parti che lo compongono.
In alternativa si propone l’utilizzo del diagramma a barre (o grafico a strisce o a colonne o ortogramma) in cui la lunghezza delle barre è proporzionale all'intensità delle singole modalità.
Si procede in maniera analoga per introdurre le modalità ordinali.
Seconda lezione (2ore)
Come proseguimento della lezione precedente, si orienta l'attività didattica sull'uso e sul trattamento di variabili quantitative.
Si considera la variabile: "altezza dello studente". Questo esempio permette di sottolineare la differenza tra le rappresentazioni grafiche di variabili qualitative e quantitative, sfruttando la conoscenza del concetto di rappresentazione cartesiana, nota agli studenti. Si evidenzia inoltre il diverso trattamento nei confronti di variabili metriche discrete e continue. Si procede con esempi di tabelle con variabile metrica discreta e continua: numero delle stanze in relazione al numero di abitazioni in una data regione; peso di 100 studenti maschi in una scuola.
Riferendoci al secondo esempio, si evidenzierà la necessità di riunire le osservazioni in gruppi (classi) in relazione al carattere continuo della variabile. E’ importante dare delle direttive per la costruzione delle classi, in particolare: ampiezza (aperta e chiusa), numerosità delle classi, esclusività delle classi. La rappresentazione grafica sarà costituita da un diagramma per punti o da un diagramma ad aste nel primo esempio, da un istogramma nel secondo esempio, con l’accortezza di sottolineare i casi di classi di ampiezza uguali (frequenze = altezze) e di classi di ampiezza diverse (frequenze = aree). Si propone agli studenti un’attività trasversale che coinvolga altre discipline quali: economia aziendale, italiano. Si richiede il monitoraggio delle attività ristorative-alberghiere e la rilevazione dei siti artistico-culturali su una popolazione delimitata ad una zona della città, limitrofa alla scuola. Si chiede di sintetizzare i dati raccolti in tabelle e di rappresentarli graficamente.
VALORI MEDI E INDICI DI VARIABILITA'
Classe: IV I.P.S.S.A.R.
Obiettivi:
- conoscere i valori medi
- saper utilizzare il valore medio più appropriato in funzione dell'unità di misura statistica
- conoscere il concetto di variabilità
- saper utilizzare l'indice di variabilità più appropriato in funzione dell'unità di misura statistica
- saper effettuare il confronto fra gli indici di variabilità (variabilità relativa)
Prerequisiti:
- raccolta dei dati
- spoglio e classificazione dei dati - modalità e frequenza
- organizzazione dei dati in tabella e loro rappresentazione grafica
Tempo di attuazione: 4 ore Contenuti e metodologia:
n n M x n
n M x
i i
i i
2 2
S
( )S
s = -
=
Mo E Me
Nell'affrontare questo percorso didattico, si sceglie di seguire la strategia del problem solving, in quanto si ritiene che "imparare facendo" sia il metodo più adeguato per l'apprendimento degli argomenti da trattare.
Prima lezione (2ore)
Si chiede agli allievi di sintetizzare un carattere rilevato all'interno della classe (per esempio: colore dei capelli, bravura a pallone degli alunni della classe, peso o altezza). Si suggeriscono tre tipi di variabili differenti: nominale, ordinale e metrica, in modo che gli allievi si rendano conto della necessità di assegnare indici adeguati in relazione al livello di misura in esame.
Si decide di fissare l’attenzione dapprima sull’indice media in quanto intuitivamente noto agli studenti. Si cerca quindi di far pervenire gli allievi alla definizione di media aritmetica attraverso l'esempio: il voto in italiano. Si definisce la formula per calcolare la media sia semplice che ponderata, sottolineando che la seconda deriva dalla prima.
Nel caso di variabili continue e raggruppate in classi, occorre adattare il calcolo della media, l'esempio da trattare potrebbe essere l'altezza.
Si enuncia la prima proprietà della media aritmetica e si fa un esempio.
Si considera, a questo punto, una variabile qualitativa ordinale e si chiede di calcolare la media.
L'impossibilità di poter calcolare la media porterà gli studenti a prendere consapevolezza della necessità di utilizzare un indice appropriato (la mediana).
Si fa l'esempio della determinazione della mediana in due casi diversi:
- quello di successione di dati
- quello di distribuzione di frequenza.
Si farà lo stesso percorso per introdurre il concetto di indice sintetico relativo alle misurazioni nominali (la moda).
Si fa notare come le unità di sintesi più semplici (moda e mediana) possono essere calcolate per livelli di misura più complesse, pur perdendo informazione; mentre non è possibile il viceversa.
Ad esempio è possibile utilizzare la moda per variabili sia qualitative che quantitative, mentre è impossibile adoperare la media per variabili qualitative.
Allo scopo di mostrare che in alcuni casi è preferibile perdere parte dell'informazione utilizzando un indice di sintesi più semplice rispetto a quello più adeguato dal punto di vista teorico, si evidenzia la situazione del seguente esempio:
su un collettivo costituito da:
- 50 persone alte 1,70m e - 10 persone alte 1,90m ;
la media aritmetica è M = 1,73m che non corrisponde all'altezza di nessuno dei soggetti analizzati, quindi è più utile adoperare la mediana che meglio rappresenta i dati reali.
Da tale considerazione scaturisce la necessità di introdurre gli indici di variabilità che danno una descrizione di quanto fanno bene il loro lavoro gli indici sintetici (più ampia è la variabilità, meno buona è la sintesi).
Seconda lezione (2ore)
A proseguimento della lezione precedente, si dà la definizione intuitiva di variabilità come tendenza dei dati a differenziarsi, che può essere misurata con indici di dispersione (da un punto di riferimento) e con indici di disuguaglianza (fra loro).
Si mette in evidenza che il calcolo, per es. della media aritmetica, serve a sintetizzare i dati della distribuzione, ma non a sintetizzare la variabilità del fenomeno. Si può fare un esempio di due distribuzioni la cui media aritmetica è la stessa, ma l’una caratterizzata da una totale assenza di variabilità, l’altra con una certa variabilità.
Si introducono i principali indici di dispersione che si basano sullo scarto tra le singole osservazioni e la media aritmetica, limitandoci al caso della varianza e dello scarto quadratico medio. Nel caso di misurazioni non metriche si utilizza l'indice di variabilità del Gini.
In maniera analoga a quanto fatto precedentemente, si propongono degli esempi alla lavagna, evidenziando i casi di variabilità minima e variabilità massima.
Poiché il confronto tra le variabilità di distribuzioni diverse non può essere fatto direttamente con gli indici di variabilità assoluta, si introducono gli indici di variabilità relativa che tolgono l'influenza delle diverse medie e delle diverse unità di misura.
EVENTI CASUALI E PROBABILITA'
Classe: V I.P.S.S.A.R.
Obiettivi:
- saper individuare gli insiemi dei casi favorevoli e dei casi possibili all'interno dello spazio campionario
- saper distinguere fra eventi semplici e composti, dipendenti ed indipendenti, compatibili ed incompatibili
- riuscire a calcolare la probabilità di un evento semplice, condizionato e composto
Prerequisiti:
- insiemi e operazioni con gli insiemi (unione e intersezione) - funzioni e rappresentazioni grafiche cartesiane
- variabile statistica, frequenza, distribuzione di frequenza
Tempo di attuazione: 6 ore
Contenuti e metodologia:
Nell'affrontare questo percorso didattico, si sceglie di proporre i contenuti agli studenti attraverso lezione frontale, usando esercitazioni pratiche.
Prima lezione (2ore)
Per introdurre l’argomento e stimolare l’interesse dei ragazzi, si propone ad uno studente della classe la possibilità di fare una scommessa con il lancio di un dado ed il lancio di due dadi (evento semplice, evento composto).
In questo modo si cerca di far pervenire la classe, in modo empirico, alla definizione di probabilità classica di casi favorevoli/casi possibili.
Esempio
a) Lancio di un dado: la probabilità di vincere è indipendente dalla scelta del numero su cui puntare, come si evidenzia dalla tabella seguente
xi pi 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
b) Lancio di due dadi: la probabilità di vincere è dipendente dalla scelta del numero su cui puntare, come si evidenzia dalla tabella seguente
xi pi xi pi 2 1/12 8 5/12 3 2/12 9 4/12 4 3/12 10 3/12 5 4/12 11 2/12 6 5/12 12 1/12 7 6/12
Si danno i concetti di:
?? spazio campionario,
?? eventi semplici e composti,
?? eventi dipendenti ed indipendenti,
?? eventi compatibili ed incompatibili
Di seguito si introducono le tre definizioni di probabilità (classica, frequentista, soggettivista) evidenziando le differenze tra tali definizioni ed il significato che i ragazzi attribuiscono alla probabilità di un evento in funzione del
“senso comune”.
Seconda lezione (2ore)
A proseguimento della lezione precedente, si orienta l'attività didattica a momenti di esercitazione pratica per una migliore comprensione dei concetti dati.
Si evidenzia la convergenza tra la definizione classica e quella frequentista al crescere del numero delle prove riprendendo l’esempio a) della lezione precedente (legge dei grandi numeri).
Quindi si introducono i principi fondamentali che regolamentano il calcolo delle probabilità:
?? principio della probabilità totale per eventi indipendenti
?? principio della probabilità composta
?? principio della probabilità totale per eventi non disgiunti
?? principio della probabilità condizionata
associando ad ognuno un esempio pratico che ne faciliti la comprensione.
Esempio
a) Data un’ urna contente 20 palline, di cui 5 bianche, 5 rosse, 10 verdi. Qual è la probabilità che esca una pallina bianca o una rossa?
Poiché l’evento E è l’unione degli eventi Eb e Er , la sua probabilità è la somma delle probabilità dei singoli eventi:
p(E) = p(Eb) + p(Er)
evento probabilità
bianco 5/20
rosso 5/20
verde 10/20
p(E) = (5/20) + (5/20) = 10/20 = 1/2
b) Data due urne contenti rispettivamente 10 palline (5 bianche, 5 rosse) e 15 palline (10 bianche, 5 rosse). Qual è la probabilità che esca una pallina bianca da entrambe le urne?
Poiché l’evento E è l’intersezione degli eventi E1 e E2 , la sua probabilità è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi p(E) = p(E1). p(E2)
evento 1 probabilità evento 2 probabilità
bianco 5/10 bianco 10/15
rosso 5/10 rosso 5/15
p(E) = p(E1) . p(E2) = (5/10 ).( 10/15) = 1/3
c) Lancio di un dado: qual è la probabilità che esca una faccia pari o la faccia 2 ?
Poiché l’evento E è l’unione degli eventi non disgiunti E1 e E2 , la sua probabilità è la somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell’intersezione dei due eventi:
p(E) = p(E1) + p(E2) – p(E1 E2) evento probabilità
faccia pari 3/6
faccia 2 1/6
faccia pari e 2 (3/6). (1/6 )
p(E) = (3/6) + (1/6) – (3/6 ).( 1/6) = 7/12
d) Data un’ urna contente 40 palline, di cui 10 bianche, 10 rosse, 10 verdi, 10 gialle. Qual è la probabilità che esca una pallina rossa dopo l’estrazione di una bianca?
Poiché l’evento Er è condizionato dal verificarsi dell’evento Eb , la probabilità dell’evento verrà definita dalla formula seguente:
) (
) ) (
/ (
b b r b
r p E
E E E p
E
p =
Terza lezione (2ore)
Nelle ultime due ore si procederà a rinforzare i concetti delle lezioni precedenti, concentrando l’attività didattica su varie esercitazioni, proponendo agli alunni alcuni problemi da risolvere in maniera autonoma.
