Combinatoria Combinatoria
Allenamento del 30.10.2017
Gara del 2016 Gara del 2016
Quattro amici si sono stancati dei loro portachiavi e decidono di ridistribuirseli, in modo tale che ciascuno di loro ne abbia uno differente da quello che aveva prima. In quanti modi diversi possono scambiarsi i portachiavi?
portachiavi?
(A) 6 (B) 9 (C) 7 (D) 8 (E) 10
La risposta è (B) La risposta è (B)
Il problema equivale a permutare i numeri 1, 2, 3, 4 in modo che alla posizione i non compaia il numero i.
Le nove possibilità per farlo sono:
Le nove possibilità per farlo sono:
2143 2341 2413 3142
3421 3412 4123 4312 4321
Gara del 2016 Gara del 2016
Laura sta provando dei vestiti in un negozio. È indecisa tra 8 camicette, 5 maglioni, 6 pantaloni.
Per risparmiare comprerà solo due capi, di tipo diverso (ossia non due camicette o due maglioni o due pantaloni). In quanti modi Laura potrà fare i suoi acquisti?
potrà fare i suoi acquisti?
(A) 114 (B) 128 (C) 342 (D) 171 (E) 118
La risposta è (E) La risposta è (E)
Se Laura compra una camicetta e un maglione, ha 8x5=40 possibili scelte; se compra una camicetta ed un pantalone ne ha 8x6=48; se decide per un maglione ed ha 8x6=48; se decide per un maglione ed un pantalone altre 5x6=30 per un totale di 40+48+30=118 possibili scelte.
Gara del 2016 Gara del 2016
Ad un torneo di calcio partecipano solo 4 squadre, chiamate A, B, C, D. Ad ogni giornata, ciascuna squadra gioca una partita e, nel corso del torneo, ciascuna squadra incontra ogni altra precisamente una volta. Dopo le prime due giornate, la squadra A ha segnato 4 reti senza subirne, la squadra B ne ha subite 7 senza segnarne, la squadra C ne ha segnate 3 e ne ha subita 1, la squadra D ne ha segnata 1 senza subirne. Tenendo conto che ogni squadra guadagna 3 punti per ogni vittoria, 1 punto per ogni guadagna 3 punti per ogni vittoria, 1 punto per ogni pareggio e nessun punto in caso di sconfitta, indicare quanti punti hanno realizzato, rispettivamente, le squadre A, B, C, D (in questo ordine) nelle prime due giornate.
(A) 4,0,3,4 (B) 4,0,4,2 (C) 4,0,3,2 (D) 4,1,3,2 (E) 3,1,4,2
La risposta è (A) La risposta è (A)
La squadra B ha subito 7 reti e deve aver giocato con le squadre A e C, subendo 4 goal dalla squadra A e 3 dalla B, senza segnarne alcuno. Nella giornata in cui si è giocato l’incontro A-B si è giocato anche giocato l’incontro A-B si è giocato anche C-D mentre …. I risultati delle partite sono:
A-B: 4-0 C-D: 0-1 ; B-C: 0-3 D-A: 0-0
La risposta è quindi 4,0,3,4
Gara del 2016 Gara del 2016
Sei persone (due con una maglia verde, due con una maglia rosa, due con una maglia grigia), per giocare a briscola, vogliono suddividersi in tre squadre di due persone ciascuna. In quanti modi possono effettuare la suddivisione, facendo sì che i due di ciascuna squadra facendo sì che i due di ciascuna squadra abbiano maglie di colori differenti?
(A) 4 (B) 11 (C) 8 (D) 24 (E) 15
La risposta è (C) La risposta è (C)
Le due persone con la maglia verde non possono essere nella stessa squadra. Un giocatore verde è con un rosa ma l’altro verde è con un grigio. Questo decide verde è con un grigio. Questo decide anche la terza e quarta coppia. Tutte le scelte sono indipendenti quindi in totale 2x2x2=8
Gara del 2015 Gara del 2015
Laura ha ricevuto in regalo 200 dadi da gioco, di tipo molto particolare: ciascun dado ha quattro facce con il numero 2 e due facce con il 5. Laura sta per lanciare i 200 dadi tutti assieme, poi farà la somma dei 200 numeri usciti. Quanti sono i possibili valori che può usciti. Quanti sono i possibili valori che può assumere questa somma?
(A) 201 (B) 1000 (C) 601 (D) 600 (E) 1001
La risposta è (A) La risposta è (A)
Se n è il numero dei 2 usciti, la somma sarà 2n+5(200-n)=1000-3n …….
Questa somma può assumere 201 valori, tanti quanti i numeri da 0 a 200.
tanti quanti i numeri da 0 a 200.
Gara del 2015 Gara del 2015
Giovanni vuole ridipingere, ciascuna a tinta unita, le 5 pareti della sua stanza (4 pareti verticali più il soffitto). Avendo a disposizione vernice rossa, vernice gialla e vernice blu (che non si possono mescolare), vuole fare in modo che le pareti adiacenti (soffitto incluso) non abbiano mai lo stesso colore. In quanti modi Giovanni mai lo stesso colore. In quanti modi Giovanni può scegliere di colorare la stanza?
(A) 18 (B) 4 (C) 12 (D) 9 (E) 6
La risposta è (E) La risposta è (E)
Una volta scelta (in tre modi possibili) la tinta del soffitto, Giovanni ha 2 scelte per la prima parete mentre le altre pareti risultano di conseguenza.
risultano di conseguenza.
Gara del 2015 Gara del 2015
Giulio sa che nel suo cassetto ci sono, tutti mischiati, 20 calzini neri, 32 calzini blu, 44 grigi e 24 marroni, tutti della stessa forma. Sta partendo e vuole portare almeno due paia di calzini ben abbinati, di due diversi colori (i due calzini di ciascun paio devono avere lo stesso colore, ma le due paia devono essere di colori differenti). Poiché è buio e non distingue i colori, prende un mucchio di calzini alla rinfusa. Quanti calzini prende un mucchio di calzini alla rinfusa. Quanti calzini dovrà mettere in valigia, come minimo, per avere la certezza di portarne almeno due paia ben abbinati di due diversi colori?
(A) 77 (B) 6 (C) 68 (D) 48 (E) 24
La risposta è (D) La risposta è (D)
Notare che con 44 grigi + 1nero + 1blu + 1marrone avrebbe solo coppie di calzini grigi.
Con un calzino in più sicuramente una Con un calzino in più sicuramente una coppia di altro colore
Gara del 2015 Gara del 2015
Ad una festa, ogni ragazzo ha danzato con 4 ragazze diverse ed ogni ragazza ha danzato con 3 ragazzi diversi. Sapendo che alla festa c’erano 9 ragazzi, quante erano le ragazze?
(A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 8 (E) 16
La risposta è (C) La risposta è (C)
M = numero dei maschi F = numero delle femmine 4M =3F
Poiché M =9 ne segue che F = 12 Poiché M =9 ne segue che F = 12
Gara del 2015 Gara del 2015
Carlo ha dimenticato il codice di sblocco del suo telefono. Tutto ciò che ricorda è che il codice è composto di 4 cifre ed il prodotto di tali cifre è 18. Quanti sono i possibili codici che rispettano queste condizioni?
codici che rispettano queste condizioni?
(A) 32 (B) 36 (C) 40 (D) 60 (E) 24
La risposta è (B) La risposta è (B)
18 ha per divisori 1,2,3,6 e 9 e le cifre del codice possono essere ripetute
12 codici conterranno le cifre 9 2 1 1 12 codici conterranno le cifre 6 3 1 1 12 codici conterranno le cifre 6 3 1 1 12 codici conterranno le cifre 3 3 2 1
Gara del 2015 Gara del 2015
Indichiamo con 40! il numero ottenuto moltiplicando tutti i numeri interi da 1 a 40, vale a dire 40! = 1·2·3·4·...·38·39·40. Tra i numeri interi maggiori di 40 che sono divisori di 40!, trovare i cinque più piccoli ed indicare la loro somma.
la loro somma.
(A) 225 (B) 215 (C) 219 (D) 217 (E) 223
La risposta è (A) La risposta è (A)
I 5 più piccoli divisori di 40! maggiori di 40 sono: 42, 44, 45, 46, 48
42 + 44 + 45 +46 +48= 225 42 + 44 + 45 +46 +48= 225
Gara del 2015 Gara del 2015
Gianni possiede 60 palline, numerate da 1 a 60.
Un giorno, dopo essersi accorto di aver perso la pallina n◦1, decide di colorare le 59 rimanenti, rispettando questa regola: ciascun numero deve avere lo stesso colore di tutti i suoi multipli. Al massimo, quanti diversi colori suoi multipli. Al massimo, quanti diversi colori potrà usare Gianni per colorare le 59 palline?
(A) 2 (B) 10 (C) 8 (D) 17 (E) 12
La risposta è (C) La risposta è (C)
Considerare i numeri primi minori di 60:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 hanno un
multiplo minore di 60 e, quindi devono avere lo stesso colore
avere lo stesso colore
31,37,41,43,47,53,59 possono avere colori diversi
Può usare al più 8 colori
Gara del 2000 Gara del 2000
Un ladro spia Marco mentre chiude la sua valigia con un lucchetto con combinazione di 3 cifre (ciascuna cifra va da 0 a 9). Non ha potuto vedere la combinazione ma è riuscito a capire che due cifre consecutive sono uguali e la terza è diversa. Qual è il numero massimo di combinazioni che il ladro dovrà provare per combinazioni che il ladro dovrà provare per aprire la valigia di Marco?
(A) 180 (B) 190 (C) 200 (D) 210 (E) 220
La risposta è (A) La risposta è (A)
Il numero di combinazione del tipo xxy con y diverso da x è 10x9=90 ed è uguale al numero di combinazioni del tipo yxx.
Le combinazioni sono in tutto 180 Le combinazioni sono in tutto 180
Gara del 1994 Gara del 1994
Una mamma compra 3 giacche e 4 pantaloni per i suoi 2 gemelli. I capi di vestiario sono tutti diversi fra loro.
Quando escono insieme, in quanti modi possono presentarsi vestiti i due ragazzi?
possono presentarsi vestiti i due ragazzi?
(A) 3 (B) 4 (C) 12 (D) 24 (E) 72
La risposta è (E) La risposta è (E)
Il primo dei gemelli può vestirsi in 3x4=12 modi per ogni scelta del primo, al secondo rimangono 2 possibilità di scelta per la giacca e 3 per i pantaloni, cioè 6 scelte.
giacca e 3 per i pantaloni, cioè 6 scelte.
Il numero richiesto è dunque 12x6=72
Ma sarebbe stato 36 con gemelli indistinguibili
Gara del 1998 Gara del 1998
In una classe di 20 persone, 15 giocano a calcio, 14 a basket, 13 a pallavolo. Quanti sono, al minimo, coloro che praticano tutti e tre gli sport?
e tre gli sport?
(A) 0 (B) 2 (C) 7 (D) 9 (E) 13
La risposta è (B) La risposta è (B)
5 persone non giocano a calcio, 6 non giocano a basket, 7 non giocano a pallavolo:
se sono tutte distinte, allora rimangono esattamente due persone che praticano esattamente due persone che praticano tutti e tre gli sport.
Se qualcuno non pratichi alcuno sport: in tal caso il numero di chi li pratica tutti e tre aumenta.
Gara del 1998 Gara del 1998
Un pallone cuoio è ottenuto cucendo 20 pezzi di cuoio a forma esagonale e 12 pezzi a forma pentagonale. Una cucitura unisce i lati di due pezzi adiacenti. Allora il numero totale delle cuciture è:
totale delle cuciture è:
(A) 90 (B) 172 (C) 176 (D) 180
(E) i dati sono insufficienti
La risposta è (A) La risposta è (A)
Contando il numero delle cuciture adiacenti agli esagoni (6x20=120) più il numero delle cuciture adiacenti ai pentagoni (5x12=60) ogni cucitura viene pentagoni (5x12=60) ogni cucitura viene contata due volte, poiché essa appartiene a due poligoni.
Prova di Cortona 1996 Prova di Cortona 1996
In quanti modi è possibile colorare con sei colori le facce pentagonali di un dodecaedro in modo che ogni faccia confini con cinque facce di colori diversi confini con cinque facce di colori diversi fra loro e da quello della faccia stessa.
Occorre un modellino Occorre un modellino
Coloriamo con A una faccia e con B,C, D, E, F le facce ad essa confinanti.
La faccia opposta ad A non può che essere colorata con A e lo stesso vale per essere colorata con A e lo stesso vale per le altre coppie di facce opposte.
Il numero totale di scelte è 6!=720