Sistema di raffreddamento per freni a tamburo

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Sistema di raffreddamento per freni a tamburo

Marcello Colozzo

INDICE

Indice

1 Impostazione dinamica del problema 2

2 Impostazione termodinamica 3

2.1 I freni assorbono completamente il calore . . . 3 2.2 Dissipazione del calore prodotto . . . 4

1 IMPOSTAZIONE DINAMICA DEL PROBLEMA

Esercizio 1 In un laboratorio vengono eseguiti dei test allo scopo di misurare il surriscaldamento dei freni a tamburo di un autoveicolo di massa m che viene prima lanciato su un percorso orizzontale con velocit`a iniziale v0. Senza che vengano azionati i freni, l’autoveicolo si ferma dopo aver percorso una distanza d1. Azionando i freni, lo spazio di arresto `e d2.

Si determini l’incremento di temperatura dei freni, 1) trascurando il calore ceduto all’ambiente e supponendo nota la capacit`a termica dei tamburi; 2) tenendo conto del calore ceduto all’ambiente.

1 Impostazione dinamica del problema

Orientiamo un asse x con l’origine nel punto di partenza (velocit`a iniziale v0) dell’autoveicolo, e verso concorde a quello del moto. Senza azionare i freni, l’autoveicolo giunge alla quiete grazie all’attrito che pu`o essere schematizzato attraverso una resistenza passiva in regime lineare:

R₁ = −b₁v (b₁ > 0) (1)

Il secondo principio della dinamica restituisce l’equazione differenziale m ˙v = −b1v

che si integra facilmente per separazione di variabili:

v (t) = v0e^−b1mt e quindi l’equazione oraria del moto

x (t) = Z t

0

v (t^′) dt^′ = mv0

b1

1 − e^−b1mt

cio`e teoricamente, abbiamo una salita esponenziale:

t→lim+∞x (t) = mv0

b₁ = d1 =⇒ b1 = mv0

d₁ (2)

L’ultimo passaggio si giustifica osservando che la distanza d1 si suppone nota. L’azione dei freni pu`o essere schematizzata in maniera simile, ossia attraverso una resistenza passiva

R2 = −b2v

Ne segue che azionando i freni, il veicolo `e rallentato oltre che dall’azione di questi ultimi anche dall’attrito, per cui l’equazione differenziale del moto `e

m ˙v = − (b1+ b2) v Di nuovo, integrando:

v (t) = v₀e^−b1mt, x (t) = mv0

b1+ b2

1 − e^{−b1+b2m t}

(3) Abbiamo:

t→lim+∞x (t) = mv0

b1+ b2

= d2 =⇒ b1+ b2 = mv0

d2

(4) Tenendo conto della (2):

b2 = mv0

 1 d2

− 1 d1



(5)

2 IMPOSTAZIONE TERMODINAMICA

2 Impostazione termodinamica

2.1 I freni assorbono completamente il calore

L’energia cinetica iniziale viene progressivamente dissipata in calore. Pi`u precisamente, `e l’energia ci- netica di rotazione delle ruote che viene dissipata. Per ipotesi i tamburi assorbono ma non cedono ca- lore all’ambiente. Quindi non dobbiamo fare altro che applicare ilprimo principio della termodinamica:

δQ = dU + δL

passando a quantit`a finite. Nel nostro caso la variazione di energia interna `e nulla, per cui se Q e L sono rispettivamente il calore assorbito e il lavoro svolto, si ha:

Q = L

Ma dobbiamo stare attenti ai segni delle singole grandezze, giacch´e in termodinamica si considera positivo il calore assorbito dal sistema, e viceversa per il lavoro (positivo se eseguito sull’ambiente).

Il sistema termodinamico in esame `e costituito dai tamburi e conosciamo la capacit`a termica C. Il calore `e assorbito, dunque Q > 0, ma il lavoro `e negativo perch´e `e eseguito sull’esterno (per frenare l’autoveicolo). Quindi dobbiamo scrivere:

Q = |L|

La quantit`a di calore assorbita `e

Q = C∆T,

essendo ∆T l’incognita del problema, cio`e l’incremento di temperatura. Calcoliamo ora il lavoro;

quest’ultimo altro non `e che il lavoro eseguito dalla forza frenante:

L = Z ^d2

0

R2dx = −b2

Z ^d2

0

vdx Ma dx = v (t) dt e gli estremi di integrazione vanno come

0 ≤ x ≤ d2 =⇒ 0 ≤ t < +∞

Segue

L = −b2

Z +∞

0

v (t)²dt = −b2v₀² Z +∞

0

e^{−2(b1+b2)m t}dt

= b₂v₀²m 2 (b1+ b2)

he^{−2(b1+b2)m t}i^t=+∞

t=0 = −mv²₀ 2

b₂ b1+ b2

Sostituendo i valori precedentemente trovati per i coefficienti delle forze frenanti (eqq. 2-5), si trova:

L = −1 2mv²₀

 1 − d2

d₁



(6) Ne concludiamo che l’incremento di temperatura dei tamburi `e

∆T = mv₀² 2C

 1 −d2

d1



(7) Si osservi che tale incremento viene raggiunto asintoticamente, perch´e tali sono le distanze a secondo membro.

2 IMPOSTAZIONE TERMODINAMICA

2.2 Dissipazione del calore prodotto

Per rispondere al secondo quesito, possiamo assumere una legge di dissipazione (nell’ambiente) del calore del tipo

dQ

dt = A (T − T0) ,

dove A > 0 e T0 = 300 K `e la temperatura ambiente. Denotiamo con W (t) la potenza sviluppata dalla forza esercitata dai freni (R2):

W (t) = b2v (t) · v (t) = b2v²(t) = mv₀³ 1 d2

− 1 d1



(8) dove abbiamo tenuto conto della (5). Scriviamo, dunque, l’equazione del bilancio:

W (t) −dQ

dt = CdT dt I singoli termini sono:

W (t) = energia cinetica dissipata nell’unit`a di tempo dQ

dt = calore ceduto all’ambiente nell’unit`a di tempo CdT

dt = calore assorbito dai freni nell’unit`a di tempo Ne segue il problema di Cauchy:

 _dT

dt +_C^AT = ^W_C^(t) + ^A_CT₀

T (0) = T0 (t = 0`e l’istante in cui vengono azionati i freni) (9) la cui equazione differenziale `e del primo ordine, lineare e non omogenea, per cui applichiamo il procedimento standard che consiste nel trovare un fattore integrante:

I (t) = expZ A Ct



= e^ACt Quindi

e^ACtdT dt +A

Ce^ACtT

| {z }

=_dt^d

 e

A Ct

T(t)



= e^ACt W (t)

C + A

CT0



Integrando primo e secondo membro

e^ACtT (t) = K + Z

e^ACt W (t)

C + A

CT₀

 dt dove K `e una costante di integrazione. Dunque

T (t) = Ke^−ACt+ e^−ACt Z

e^CAt W (t)

C + A

CT0



dt (10)

2 IMPOSTAZIONE TERMODINAMICA

Calcoliamo a parte l’integrale tenendo conto della (8) Z

e^ACt W (t)

C + A

CT0



dt = mv₀³ 1 d2

− 1 d1

 Z e

_A

C−^2v0

d2



tdt + T0e^ACt

= mv₀³ 1 d2

− 1 d1

 1

A

C − ^2v_d2⁰e

_A

C−^2v0

d2



t+ T0e^ACt

Sostituendo nella (10):

T (t) = Ke^−ACt+

mv³₀

1 d₂ − _d¹

1



A C −^2v_d⁰

2

e^−2v0d2t+ T0

Imponendo la condizione iniziale T (0) = T0, si trova

T (t) =

mv₀³

1 d₂ − _d¹

1



A C − ^2v_d⁰

2



e^−2v0d2t− e^−ACt

+ T0 (11)

Si noti che affinch´e abbia significato l’espressione trovata, dovr`a essere A

C − 2v0

d₂ 6= 0 Senza perdita di generalit`a, supponiamo

A C − 2v0

d2

> 0 =⇒ A > 2v0C d2

(12) cio`e un rate di dissipazione del calore sufficientemente elevato se confrontato con la capacit`a termica dei freni. Abbiamo il seguente comportamento asintotico:

t→lim+∞T (t) = T₀

giacch´e, in teoria, il veicolo si fermer`a dopo un tempo infinito e in tale<sup>≪</sup>istante<sup>≫</sup>i freni hanno ceduto completamente il calore all’ambiente, ripristinando la temperatura iniziale. La derivata prima della funzione T (t) `e

dT dt =

mv³₀

1 d₂ −_d¹

1



A C − ^2v_d2⁰



−2v0

d2

e^−2v0d2 + A Ce^−ACt



ed ha uno zero per

t1 = ln

A C

d₂ 2v0



A C −^2v_d2⁰

corrispondente a un massimo relativo di T (t). Ad esempio, per A = 10³, v0 = 27.77 m / s (autoveicolo lanciato a 100 km / h), d1 = 30 m, d2 = 15 m, otteniamo l’andamento di fig. 1. In fig. 2 riportiamo la stessa grandezza per valori descrescenti del rate A.

2 IMPOSTAZIONE TERMODINAMICA

t₁ t

250 300 350

THKL

Figura 1: Andamento della temperatura dei freni per alcuni valori caratteristici delle grandezze in gioco.

t 300

400 500 600

THKL

Figura 2: Al decrescere del coefficiente A, si ha un maggior surriscaldamento dei frenti.