Processi Decisionali a Razionalità Limitata. Analytic Hierarchy and Network Process

Processi Decisionali a Razionalità Limitata

Analytic Hierarchy and

Network Process

Accettabilità dell’inconsistenza

 Dai giudizi del decisore/esperto sui confronti a coppie si determinano i pesi di ciascun criterio nell’albero decisionale

 Su questa base si sceglie l’alternativa di miglior compromesso per la risoluzione del problema

 I giudizi sono per loro natura inconsistenti

 L’inconsistenza è accettabile?

Matrice consistente

CR1 CR2 … CRn

CR1 w₁/w₁ w₁/w₂ … w₁/w_n CR2 w₂/w₁ w₂/w₂ … w₂/w_n

... … … … …

CRn w_n/w₁ w_n/w₂ … w_n/w_n

Colonna 2=Colonna 1*w₁/w₂

PESI

CR1 w₁

CR2 w₂

... …

CRn w_n

Matrice consistente

 Forma matriciale Aw=nw

 Per definizione n è autovalore di A e w è autovettore

 La relazione Aw=nw è valida se e solo se la matrice è consistente

 Il vettore w può rappresentare il vettore dei pesi locali

Riassumiamo

Se A è consistente:

 rg(A)=1

 l_max≠0, l_i=0  i≠max

 tr(A)=tr(D)=l_max+l_i=l_max

 tr(D)=n

 w associato a l_max è il vettore dei pesi locali

Matrice inconsistente

TEOREMA DI FROBENIUS-PERRON

Sia A≥0 quadrata di ordine n non riducibile. Allora:

 esiste l_i>0 con |l_i|≥|l_j|  j≠i

 l’autovettore associato ha tutte componenti positive

 l_i è radice semplice del polinomio caratteristico di A

Tuttavia, possono esistere altri l_j con |l_j|=|l_i|, quindi A può ancora essere ciclica

Matrice inconsistente

Riassumiamo

La matrice dei confronti a coppie:

 è non riducibile (il grafo è fortemente connesso)

 è primitiva (gli elementi della diagonale sono unitari)

 ha un unico autovalore dominante (vale il teorema di Frobenius-Perron)

 l’algoritmo di determinazione dei pesi locali fornisce proprio l’autovettore dominante

Il consistency index (CI)



CASO IDEALE

 l_max≠0, l_i=0 i≠max

 tr(A)=l_max+_i≠maxl_i=l_max=n

CASO REALE

 l_max>n, l_i generico i≠max

 tr(A)=l_max+_i≠maxl_i=n

Calcolo del CI

CI, RI e CR

 La possibilità di essere coerenti dipende dalla dimensione della matrice A

 RI=indice di consistenza medio per matrici randomiche

 CI va confrontato con RI

 CR=CI/RI CR≤10%

Dimensione n 3 4 5 6 7 8 9

RI 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45

Calcolo di CI e CR – esempio

A CR1 CR2 CR3

CR1 1 1/2 1/4

CR2 2 1 1/4

CR3 4 4 1

SOMMA

CR1 1,75 CR2 3,25

CR3 9

TOT 14,00

SOMMA N.

CR1 12,50%

CR2 23,21%

CR3 64,29%

Calcolo di CI e CR – esempio

A CR1 CR2 CR3

CR1 1 1/2 1/4

CR2 2 1 1/4

CR3 4 4 1

PESI

CR1 12,50%

CR2 23,21%

CR3 64,29%

PRODOTTO 0,40 0,64 2,07

l 3,12

CR1 CR2 CR3

 7 5,5 1,5

PESI

CR1 12,50%

CR2 23,21%

CR3 64,29%

l 3,12

La matrice A NON può essere accettata

Analytic Hierarchy Process (AHP)

I PRINCIPI FONDAMENTALI

1. La decomposizione gerarchica del problema 2. I giudizi comparativi

3. La sintesi gerarchica

La sintesi gerarchica

 I giudizi comparativi conducono alla determinazione dei pesi locali

 I pesi locali di ciascun elemento di un gruppo vengono moltiplicati per il peso locale

dell’elemento “padre”

 La metodologia procede secondo una logica bottom-up finché tutti i pesi locali non sono trasformati in pesi globali

La sintesi gerarchica – esempio

SCELTA PROGETTO

socio-economici strategici

economico-finanziari

VAN TIR ROI BEP I K D W H

0,36 0,43 0,21

0,16 0,14 0,48 0,22 0,36 0,43 0,21 0,17 0,83

Peso globale VAN=0,160,36=0,0576=5,76%

La valutazione delle alternative

 Tutte le alternative vengono valutate secondo tutti i criteri “foglia” dell’albero

 La valutazione delle alternative segue la logica AHP

 Si determina il peso globale di ciascuna alternativa

 L’alternativa con il ranking più alto è quella preferita

Il modello B.O.C.R.

 Alberi decisionali separati per

– benefici (B)

– opportunità (O) – costi (C)

– rischi (R)

 Le stesse alternative avranno diverse graduatorie per i vari alberi B.O.C.R.

 Combinazione dei risultati in un giudizio di sintesi

Il modello B.O.C.R.

Scelta soluzione

Benefici Opportunità Costi Rischi

b o c r

Analytic Hierarchy Process – un esempio

Analytic Hierarchy Process

UTILE NEL CASO DI

 Confusione a livello di obiettivi

 Carenze descrittive o valutative

 Co-presenza di aspetti qualitativi e quantitativi

 Diversi contributi disciplinari

 Difficoltà di caratterizzazione dello scenario di riferimento

 Difficoltà di attribuzione di valutazioni e pesi ai fattori decisionali

Il metodo Delphi

 Sviluppato a partire dagli anni ‘60

 Processo di comunicazione strutturato

 Massima convergenza nelle opinioni di un gruppo di esperti

 Elementi:

– Panel

– Sistema di comunicazione – Amministratori

– Informazione

Metodo Delphi e AHP: sintesi dei giudizi

A VAN TIR ROI BEP

VAN 1 3 1/5 1/3

TIR 1/3 1 1/2 1

ROI 5 2 1 3

BEP 3 1 1/3 1

B VAN TIR ROI BEP

VAN 1 5 2 1/3

TIR 1/5 1 1/3 7

ROI 1/2 3 1 3

BEP 3 1/7 1/3 1

SINTESI VAN TIR ROI BEP

VAN 1.0 3.9 0.6 0.3

TIR 0.3 1.0 0.4 0.6

ROI 1.6 2.4 1.0 3.0

BEP 3.0 0.4 0.3 1.0

Migliorare la consistenza

 Matrice A con CR≥10%

 OBIETTIVO: far avvicinare

l

– scegliere max o min – porre

Migliorare la consistenza – esempio

A CR1 CR2 CR3

CR1 1 7 2

CR2 1/7 1 1

CR3 1/2 1 1

PESI

CR1 64,67%

CR2 14,03%

CR3 21,30%

CR=15,25%

B CR1 CR2 CR3

CR1 1 1,518294 0,658634 CR2 0,658634 1 1,518294 CR3 1,518294 0,658634 1

C CR1 CR2 CR3

CR1 1 7 3,036589

PESI

CR1 69,54%

CR=6,72%