a Giuseppe Albenga
Fig. 10.
meccanico). Questi t r e t e r m i n i di c o r p i , essendo t u t t i p a r i m e n t i semplici dal p u n t o di vista geome- t r i c o , possono p r e n d e r e posto nella p r i m a colonna della tabella d i f i g . 9 .
A n a l o g a m e n t e p o t r e m o r i e m p i r e u n a colonna con i t e r m i n i morfologici di corpi cosidetti cellu- l a r i (blocco cellulare, lastra cellulare, b a r r a t u b o - lare), i quali p o t r e b b e r o essere derivati da quelli del 1° o r d i n e essendo costituiti da t a n t e lastre u n i t e i n s i e m e ; e perciò vengono detti corpi del 2° o r d i n e geometrico. P o i u n a colonna con s t r u t t u r e a gabbia, costituite da t a n t e b a r r e , q u i n d i del 2° o r d i n e geo- m e t r i c o . I n o l t r e due classi di corpi o t t e n u t i im- m e r g e n d o in un c o r p o del 1° o r d i n e quelli del 2°
(7) A . CAVALLARI-MURZAT, Evoluzione delle centine da ponte metalliche, rimovibili ed incorporabili, in « Atti e Rassegna Tecnica », maggio 1949.
(8) A. CAVALLARI-MURAT, Contributo torinese alla storia dell'evoluzione dei ponti del tipo Risorgimento, in « Atti e Rassegna Tecnica », aprile-maggio 1950.
(9) Asserì giustamente SEVERUD nell'opera citata in (2):
« In natura spesso la forma è più importante del materiale ».
(10) Par. 6. Nel Trattato della Pittura di LEONARDO.
(11) Esempio pratico. Entrando nella tabella lungo la 2a riga orizzontale (2° ordine meccanico), potremmo elencare nell'ordine geometrico 1° mattonelle; nel 2° ordine geome- trico ciottolato, tavelle Perret e coperchio da tombino; nel 3° ordine geometrico mosaico, muricelo dì mattoni, soletta in cemento armato e soletta in vetro cemento. Oppure, ricor- rendo a materiali ancora più significativi, ordinandoli come prima: lastre di materie plastiche omogenee, strato di sughe- ro sciolto, cuscinetto isolante di gomma, materassino di pa- glia di vetro, manto di pietrischetto bituminoso, pannello di sughero, lastre di eternit, manti di materie plastiche armati con tessuti.
(12) Esempio pratico. Entrando nella Tabella alla la
riga orizzontale, in successione incontriamo al 1° ordine geo- metrico: dighe a gravità, dighe di pietrame sciolto, dighe a gravità alleggerite, refrigeratori, dighe in muratura legata, cassoni di fondazione, plinti in cemento armato.
o r d i n e ; e questi corpi c h i a m e r e m o di 3° o r d i n e p e r c h è assommano o qualità della la e 2a colonna o p p u r e qualità della la e 3a colonna.
A n c h e i corpi così foggiati h a n n o differenti gradi di deformabilità meccanica facilmente i n t u i b i l i . P e r t a n t o la tabella fornisce l'elencazione in colonne (verticali) degli o r d i n i geometrici ed in r i g h e (oriz- zontali) degli o r d i n i meccanici. Le colonne p o t r e b - b e r o accrescersi: e con la p i ù p r o g r e d i t a tecnica della prefabbricazione siamo già giunti in vista di o r d i n i geometrici superiori al t e r z o . Nella fonda- zione da p o n t e di fig. 10 i p a l i in cemento a r m a t o sono s t r u t t u r e geometriche del 3° o r d i n e e vengono infilati in cassoni cellulari r i e m p i t i con calcestruzzo, perciò p u r e essi del 3° o r d i n e , r i c o n d u c e n d o c i a s t r u t t u r e geometriche del 6° o r d i n e . A t a n t a com- plessità è giunta la tecnica civile!
A l t r e t t a n t o p o t r e b b e dirsi delle r i g h e , che d a n n o il grado di deformabilità della s t r u t t u r a , in q u a n t o si dovrà i n t r o d u r r e il già m a t u r o concetto meccanico che la deformazione è funzione dello stato di tensione delle s t r u t t u r e stesse. Così u n a pretensione o precompressione ci p o r t a a differen- ziare n o t e v o l m e n t e il cemento a r m a t o n o r m a l e da quello del precompresso p u r avendo a p p a r e n t e - m e n t e eguali le visibili forme g e o m e t r i c h e . E così i p o n t i Mélan (7) d o v r a n n o avere un o r d i n e mecca- nico che differisce da quello degli archi cellulari in cemento a r m a t o (8).
Ne si vuoi tacere che la g r a d u a t o r i a della defor- m a b i l i t à meccanica h a u n ' a l t r a complicazione, che è precisazione insieme, se si considera la necessità di t e n e r conto delle c u r v a t u r e oggi t a n t o sfruttate ai fini d e l l ' i r r i g i d i m e n t o delle s t r u t t u r e a guscio.
Se p r o v i a m o a sostituire nelle v e n t i q u a t t r o ca- selle della tabella di fig. 9 i t e r m i n i della n o m e n - clatura convenzionale con i t e r m i n i della nomencla- t u r a tecnica p r a t i c a , o t t e n i a m o un p a n o r a m a affasci- n a n t e della genialità inventiva d e l l ' u m a n i t à . Ed il fascino si accresce se riusciamo a p o r r e accanto alle o p e r e d e l l ' u o m o q u e i pretesti n a t u r a l i che sono stati o che a v r e b b e r o p o t u t o essere utilizzati nella loro ideazione.
S ' a p p a r e n t a n o allora idee s t r u t t u r a l i realizzate nella stessa scala e — cosa forse p i ù interessante — idee realizzate i m p r e v e d i b i l m e n t e in scale macro- scopiche o microscopiche, m a g a r i con m a t e r i a l i dif- ferenti (9). La figura 9, che p o t r e b b e a p p a r i r e oziosa esercitazione di pazienza, ci dà la chiave p e r meglio « p e n e t r a r d e n t r o » n e l l e cose, p e r usare u n a espressione leonardesca (1 0). Specie questa pe- n e t r a z i o n e ci illumina nei r i g u a r d i dei m a t e r i a l i da costruzione, oggi così varii nelle molteplici p u b - blicitarie p r o p o s t e d e l l ' i n d u s t r i a che sforna i suoi i n g o m b r a n t i sottoprodotti (1 1). Ma n o n m i n o r e ri- salto d ' u t i l i t à ha in m e r i t o agli edifici, specie p e r quelli complessi alla cui descrizione e catalògazione sono insufficienti i vocaboli ed i m e t o d i d e l l ' a n t i c a trattatistica (1 2).
Augusto Cavallari-Murat Politecnico di Torino - Istituto di costruzioni in legno, ferro e cemento armato e Istituto di Ar- chitettura Tecnica.
La resistenza degli involucri cilindrici premuti dall'esterno
Si danno indicazioni sul calcolo degli involucri cilindrici premuti uniformemente dall'esterno. Si incon- tra questo problema nella costruzione delle caldaie e delle turbine e in numerose altre applicazioni.
1. - In u n a n o t a p r e c e d e n t e comjjarsa su questa Rassegna (*) ho t r a t t a t o del calcolo degli involucri cilindrici soggeti ad elevate pressioni i n t e r n e .
Se la pressione è p u r e elevata, e q u i n d i lo spes- sore g r a n d e rispetto al raggio, a n c h e agli involucri p r e m u t i u n i f o r m e m e n t e d a l l ' e s t e r n o si possono a p - p l i c a r e , m u t a n d o s e m p l i c e m e n t e certi segni, le t r a t t a z i o n i allora i n d i c a t e , con la restrizione, p e r ciò che si riferisce alle zone e v e n t u a l m e n t e interes- sate da fenomeni di plasticità, che tali zone n o n siano t r o p p o estese rispetto alla p a r t e che resiste elasticamente.
Se invece le pressioni sono m o d e r a t e , e q u i n d i è r e l a t i v a m e n t e piccolo lo spessore assegnato al- l ' i n v o l u c r o , si manifestano instabilità di forma che m u t a n o r a d i c a l m e n t e i l p r o b l e m a della resistenza.
La sezione retta d e l l ' i n v o l u c r o assume allora forme l o b a t e ed il n u m e r o dei lobi d i p e n d e dal r a p - p o r t o fra il d i a m e t r o e la distanza di d u e succes- sivi rinforzi « efficaci », rinforzi cioè tali da garan- t i r e la conservazione della forma nella loro se- zione (2).
D e t t o z il n u m e r o dei t r o n c h i ( p a r i al d o p p i o dei lobi) ed a p p l i c a n d o a ciascuno di essi, p e r la lunghezza u n i t a r i a , la formula di E u l e r o dei so- lidi caricati di p u n t a si ha semplicemente p e r la pressione limite p ( s ' i n t e n d e la effettiva, cioè la differenza fra la esterna e la i n t e r n a ) l'espressione : (1)
in cui s è lo spessore, r il raggio, E il m o d u l o di elasticità.
P o s t o E = 2.106at e z = 4 (caso della deformata ovale) si ottiene s e m p l i c e m e n t e :
F o r m u l e del t i p o : (3)
sono infatti a d o t t a t e in v a r i e r e g o l a m e n t a z i o n i , n e l l e q u a l i al coefficiente K si conferiscono valori
maggiori di quelli ricavabili dalla (1).
Il n u m e r o z è stato o t t e n u t o s p e r i m e n t a l m e n t e d a l l ' U n w i n nel caso dei focolai i n t e r n i lisci di caldaie cilindriche (costruiti, c o m ' è n o t o , in ac- ciaio dolce) e p u ò essere dedotto dalla seguente ta- b e l l a , in cui / è la lunghezza c o m p r e s a fra d u e suc- cessivi rinforzi efficaci.
(1)N. 5 - 6 , Annata 1948.
(2) Cfr. P. E. BRUNELLI, Caldaie a vapore (Vol. III del Corso di Fisica Tecnica), Ed. Giorgio, 1948, pag. 252.
La (3) vale finchè fornisce spessori s u p e r i o r i a q u e l l i c o r r i s p o n d e n t i a l l a forma cilindrica a se- zione circolare, p e r la q u a l e si rinvia alla n o t a già citata.
2. - Una t r a t t a z i o n e p i ù a c c u r a t a , valida "per / molto g r a n d e è dovuta a M. Levy (3). Assunta ellit- tica la forma della sezione deformata d e l l ' i n v o l u c r o e detti u il piccolo s p o s t a m e n t o r a d i a l e dell'eie-
0,00/
valida e n t r o i limiti di a p p l i c a z i o n e della legge di H o o k e .
(3) Cfr. Jour. d. Math. pure et Appl., pag. 5, 1884.
(4) Comptes Rendus Ac. S e , Voi. 97, pag. 843, 1883.
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ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
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m e n t o ds di involucro, m l'inverso del m o d u l o di Poisson, la n o t a e q u a z i o n e del Boussinesq (4), scrit- ta con le n o t a z i o n i c o n s u e t e :
(4)
e o p p o r t u n a m e n t e i n t e g r a t a , fornisce l'espressione:
(5)
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Oltre tali limiti e sempre p e r u n a sezione defor- mata a 2 lobi il Southwell (5) giunge con a l t r a trat- tazione alla formula :
(6)
in cui σ è la tensione nella fibra compressa che inizia il c e d i m e n t o .
La (6) dà in ogni caso valori m i n o r i di q u e l l o limite σ (s/R) . P e r piccole lunghezz e d'involucro , e quindi p e r forme lobate m e n o semplici le trat-
(5) Phil. Mag., pag. 67, 1915.
(6) Phil. Mag., pag. 503, 1913.
(7) Phil. Mag., pag. 51, 1914. Si veda pure il noto trattato di S. Timoshenko, « Applied Elasticity », Londra, pag. 247, 1928.
Tali valori non sono, a rigore, coerenti fra loro perchè riferiti ad acciai di v a r i o t i p o . Essi tutta- via obbediscono con sufficiente a p p r o s s i m a z i o n e alla f o r m u l a e m p i r i c a :
(7)
La fig. 1, disegnata su assi l o g a r i t m i c i , serve b e n e al confronto delle v a r i e soluzioni. D i v i d e n d o le o r d i n a t e p e r E si o t t e r r e b b e un grafico t u t t o rife- r i t o a p a r a m e t r i a d i m e n s i o n a l i , ma si è p r e f e r i t o m e t t e r e in evidenza i valori delle pressioni c r i t i c h e . Sulla figura si trova segnata in p a r t i c o l a r e , p e r σ = 6. 103 at, la linea corrispondente al valore li- mite pl i m = σ (s/R), con la quale praticamente coincide, data la piccolezza relativa degli spessori in esame, la curva corrispondente al criterio del B e l t r a m i , a cui si è fatto cenno nella' nota prece- d e n t e .
È p u r e segnata p e r z = 4 sia la linea corrispon- d e n t e alla formula (1), sia quella che r i s p o n d e alla n o t a formula del B a c h p e r i forni di c a l d a i e
(8)
nella q u a l e al coefficiente a è stato assegnato il va- l o r e 100, che c o m p e t e ai c i l i n d r i orizzontali.
Le linee c o r r i s p o n d e n t i alle f o r m u l e del Levy e del S o u t h w e l l sono in b u o n a c c o r d o fra loro e n t r o il c a m p o finora e s a m i n a t o . La linea del Southwell si incurva p o i p e r valori crescenti di s/r, t e n d e n d o al l i m i t e già r i c o r d a t o . A s s u m e n d o questa linea come valida p e r u n c a m p o p i ù esteso del prece- d e n t e e c o n t r a s s e g n a n d o i valori ad essa relativi con l ' i n d i c e o, si p u ò a d o t t a r e in p r i m a a p p r o s s i m a - zione la seguente formula e m p i r i c a :
P e r agevolare i confronti con la n o t a p r e c e d e n t e i r i s u l t a t i di queste relazioni sono stati r i p o r t a t i a n c h e in fig. 2, essendo so = rp/σ ed avend o posto σ = 5 . 1 03 a t .
3. - Queste formule, o i grafici, servono a ri- solvere anche il p r o b l e m a inverso al p r e c e d e n t e , quello cioè di determinare lo spessore q u a n d o è n o t a la pressione alla q u a l e l ' i n v o l u c r o deve nor- m a l m e n t e resistere. B a s t e r à m o l t i p l i c a r e tale pres- sione p e r un o p p o r t u n o fattore di sicurezza e cer- care il v a l o r e di s c h e vi c o r r i s p o n d e .
Ad es. p e r p = 1 0 a t , r / l = 0 , l , posto u g u a l e a 5 il fattore di sicurezza, dalla fig. 1 si ha s / r = ~ 0 , 0 3 e dalla fig. 2, s / so= ~ 3 . Se r = 300 mm risulta così s = 9 m m . La (8) a p p l i c a t a n e l m o d o consueto, cioè r i d u c e n d o a p e r l'acciaio dolce a 0,7.103 e p o n e n d o p = 10, fornisce pressochè lo stesso r i s u l t a t o .
Cesare Codegone Politecnico di Torino - Istituto di fisica tecnica.
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IX TORINO-NUOVA SERIE- ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
a Giuseppe Albenga
Studio della statica di una speciale trave incernierata agli estremi
Della trave inflessa incernierata agli estremi e caricata con legge p (x) in uno dei piani principali si studia con applicazione di serie trigonometriche l'equazione della linea elastica ed il valore della compo-
nente assiale delle reazioni vincolari.
Ci p r o p o n i a m o in questa breve n o t a lo studio statico di u n a t r a v e i n c e r n i e r a t a agli e s t r e m i ; vin- colata cioè in m o d o che ai suoi estremi non siano consentiti s p o s t a m e n t i di sorta p u r essendo per- messe rotazioni. P e r semplicità consideriamo la se- zione costante ed il carico in u n o dei p i a n i princi- pali della t r a v e .
Siano E, J m o d u l o di elasticità e m o m e n t o di inerzia della t r a v e , 1 la sua lunghezza, H la com- p o n e n t e assiale della reazione (positiva in senso t r a e n t e ) delle c e r n i e r e , x l'ascissa c o r r e n t e , y ( x ) la linea elastica, p ( x ) il carico c o r r e n t e .
A v r e m o come è facile ricavare p e r la y(x) la equazione colle condizioni agli e s t r e m i :
(1)
y(o) = y"(o) = y(l) = y"(l) = o
ora tale a l l u n g a m e n t o deve essere a c c o m p a g n a t o da u n a reazione vincolare data da
H = εEA dove A è la sezione della trave.
Risulta allora che H viene fornita d a l l ' e q u a z i o n e
(3)
i n o l t r e , se la serie in cui si è s v i l u p p a t o p ( x ) con- verge in m e d i a q u a d r a t i c a la (2) è effettivamente la soluzione di (1).
Si t r a t t a ora di calcolare la H che ovvie consi- derazioni fisiche ci fanno cercare nel c a m p o dei reali positivi.
Se la linea elastica è data da (2) la lunghezza
che si ottiene t r a s c u r a n d o i t e r m i n i oltre il p r i m o nella serie che c o m p a r e in (3).
Eugenio Frola Politecnico di Torino.
a Giuseppe Albenga
Qualche considerazione sul principio di De Saint-Venant
I. Esposizione critica dello sviluppo del problema. - II. Proposta di un metodo di studio approssimato delle strutture elastiche complesse pensate come scomposte in più solidi longilinei continuamente collegati fra loro.
I. - Il p r i n c i p i o di De Saint-Venant è n a t o come giustificazione i n t r o d u t t i v a a quella teoria delle t r a v i snelle, di sezione trasversale c o m p a t t a e co- stante o solo l e n t a m e n t e v a r i a b i l e lungo un asse ret- tilineo o a g r a n d e raggio di c u r v a t u r a , che t a n t a p a r t e ha avuto nello svolgersi della scienza del costruire.
T u t t a v i a i t r a t t a t i s t i dell'elasticità usano e n u n - ciarlo sotto u n a forma m o l t o g e n e r a l e :
« Secondo questo p r i n c i p i o , le deformazioni u n i - t a r i e p r o d o t t e i n u n corpo d a l l ' a p p l i c a z i o n e , a d u n a piccola zona della sua superfice, di un sistema di forze staticamente e q u i v a l e n t e ad u n a r i s u l t a n t e n u l l a e ad un m o m e n t o n u l l o sono t r a s c u r a b i l i a
distanze g r a n d i rispetto alle dimensioni lineari della zona ».
Così il Love (1), e con lui quasi t u t t i .
Queste p a r o l e n o n sono t r o p p o precise, e si c o m p r e n d e q u i n d i come negli u l t i m i decenni si siano avuti alcuni notevoli studi intesi a giungere sia ad u n a espressione suscettibile di dimostrazione m a t e m a t i c a , sia alla dimostrazione stessa.
Ho sottolineato la parola piccola perchè dalla sua i n t e r p r e t a z i o n e si o r i g i n a n o due diversi ordini di r i c e r c h e .
(1) A. E. H. LOVE, Theory oj Elasticity, p. 132 (4th edi- tion).
ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 - OTTOBRE 1952
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tazioni divengono p i ù c o m p l i c a t e . Al r i g u a r d o i risultati di altri studi del Southwell (6) e delle ri- cerche s p e r i m e n t a l i del Cook (7), validi n e l c a m p o delle deformazioni elastiehe e delle t e m p e r a t u r e o r d i n a r i e , sono c o m p e n d i a t i nella seguente t a b e l l a : Pressioni limiti (in a t m ) per involucri d'acciaio premuti dall'esterno.
s/R = 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 r/l = 0,1 0,18 1,0 2,9 6,6 12,3 17 23 31 0,2 0,37 2,1 5,9 13 2 1 32 47 66 0,3 0,56 3,2 9,3 18 31 51 76 111 0,4 0 , 7 6 , 4 , 5 11,6 25 45 70 101 140 0,5 0,97 5,5 15 32 55 87 132 190 1,0 2,0 — — — — — — — 1,20 4,2 — — — — — — —
EJy
IV— Hy" = — p ( x )
S v i l u p p a t o p(x) in serie di s e n i :
si vede che le (1) sono f o r m a l m e n t e soddisfatte d a :
di tale linea, trascurati i t e r m i n i di grado s u p e - riore al secondo nelle derivate p r i m e , è :
il che ci dice che l'allungamento assiale è dato da
che in c a m p o reale positivo n o n ha che u n a sola soluzione.
P e r un calcolo n u m e r i c o è p i ù che sufficiente considerare al posto della (3) l ' e q u a z i o n e di 3°
grado
