Stimatori dello stato
• La retroazione statica dello stato u(k) = K x(k) richiede la conoscenza di tutte le componenti del vettore di stato. Tipicamente le uniche variabili che vengono misurate, mediante opportuni sensori, sono le componenti del vettore di uscita y(k).
• Non potendo misurare lo stato x(k), si cerca di ottenerne una stima ˆ x(k) utilizzando un opportuno sistema dinamico che prende il nome, appunto, di stimatore dello stato. Verranno presi in considerazione 3 diversi stimatori:
1) in catena aperta; 2) in catena chiusa; 3) di ordine ridotto.
1) Stimatore dello stato in catena aperta :
• Lo stimatore in catena aperta si ottiene semplicemente facendo una “co- pia” del sistema dinamico dato. Le equazioni dello stimatore in catena aperta sono le seguenti (caso discreto e caso continuo):
x(k + 1) = A ˆ ˆ x(k) + B u(k) , ˙ˆx(t) = A ˆx(t) + B u(t)
• Propriet` a. Lo stimatore dello stato in catena aperta pu` o essere utilizzato solo se il sistema `e asintoticamente stabile.
Prova. Definiamo come errore di stima (nel caso tempo discreto e nel caso tempo continuo) le seguenti variabili:
e(k) = x(k) − ˆx(k), e(t) = x(t) − ˆx(t)
Sostituendo si ottiene che e(k + 1) = x(k + 1) − ˆx(k + 1) = A[x(k) − ˆx(k)] e
˙e(t) = ˙x(t) − ˙ˆx(t) = A[x(t) − ˆx(t)], da cui si ricava:
e(k + 1) = Ae(k), ˙e(t) = Ae(t)
Sia e(0) = ˆx(0) − x(0) l’errore di stima iniziale. Nei due casi, la dinamica dell’errore di stima `e il seguente:
e(k) = Ake(0), e(t) = eA te(0)
Quindi l’errore di stima tende asintoticamente a zero solo se tutti gli autovalori della matrice A sono strettamente stabili.
• Nel caso di sistemi stabili, non `e comunque possibile modificare la velocit`a
di convergenza della stima ˆ x(k) al valore vero x(k).
2) Stimatore dello stato in catena chiusa :
• Lo stimatore in catena chiusa si ottiene da quello in catena aperta aggiun- gendo in ingresso un’azione di controllo L[ˆ y(k) − y(k)] (caso discreto) proporzionale all’errore di stima sull’uscita ˆ y(k) − y(k):
ˆ
x(k + 1) = Aˆ x(k) + Bu(k) + L[ˆ y(k) − y(k)]
| {z }
controllo aggiuntivo
• Le equazioni dello stimatore in catena chiusa sono quindi le seguenti:
x(k + 1) = (A + LC)ˆ ˆ x(k) − Ly(k) + Bu(k) (caso discreto)
• In questo caso l’errore di stima soddisfa la seguente equazione:
e(k + 1) = x(k + 1) − ˆ x(k + 1) = (A + LC)e(k)
La dinamica dell’errore di stima `e completamente definita dalla posizione degli autovalori della matrice A + LC. Se tutti gli autovalori sono stabili, l’errore di stima e(k) = (A + LC)
ke(0) tende asintoticamente a zero quando k → ∞.
• La matrice L rappresenta un grado di libert`a che pu`o essere utilizzato per posizionare a piacere gli autovalori della matrice A + LC.
• Nel caso continuo, le equazioni dello stimatore in catena chiusa sono:
˙ˆx(t) = (A + LC)ˆx(t) − Ly(t) + Bu(t) (caso continuo)
• Per la propriet`a dei sistemi duali il polinomio caratteristico della matrice A + LC pu`o essere fissato ad arbitrio se e solo se la coppia (A
T, C
T)
`e raggiungibile o, equivalentemente, se e solo se la coppia (A, C) `e osservabile.
• Per calcolare la matrice L si considera la coppia “raggiungibile” (A
T, C
T) e si procede alla sintesi della matrice dei guadagni L
Tseguendo le tecniche viste in precedenza per la allocazione degli autovalori.
• Se il sistema non `e completamente osservabile, gli autovalori della parte
non osservabile (e quindi i corrispondenti “modi” dell’errore di stima) non
potranno essere modificati utilizzando la matrice L.
• Solo se la parte non osservabile del sistema `e asintoticamente stabile sar` a possibile procedere alla sintesi di uno stimatore asintotico dello stato. In caso contrario l’errore di stima sar` a sicuramente divergente.
• Nel caso di sistemi (A, C) completamente osservabili e con una sola uscita (p = 1), invece di “dualizzare” il sistema `e possibile posizionare ad arbitrio gli autovalori della matrice A + LC utilizzando direttamente una delle seguenti due “formule duali”.
1) Formula che utilizza la forma canonica di osservabilit`a:
L = P
cL
c=
α
1α
2. . . α
n−11 α
2. . . . 1 0 ... ... ... ... ...
α
n−11 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0
C CA CA
2. . . CA
n−1
−1
α
0− d
0α
1− d
1...
α
n−1− d
n−1
| {z }
Lc
dove α
isono i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A:
∆
A(λ) = λ
n+ α
n−1λ
n−1+ . . . + α
1λ + α
0e d
isono i coefficienti di un polinomio monico arbitrario p(λ):
p (λ) = λ
n+ d
n−1λ
n−1+ . . . + d
1λ + d
02) Formula basata sulla “dualizzazione” della formula di Ackerman:
L = −p(A) (O
−)
−1
0 ...
0 1
| {z }
q
= −p(A)q
dove q `e l’ultima colonna dell’inversa della matrice di osservabilit`a e dove
p (A) `e la matrice che si ottiene dal polinomio arbitrario p(λ) sostituendo
in esso la matrice A al posto del parametro λ.
Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare continuo [ ˙x(t) = A x(t) + B u(t), y(t) = C x(t)]
˙x(t) =
−2 1 −1
−2 −1 −1 0 −1 −1
x(t) +
1 1
−1
u(t) y(t) = h 0 1 0 ix(t)
dove x(t) =
x1(t) x2(t) x3(t)
dove x(t) `e il vettore di stato, y(t) il segnale di uscita e u(t) il segnale d’ingresso. Deter- minare, se `e possibile, la matrice L di un osservatore asintotico dello stato di ordine pieno che posizioni in −1 il maggior numero possibile di autovalori dell’osservatore. Nella sintesi dell’osservatore si utilizzi la formula di Ackerman.
Soluzione. Il sistema `e completamente osservabile
O− =
0 1 0
−2 −1 −1
6 0 4
→ det O− = −2
per cui `e possibile costruire un osservatore asintotico dello stato di ordine pieno. Utilizzando la formula di Ackerman si ha:
L = −(A + I)3(O−)−1
0 0 1
cio`e
L = −
−1 1 −1
−2 0 −1
0 −1 0
3
0 1 0
−2 −1 −1
6 0 4
−1
0 0 1
= −
1 −1 1
0 0 −1
−2 1 −2
−2 −2 −0.5
1 0 0
3 3 1
0 0 1
= −
1 −1 1
0 0 −1
−2 1 −2
−0.5 0 1
=
−0.5 1 1
Allo stesso risultato si sarebbe giunti utilizzando l’altra formula. Il polinomio caratteristico
∆A(s) della matrice A e il polinomio p(s) = (s+1)3desiderato hanno la seguente struttura:
∆A(s) = s3+ 4 s2+ 6 s + 4, p(s) = s3+ 3 s2+ 3 s + 1,
L = PcLc =
6 4 1 4 1 0 1 0 0
0 1 0
−2 −1 −1
6 0 4
−1
3 3 1
=
−0.5 1 1
Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto [x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k)]
x(k + 1) =
−2 1 3
−1 0 1
−1 1 2
x(k) +
1 1 1
u(k) y(k) = h 1 1 0 ix(k)
dove x(k) =
x1(k) x2(k) x3(k)
dove x(k) `e il vettore di stato, y(k) il segnale di uscita e u(k) il segnale d’ingresso.
1.a) Determinare il sottospazio non osservabile E− del sistema. Portare il sistema nella forma standard di osservabilit`a.
1.b) Determinare, se possibile, la matrice dei guadagni L di un osservatore asintotico dello stato di ordine pieno che posizioni nell’origine il maggior numero possibile di autovalori dell’osservatore.
Soluzione. 1.a) La matrice di osservabilit`a del sistema dato `e la seguente:
O− =
1 1 0
−3 1 4 1 1 0
La matrice O− ha determinante nullo, per cui il sistema non `e completamente osservabile.
Il sottospazio non osservabile E− si determina calcolando il kernel della matrice O−.
E− = ker O− = span
1
−1 1
Per calcolare gli autovalori della parte non osservabile del sistema occorre portare il sistema stesso nella forma standard di osservabilit`a utilizzando, per esempio, la seguente matrice di trasformazione
P−1 =
1 1 0
−3 1 4 1 0 0
, P =
0 0 1
1 0 −1
−0.25 0.25 1
Il sistema trasformato assume la seguente forma
¯
x(k + 1) =
0 1 0
1 0 0
0.25 0.75 0
x(k) +
2 2 1
u(k) y(k) = h 1 0 0 ix(k)
L’autovalore della parte non osservabile `e stabile: λ = 0. `E quindi possibile costruire un osservatore asintotico dello stato.
1.b) La sintesi della matrice L viene fatta facendo riferimento alla forma standard di osservabilit`a. In base alla partizione sopra riportata, la matrice ¯L deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A11+ ¯LC1 siano entrambi nulli
L =¯
l1
l2
A11 + ¯LC1 =
l1 1 l2+ 1 0
Il polinomio caratteristico della matrice A11 + ¯LA21 `e
∆(z) = (z − l1)z − (l2+ 1) = z2− l1z − l2−1 Imponendo ∆(z) = z2 si trova la soluzione cercata
L =¯
0
−1
Allo stesso risultato si sarebbe giunti utilizzando la formula di Ackerman:
L = −(A¯ 11)2
C1 C1A11
−1
0 1
= −
0 1 1 0
2
1 0 0 1
−1
0 1
=
0
−1
oppure la forma canonica di osservabilt`a. In questo caso il polinomio caratteristico ∆A11(z) della matrice A11 e il polinomio desiderato p(z) hanno la seguente struttura:
∆A11(z) = z2−1, p(z) = z2 per cui il vettore ¯L ha la forma seguente:
L =¯
0 1 1 0
1 0 0 1
−1
−1 0
=
0
−1
La matrice L da utilizzare sul sistema originario si ottiene aggiungendo un grado di li- bert`a α in corrispondenza della terza componente dello spazio degli stati e applicando la trasformazione P che porta il sistema dalla forma standard di osservabilit`a alla forma di partenza:
L = P
L¯ α
=
0 0 1
1 0 −1
−0.25 0.25 1
0
−1 α
=
α
−α
−0.25 + α
3) Stimatore dello stato di ordine ridotto :
• Gli stimatori asintotici dello stato di ordine intero forniscono una infor- mazione ridondante, in quanto non tengono conto che alcune variabili di stato possono essere ottenute direttamente dalla misura delle uscite.
• Gli stimatori di ordine ridotto costituiscono uno schema “modificato” dello stimatore in catena chiusa in cui si stimano solo le componenti del vettore di stato che non sono immediatamente accessibili.
————–
Procedimento di calcolo di per uno stimatore di ordine ridotto:
- Si suppone che tutte le p righe della matrice C siano linearmente indipendenti.
- Si costruisce una matrice di trasformazione P−1 le cui ultime p righe coincidano con la matrice C:
P−1 =
V C
→ x = P¯x
e dove V `e una sottomatrice di ordine (n − p) × n che ha il solo vincolo di rendere invertibile la matrice P−1.
- Il cambiamento di base permette di far coincidere le p uscite del sistema con le ultime p componenti del nuovo vettore di stato x:
x = P−1x =
V C
x =
Vx Cx
=
w y
- Rispetto alla nuova base le matrici che descrivono il sistema diventano:
P−1AP = A, P−1B = B, CP = C - Le nuove equazioni di stato del sistema sono:
x(k + 1) =
w(k + 1) y(k + 1)
=
A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
w(k) y(k)
+
B1 B2
u(k) y(k) = [ 0 Ip ]
w(k) y(k)
- Svolgendo i calcoli si ottiene:
w(k + 1) = A1,1w(k) + A1,2y(k) + B1u(k) y(k + 1) = A2,1w(k) + A2,2y(k) + B2u(k)
- Premoltiplicando la seconda equazione per una matrice L di dimensioni (n − p) × p e sommandola alla precedente si ottiene:
w(k + 1) + Ly(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)w(k)+
+(A1,2+ LA2,2)y(k) + (B1+ LB2)u(k) - Sommando e sottraendo a secondo membro il termine (A1,1+ LA2,1)Ly si ha:
v(k + 1)
z }| {
w(k + 1) + Ly(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)[
v(k)
z }| {
w(k) + Ly(k)]+
+(A1,2+ LA2,2−A1,1L − LA2,1L)y(k) + (B1+ LB2)u(k)
- Ponendo v(k) = w(k) + Ly(k), l’ultima relazione diventa l’equazione di stato di un sistema con vettore di stato v(k) di dimensione n − p:
v(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)v(k)+
+(A1,2+ LA2,2−A1,1L − LA2,1L)y(k)+
+(B1+ LB2)u(k)
- Per tale sistema si costruisce uno stimatore a catena aperta di ordine n − p. La dinamica dell’errore di stima e(k) per tale sistema `e fissata dagli autovalori della matrice (A1,1 + LA2,1):
e(k + 1) = v(k + 1) − ˆv(k + 1) = (A1,1+ LA2,1)e(k)
————–
• Lo stimatore asintotico di ordine ridotto ha quindi la seguente struttura:
ˆ
x = P
ˆ
v(k) − Ly(k) y(k)
dove ˆ v(k) si determina come uscita del seguente sistema dinamico:
ˆ
v(k + 1) = (A
1,1+ LA
2,1)ˆ v(k)+
+(A
1,2+ LA
2,2− A
1,1L − LA
2,1L)y(k)+
+(B
1+ LB
2)u(k)
• Gli autovalori dello stimatore di ordine ridotto possono essere fissati ad
arbitrio con una scelta opportuna di L se e solo se la coppia (A, C) `e
osservabile, cio`e se e solo se la coppia (A
1,1, A
2,1) `e osservabile.
• La stima dello stato x(k) si ottiene da v(k):
v(k) = w(k) + Ly(k) ⇒ ˆ w(k) = ˆ v(k) − Ly(k) ⇒ ˆ x(k) =
ˆ w(k) y(k)
• Rappresentazione grafica di uno stimatore di ordine ridotto:
z
−1I
nu(k) x(k + 1) x(k)
C B
A
- -
-
y(k)
?
B
1+ LB
2-
A
1,2+ LA
2,2− A
1,1L − LA
2,1L
z
−1I
nˆ
v(k + 1) v(k) ˆ
A
1,1+ LA
2,1- - ?
6
?
6
− L
-
?
P
?
Stimatore
?ˆ w(k)
ˆ x(k)
y(k)
Esempio. Dato il seguente sistema lineare stazionario continuo
˙x(t) =
0 1 −2
−1 0 −2
−0.5 −0.5 0
x(t) +
1 1
−0.5
u(t) y(t) = h −1 1 0 ix(t)
determinare, se `e possibile, il vettore L1 di un osservatore asintotico di ordine “pieno” ed il vettore L2 di un osservatore asintotico di ordine “ridotto” che posizionino in −1 il maggior numero possibile di autovalori.
(Sol1. - Osservatore di ordine pieno). La matrice di osservabilit`a `e :
O− =
−1 1 0
−1 −1 0 1 −1 4
→ det O− = 8
Il sistema `e completamente osservabile per cui `e possibile costruire sia un osservatore di ordine pieno che di ordine ridotto. La struttura dell’osservatore di ordine pieno `e la seguente:
˙ˆx(t) = (A + L1C)ˆx + B u(t) − L1y(t) Il vettore L1 pu`o essere calcolato, per esempio, utilizzando la formula:
L1 = −p(A)(O−)−1q = −(A + I)3(O−)−1q
= −
1 1 −2
−1 1 −2
−0.5 −0.5 1
3
−1 1 0
−1 −1 0 1 −1 4
−1
0 0 1
=
3.5 0.25
−1.75
essendo p(λ) = (λ + 1)3 il polinomio caratteristico desiderato.
(Sol2. - Osservatore di ordine ridotto). Una matrice di trasformazione P che porti il vettore C ad assumere la forma ¯C = h 0 0 1 i `e la seguente:
P−1 =
V C
=
0 0 1 0 1 0
−1 1 0
→ P =
0 1 −1
0 1 0
1 0 0
Il sistema trasformato [ ˙¯x(t) = ¯A¯x(t) + B u(t), y(t) = ¯C x(t)] assume la forma
˙¯x(t)=
0 −1 0.5
−2 −1 1 0 −2 1
x(t) +¯
−0.5 1 0
u(t) y(t)=h 0 0 1 ix(t)¯
cio`e
˙¯x(t)=
A11 A12 A21 A22
x(t) +¯
B1 B2
u(t) y(t)=h O 1 ix(t)¯
La matrice L2 deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A11 + L2A21 siano posizionati entrambi in -1
L2 =
l1
l2
, A11+ L2A21 =
0 −1 − 2l1
−2 −1 − 2l2
Il polinomio caratteristico della matrice A11 + L2A21 viene posto uguale al polinomio desiderato p(s) = (s + 1)2:
∆(s) = s(s + 1 + 2l2) − 2 − 4l1 = s2+ (1 + 2l2)s − 2 − 4l1 = s2+ 2s + 1 = p(s) La soluzione cercata `e quindi la seguente:
L2 =
−0.75 0.5
La stessa soluzione si ottiene applicando la formula di Ackerman:
L2 = −(A11+ I2)2
A21 A21A11
−1
0 1
= −
1 −1
−2 0
2
0 −2 4 2
−1
0 1
=
−0.75 0.5
L’osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente x = Pˆ
v(t) − Lˆ 2y(t) y(t)
dove
˙ˆv(t) = [A11+ L2A21]ˆv(t) + [A12+ L2A22 −A11L2−L2A21L2]y(t) + [B1+ L2B2]u(t) e cio`e
˙ˆv(t) =
0 0.5
−2 −2
v(t) +ˆ
−0.5 1
y(t) +
−0.5 1
u(t)
Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare stazionario tempo-continuo [ ˙x(t) = A x(t) + B u(t), y(t) = C x(t)]
˙x(t) =
−1 0 0
−2 −1 2
−2 0 1
x(t) +
−1 1 0
u(t) y(t) = h 0 1 0 ix(t)
dove x(t) =
x1(t) x2(t) x3(t)
Determinare, se `e possibile, la matrice L di un osservatore asintotico dello stato di ordine
“ridotto” che posizioni in −2 il maggior numero possibile di autovalori dell’osservatore.
Soluzione. Il sistema dato non `e completamente osservabile:
O− =
0 1 0
−2 −1 −2
0 1 0
, det O− = 0
Esister`a un osservatore dello stato solo se la parte non osservabile `e stabile. Il progetto di un osservatore di ordine ridotto parte dal calcolo una matrice di trasformazione P che porti la matrice C ad assumere la forma ¯C = h 0 0 1 i
P−1 =
V C
=
1 0 0 0 0 1 0 1 0
→ P =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
Il sistema trasformato che si ottiene assume la forma
˙¯x(t)=
−1 0 0
−2 1 0
−2 2 −1
x(t) +¯
−1 0 1
u(t) y(t)=h 0 0 1 ix(t)¯
→
˙¯x(t)=
A11 A12 A21 A22
x(t) +¯
B1 B2
u(t) y(t)=h O I ix(t)¯
La parte non osservabile non `e sicuramente quella legata alla terza componente ¯x3 del vettore di stato perch`e coincidendo con l’uscita `e sicuramente osservabile. La parte non osservabile `e sicuramente interna al sotto sistema (A11, A21). Se infatti si calcola la matrice di osservabilit`a di questa sottoparte, si trova una matrice singolare:
O1− =
A21 A21A11
=
−2 2
−2 2
Il sottosistema (A11, A21) pu`o essere portato in forma standard di osservabilit`a utilizzando la seguente trasformazione ¯x1 = P2¯¯x1:
P−12 =
−1 1 0 1
= P2 →
˙¯¯x1(t)=
1 0 2 −1
¯¯x1(t) +
1 0
u¯(t)
h i
¯¯x
La parte non osservabile `e stabile (`e caratterizzata dall’autovalore λ = −1) per cui `e possi- bile procedere alla sintesi dell’osservatore di ordine ridotto. Il coefficiente l1 che posizione in
−2 l’autovalore della matrice ¯a11+l1c¯1 (dove ¯a11 = 1 e ¯c1 = 2) si calcola immediatamente:
¯
a11+ l1c¯1 = −2, 1 + 2 l1 = −2, l1 = −1.5
La matrice L dell’osservatore di ordine ridotto che posiziona in −1 l’unico autovalore della matrice A11+ LA21 che `e possibile spostare si calcola nel modo seguente:
L = P2
l1
α
=
−1 1 0 1
l2
α
=
1.5 + α α
dove α `e un grado di libert`a che `e possibile scegliere a piacere. Posto α = 0, un possibile osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente
ˆ
x(t) = P
v(t) − Ly(t)ˆ y(t)
= P =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
ˆ v(t) −
1.5 0
y(t) y(t)
dove
˙ˆv(t) = [A11+ LA21]ˆv(t) + [A12+ LA22 −A11L − LA21L]y(t) + [B1+ LB2]u(t) e cio`e
˙ˆv(t) =
−4 3
−2 1
v(t) +ˆ
4.5 3
y(t) +
0.5 0
u(t)
————–
Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare, stazionario discreto [x(k + 1) = Ax(k) + bu(k), y(k) = Cx(k)]
x(k + 1) =
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
x(k) +
0 0 1
u(k) y(k) =
0 1 0 0 0 1
x(k) =
c1 c2
x(k)
dove
x(k) =
x1(k) x2(k) x3(k)
y(k) =
y1(k) y2(k)
dove x(k) `e il vettore di stato, y(k) il vettore di uscita e u(k) il segnale d’ingresso.
a) Utilizzando l’ingresso u(k) e la sola seconda uscita y2(k), si costruisca, se possibile, uno stimatore dello stato di ordine ridotto di tipo dead-beat.
b) Si risolva lo stesso problema del punto precedente (stimatore dead-beat di ordine ridotto) utilizzando l’ingresso u(k) ed entrambe le uscite del sistema.
Soluzione. a) La matrice di osservabilit`a del sistema rispetto alla seconda uscita `e O− =
0 0 1 0 1 1 1 3 1
Il sistema `e completamente osservabile per cui `e possibile costruire un osservatore di ordine ridotto. D’altra parte il sistema `e gi`a nella forma pi`u idonea per la sintesi dell’osservatore di ordine ridotto
A =
A11 A12 A21 A22
=
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
La matrice L deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A11+ LA21 siano entrambi nulli
L =
l1
l2
A11+ LA21 =
0 −1 + l1 1 2 + l2
Il polinomio caratteristico della matrice A11 + LA21 `e
∆(z) = z(z − 2 − l2) + 1 − l1 = z2−(2 + l2)z + 1 − l2 L’osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente
L =
1
−2
, x(k) =ˆ
v(k) − Ly(k)ˆ y(k)
dove ˆ
v(k + 1) = [A11+ LA21]ˆv(k) + [A12+ LA22−A11L − LA21L]y(k) + [B1+ LB2]u(k) e cio`e
v(k + 1) =
0 0 1 0
v(k) +
1
−3
y(k) +
1
−2
u(k)
b) Anche nel caso in cui si utilizzino entrambe le uscite, il sistema `e gi`a nella forma opportuna per la sintesi dell’osservatore di ordine ridotto
A =
A11 A12 A21 A22
=
0 −1 0
1 2 0
0 1 1
La matrice L viene scelta in modo che l’unico autovalore della matrice A11+LA21 sia nullo L = h l1 l2
i A11+ LA21 = h 0 i+h l1 l2 i
1 0
= h l1 i
La soluzione cercata `e quindi
L = h 0 l2 i ∀ l2 ∈ R Posto l2 = 0, l’osservatore di ordine ridotto `e quindi il seguente:
ˆ x =
v(k) y(k)
v(k + 1) = h −1 0 iy(k)
