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MONOMI
Si chiama monomio un’espressione algebrica che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione. Un monomio contiene infatti esclusivamente moltiplicazioni, divisioni e potenze di numeri e/o lettere.
Un monomio si compone di due parti moltiplicate tra loro:
- Una parte numerica, detta coefficiente, che precede la parte letterale. Ad esempio nel monomio – 2ac, – 2 è il coefficiente.
- Una parte letterale (scritta in ordine alfabetico) che segue il coefficiente. Ad esempio nel monomio – 2ac, ac è la parte letterale
Se in un monomio non è presente il coefficiente, si sottintende che è + 1, oppure – 1, a secondo che il numero è preceduto dal segno + oppure dal segno –.
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Un monomio convenzionalmente deve essere sempre essere ridotto in forma normale (o ridotta), cioè deve essere scritto come prodotto fra un numero e una lettera o più lettere diverse tra loro (con eventuali esponenti).
A titolo di esempio il monomio “3ax²ax” non è scritto in forma ridotta. La scrittura in forma normale sarà “3a²x³”.
Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale:
A titolo di esempio il monomio “-ab” ed il monomio “+4ab” sono simili.
Al contrario il monomio “-a²b” ed il monomio “+ab” non sono simili perché la loro parte letterale è differente.
Due monomi si dicono uguali se sono simili ed hanno uguale coefficiente.
A titolo di esempio il monomio “-3ac” ed il monomio “-3ac” sono uguali perché hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.
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Due monomi si dicono opposti se sono simili ed hanno per coefficienti due numeri opposti:
A titolo di esempio il monomio “-7xy” ed il monomio “+7xy” sono opposti.
Quando un monomio ha coefficiente 0 viene chiamato monomio nullo ed esso risulta sempre uguale a zero.
A titolo di esempio il monomio 0ab = 0.
Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente a cui quella lettera è elevata.
Così il monomio -13b²x³ è di terzo grado rispetto alla lettera “x”.
Il grado complessivo di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere che compongono la sua parte letterale
Così il monomio +9b²x³z³ è ha un grado complessivo pari a otto.
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OPERAZIONI CON I MONOMI SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI
Dati due o più monomi simili, la loro somma algebrica è un monomio simile che ha coefficiente pari alla somma algebrica dei coefficienti dei monomi iniziali.
- 3ab + 4ab + 2ab - ab =
= + 2ab PRODOTTO DI MONOMI
Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al prodotto delle parti letterali dei monomi iniziali.
- 2 ay2 × 3xy =
= - 6axy3 QUOZIENTE DI MONOMI
Il quoziente di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al quoziente dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al quoziente delle parti letterali dei monomi iniziali.
(-3+4+2-1)ab
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POLINOMI
Un polinomio è una espressione contenente addizioni e sottrazioni tra monomi non simili. Più sinteticamente, un polinomio è la somma algebrica tra più monomi. I monomi che compongono un polinomio si chiamano termini del polinomio.
Un polinomio con 2 termini si chiama binomio → 3x – 2ac
Un polinomio con 3 termini si chiama trinomio → 4bc – 3xy + 6a
Un polinomio con 4 termini si chiama quadrinomio → cx – 7y + 12b - 9a
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OPERAZIONI CON I POLINOMI ADDIZIONE
la somma di due o più polinomi si ottiene scrivendo un UNICO polinomio che ha per termini TUTTI i termini dei polinomi dati. Successivamente si riducono i termini simili.
Effettuiamo l’addizione tra il polinomio - 3a2 + 4ab + b2 ed il polinomio - a2 + 7ab + 4b2.
- 3a2 + 4ab + b2 + (- a2 + 7ab + 4b2) =
= - 3a2 + 4ab + b2 - a2 + 7ab + 4b2 =
= - 4a2 + 11ab + 5b2 SOTTRAZIONE
la differenza di due polinomi si ottiene scrivendo un UNICO polinomio che ha per termini TUTTI i termini del primo polinomio (minuendo) presi col proprio segno seguiti da TUTTI i termini del secondo polinomio (sottraendo) ognuno preso col SEGNO CONTRARIO. Successivamente si si riducono i termini simili.
Effettuiamo la sottrazione tra il polinomio - 5x2 + 3xy ed il polinomio - x2 - 9xy + 4y2.
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MOLTIPLICAZIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando OGNI termine del polinomio per il monomio.
Effettuiamo la moltiplicazione tra il polinomio x - 3y ed il monomio - 2y.
(x - 3y) × (- 2y) =
= - 2xy+ 6y2 MOLTIPLICAZIONE DI DUE POLINOMI
Il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando OGNI termine del primo polinomio per OGNI termine del secondo polinomio.
Effettuiamo la moltiplicazione tra il polinomio 3x - 2y ed il polinomio - 2x + y.
(3x - 2y) × (2x + y) =
= 6x2 + 3xy - 4xy - 2y2 =
= 6x2 - xy - 2y2
DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO
Quando un polinomio è divisibile per un monomio il quoziente è uguale al polinomio che si ottiene dividendo OGNI termine del polinomio per il monomio.
(a2x3 + 6ax2 + 10a3x) : (-2ax) =
= - ½ ax2 -3x - 5a2
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PRODOTTI NOTEVOLI
I prodotti notevoli sono formule utilizzate per i polinomi che permettono di calcolare velocemente determinate potenze e prodotti tra polinomi e, viceversa, di scomporli. Tali regole vengono chiamate prodotti notevoli perché si riferiscono a prodotti ricorrenti nel calcolo tra polinomi.
Si tratta dunque di particolari moltiplicazioni tra polinomi che si risolvono seguendo un procedimento standard.
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SOMMA PER DIFFERENZA
Il prodotto della somma per la differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.
(x + 2) × (x - 2) =
= x2 - 22 =
= x2 - 4 QUADRATO DI BINOMIO
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, al doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il quadrato del secondo monomio.
(3x - 2y)2 =
= 9x2 - 6xy + 4y2 CUBO DI BINOMIO
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio, al triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, al triplo prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo più il cubo del secondo monomio.
(3x + 2y)3 =
= 27x3 + 3× (9x2 × 2y)+ 3× (3x × 4y2)+ 8y3 =
= 27x3 + 54x2y+ 36xy2 + 8y3
