Programma dettagliato del Corso di Analisi 1 Ing. per l’Ambiente e il Territorio, Ing. Civile, Ing. dei Trasporti a.a. 2006-2007

Programma dettagliato del Corso di Analisi 1

Ing. per l’Ambiente e il Territorio, Ing. Civile, Ing. dei Trasporti a.a. 2006-2007

http://www.dmmm.uniroma1.it/persone/capitanelli

1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI

Introduzione al corso.

Cenni di teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano.

Notazione dei quantificatori.

Cenni sui numeri naturali, interi relativi, razionali, reali, complessi. N,Z,Q,R,C. Definizione assiomatica dei numeri reali.

Proposizione 1.1 Non esiste alcun numero razionale q tale che q² = 2. (dim) Osservazione 1.2 _Q non soddisfa l’assioma di completezza.

Intervalli.

[a, b] := {x ∈_R, a ≤ x ≤ b}

[a, b) := {x ∈R, a ≤ x < b}

(a, b] := {x ∈_R, a < x ≤ b}

(a, b) := {x ∈_R, a < x < b}

(a, ∞) := {x ∈R, x > a}

[a, ∞) := {x ∈_R, x ≥ a}

(−∞, b) := {x ∈ _R, x < b}

(−∞, b] := {x ∈ R, x ≤ b} .

Esercizio 1.3 Sia A = {x ∈R, 2 ≤ x ≤ 6} e B = {x ∈N, 3 < x ≤ 7} . Determinare A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.

Esercizio 1.4 Sia A = {x ∈N, 2 ≤ x ≤ 6} e B = {x ∈R, 3 ≤ x ≤ 7} . Determinare A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.

Esercizio 1.5 Sia A = {x ∈_N, x ≤ 5} e B = {x ∈_R, x ≥ 3} . Determinare A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.

Esercizio 1.6 Sia A = {x ∈_N, x ≤ 5} e B = {x ∈_N, x ≥ 3} . Determinare A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.

Esercizio 1.7 Sia A = {x ∈R, x ≤ 5} e B = {x ∈R, x > 3} . Determinare A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A.

Funzioni e rappresentazione cartesiana

Definizione 1.8 Funzione, dominio, codominio, grafico.

Definizione 1.9 Funzione iniettiva, suriettiva, biettiva Definizione 1.10 Funzione invertibile. Funzione inversa.

Definizione 1.11 Funzioni crescenti e decrescenti, non decrescenti e non crescenti. Fun- zione monotona.

Esercizio 1.12 Studio delle funzioni f (x) = 5, f (x) = 3x + 1, f (x) = _x¹, f (x) = √ x, f (x) = x², f (x) =

(0 x ∈Z

1 x ∈R−Z

, f (x) =

(2 x ≤ 1 4 x > 1. Definizione 1.13 Operazioni con le funzioni.

Definizione 1.14 Funzione composta.

Esercizio 1.15 Siano f (x) = x³, g(x) = 2x. Determinare f⁻¹, g⁻¹,f + g, f − g, f · g, g · f, ^f_g, ^g_f, f ◦ g e f ◦ g

Esercizio 1.16 Siano f (x) = x + 4, g(x) = x⁵. Determinare f⁻¹, f + g, f − g, f · g, g · f,

f

g, ^g_f, f ◦ g e f ◦ g

Definizione 1.17 Funzioni lineari. Principali propriet`a. Grafici.

Definizione 1.18 Funzione valore assoluto. Principali propriet`a. Grafici.

Proposizione 1.19 Per ogni numero reale r ≥ 0, risulta

|x| < r ⇔ −r < x < r

|x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r.

Proposizione 1.20 Disuguaglianza triangolare.

Esercizio 1.21 Risolvere

|x| = 4, |x| ≤ 3, |x + 2| ≤ 3, x²+ 2|x| − 3 < 0, |x²+ 1| ≥ 2 Definizione 1.22 Le funzioni potenza. Principali propriet`a. Grafici.

Definizione 1.23 Funzioni esponenziali. Principali propriet`a. Grafici.

Definizione 1.24 Logaritmi. Principali propriet`a. Grafici.

Definizione 1.25 Funzioni trigonometriche. Principali propriet`a. Grafici.

Definizione 1.26 Funzioni trigonometriche inverse. Principali propriet`a. Grafici.

Esercizio 1.27 Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni√

x + 1,√³ x + 1,

√2 − x², ⁴ qx+1

6−x, 3^2−x2, 6^{cos x}, ln√ x, √

ln x, √⁴

3 − ln2x, ln qx+1

x , 3^{ln x}, q ln¹

3(2x − 1), (ln5x − 5)^−π, arcsin(ln x), lnx6, lnxx, lnx(ln x), arcsin(2^x), x^x, ^{sin ln x}_{ln x} , lnx(x²− 3x + 2).

2 COMPLEMENTI AI NUMERI REALI

Definizione 2.1 Massimo e minimo di un insieme A di numeri reali.

Proposizione 2.2 Il massimo (minimo) di A, se esiste, `e unico. (dim) Definizione 2.3 Maggiorante e minorante di un insieme.

Definizione 2.4 Insiemi limitati superiormente, limitati inferiormente, limitati.

Proposizione 2.5 Un insieme A `e limitato se e soltanto se esiste M tale che |a| < M,

∀a ∈ A.

Osservazione 2.6 Ci sono insiemi limitati superiormente che non ammettono massimo.

Definizione 2.7 Estremo superiore. Estremo inferiore.

Teorema 2.8 TEOREMA DI ESISTENZA DELL’ESTREMO SUPERIORE.(dim) Osservazione 2.9 Il massimo di un insieme, se esiste, `e anche estremo superiore.

Definizione 2.10 Se A non `e limitato superiormente, definiamo sup A = ∞. Se A non

`

e limitato inferiormente, definiamo inf A = −∞.

Osservazione 2.11 L’esistenza dell’estremo superiore di un insieme limitato superior- mente non vale in Q.

Esercizio 2.12 Calcolare estremo superiore e inferiore (specificando se si tratta di massimo e minimo) dei seguenti insiemi

A =_n−1

n , n ∈_N B =₁

n, n ∈N C = _5n+1

n , n ∈_N D = {x ∈_R, x² − 1 ≤ 0}

E = {x ∈R, x² − 4 > 0}

F = {x ∈ _R, |x²− 9x + 7| < 0}

G = {x ∈ _R, sin x > cos x}

H =x ∈R,√

x²− 1 > x − 3 I =x ∈R,√

x²− 1 > x + 3 L =n

x ∈_R, log¹

3(log₂x) > 0o M =x ∈R, 2x − 1 >√

4x + 1 N =x ∈_R,√

x + 2 >√ 4 − x 0 = {x ∈ R, |x²− 9x + 7| < 7}

Numeri complessi Motivazioni dell’introduzione dei numeri complessi.

Definizione 2.13 Unit`a immaginaria. Forma algebrica. Parte reale Re(z) e parte im- maginaria Im(z) di un numero complesso. Numero complesso coniugato. Modulo di un numero complesso.

Operazioni tra numeri complessi espressi in forma algebrica.

Rappresentazione grafica dei numeri complessi.

Definizione 2.14 Forma trigonometrica di un numero complesso. Argomento di un nu- mero complesso.

Osservazione 2.15 L’argomento `e determinato a meno di multipli di 2π.

Regole di passaggio dalla forma cartesiana alla forma trigonometrica.

Operazioni tra numeri complessi espressi in forma trigonometrica. Moltiplicazione in forma trigonometrica (Formula di De Moivre). Radici n-esime di un numero complesso.

Teorema 2.16 Teorema fondamentale dell’algebra. Un polinomio di grado n a coefficienti complessi ammette esattamente n radici complesse, se contate con la loro molteplicit`a.

Definizione 2.17 Forma esponenziale di un numero complesso.

Operazioni tra numeri complessi espressi in forma esponenziale.

Esercizio 2.18 Calcolare

(2 + 3i) + (4 − 5i), (2 + 3i) − (4 − 5i), (2 + 3i)(4 − 5i), (2 + 3i)/(4 − 5i), ¹_i, _1−i¹ , ¹⁺ⁱ_1−i. Esercizio 2.19 Verificare che z = ¹₂(√

3 + i) `e soluzione di z⁶ = −1.

Esercizio 2.20 Calcolare le radici terze di z = 1.

Calcolare le radici quadrate di z = 2.

Calcolare le radici terze di z = −8.

Calcolare le radici quarte di z = 1.

Esercizio 2.21 Risolvere le seguenti equazioni z²+ z + 1.

iz²− 2z + 3i = 0 z⁴+ 1 = 0

z⁶+ 2⁶ = 0 (z − 1)⁴+ 81 = 0 (2z)³+ 3i = 0.

2z²− 8z + 7 −√

3i = 0.

(4 + z)⁴+ 7 = 0.

(2 − z)³− 8i = 0.

3 LIMITI DI SUCCESSIONI

Definizione 3.1 Successioni.

Rappresentazione delle successioni.

Esercizio 3.2 Rappresentare le seguenti successioni a_n= _n¹

a_n= ⁿ⁻¹_n a_n= (−1)ⁿ a_n= 3 a_n= n².

Definizione 3.3 Limite di successione ad un numero reale. Successione convergente.

Interpretazione grafica del limite.

Esercizio 3.4 Verificare, tramite la definizione, che limn→∞ 1

n = 0 lim_n→∞ⁿ⁻¹_n = 1.

Esercizio 3.5 Verificare che non `e vero che lim_n→∞n¹ = 1.

Teorema 3.6 Il limite di una successione, se esiste, `e unico. (dim)

Osservazione 3.7 Cambiare un numero finito di termini della successione non modifica il suo limite.

Definizione 3.8 Limite di successione a +∞. Limite di successione a −∞. Successione divergente.

Interpretazione grafica del limite.

Esercizio 3.9 Verificare, tramite la definizione, che lim_n→∞n² = ∞

limn→∞−n² = −∞.

Osservazione 3.10 Ci sono successioni che non ammettono limite. Ad esempio: a_n = (−1)ⁿ.

Definizione 3.11 Successione regolare. Successione non regolare.

Definizione 3.12 Successione infinita. Successione infinitesima.

Definizione 3.13 Successioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate.

Teorema 3.14 Ogni successione convergente `e limitata. (dim)

Osservazione 3.15 L’esempio della successione a_n= (−1)ⁿ mostra che il viceversa non

` e vero.

Si pu`o dimostrare che da ogni successione limitata si pu`o estrarre una sottosuccessione convergente.

Definizione 3.16 Successione estratte o sottosuccessioni.

Teorema 3.17 Teorema di Bolzano-Weierstrass. Sia a_n una successione limitata.

Allora esiste almeno una sua sottosusuccessione convergente.

Osservazione 3.18 Dalla successione a_n= (−1)ⁿ si pu`o estrarre la sottosuccessione dei termini di indice pari che converge a 1.

Teorema 3.19 Se la successione `e regolare allora ogni sottosuccessione `e regolare.

Operazioni con i limiti Proposizione 3.20 Operazioni con i limiti finiti.

Esercizio 3.21 Calcolare i seguenti limiti lim_n→∞n¹2 = 0

lim_n→∞n¹b = 0 ∀b ∈ _N lim_n→∞4n⁵ⁿ3³+5n⁺³ⁿ⁺¹²+7 = ⁵₄ lim_n→∞n⁻ⁿ2−2n+1²⁺¹ = −1.

Proposizione 3.22 Operazioni con i limiti infiniti.

Forme indeterminate

∞ − ∞ ∞ · 0 ^∞_∞ ⁰₀ 0⁰ (±∞)⁰ 1^±∞

Osservazione 3.23 Dire che un limite `e una forma indeterminata non vuole dire che il limite non esiste ma che `e necessario uno studio pi`u approfondito.

Esercizio 3.24 Calcolare i seguenti limiti lim_n→∞√

n + 2 −√

n − 1 = 0 lim_n→∞4n3⁸ⁿ+6n⁴⁺¹²+2 = ∞

lim_n→∞⁵ⁿ²_n⁺⁹ⁿ⁺⁴6+1 = 0 lim_n→∞√

n + 1 − n limn→∞√1−n

n+1

Teoremi di confronto Teorema 3.25 Teorema della permanenza del segno.

Teorema 3.26 Teorema dei carabinieri.

Teorema 3.27 Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una in- finitesima. Se a_n `e limitata e b<sub>n</sub> `e infinitesima, allora a_nb_n `e infinitesima. (dim)

Esercizio 3.28 Calcolare lim_n→∞(−1)^{n 1}_n = 0 lim_n→∞(−1)ⁿ_n2¹+1 = 0.

lim_n→∞^{sin n}_n = 0

Successione monotone

Definizione 3.29 Successioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti, monotone, strettamente monotone.

Teorema 3.30 Teorema sulle successioni monotone.

Osservazione 3.31 Una successione crescente a_nammette sempre limite, uguale a sup_na_n. Tale limite `e quindi finito se a<sub>n</sub> `e limitata superiormente, altrimenti vale +∞.

Esempio 3.32 Si pu`o dimostrare che la successione a_n = 1 + ¹_n
n

`e crescente e limitata, quindi converge. Si dimostra che il suo limite `e un numero irrazionale che si denota con e il cui sviluppo decimale comincia con 2,7182818284....

Alcuni limiti notevoli lim_n→∞aⁿ

limn→∞

√n

n^b lim_n→∞ 1 + _n¹
n

limn→∞ 1 + ^x_n
n

= e^x a_n→ 0 ⇒ sin a_n → 0 a_n→ 0 ⇒ cos a_n → 1 an→ 0 ⇒ ^{sin a}_a ⁿ

n → 1

Infiniti di ordine crescente

Tabella degli infiniti. Le seguenti successioni sono in ordine crescente di infinito:

log n, n^b, aⁿ, n!, nⁿ.

Osservazione 3.33 Il precedente ordinamento degli infiniti continua a valere anche nel caso in cui ciascun elemento sia elevato alla stessa potenza positiva. Esempio: lim_n→∞^{(log n)}_n5 ⁵ = 0.

Osservazione 3.34 Il seguente ordinamento degli infiniti log n, n^b, aⁿ, nⁿ

continua a valere anche nel caso in cui ciascun elemento sia elevato ad una potenza positiva differente. Esempio: limn→∞ (log n)^5000000

3^69897543n = 0.

Definizione 3.35 Successioni asintoticamente equivalenti. Diremo che 2 successioni a_n, b_n sono asintoticamente equivalenti (a_n∼ b_n) se lim_n→∞ ^a_bⁿ

n = 1.

Proposizione 3.36 Principio di sostituzione. Se a_n∼ b_n e a_n→ l, allora anche b_n → l.

Osservazione 3.37 Non vale il viceversa: due successioni che hanno lo stesso limite non sono necessariamente asintoticamente equivalenti. Esempio: a_n= _n¹, b_n= _n¹2.

Proposizione 3.38 Formula di Stirling n! ∼ nⁿe⁻ⁿ√

2πn log n! ∼ n log n − n.

Esercizio 3.39 Calcolare i seguenti limiti lim_n→∞^{log n}_n = 0

lim_n→∞ⁿ²_5n⁺²ⁿ3 = 0 lim_n→∞sin n non esiste lim_n→∞^{sin n}_n = 0

lim_n→∞4ⁿ = ∞ lim_n→∞ ¹₃
n

= 0 lim_n→∞6ⁿ− 7ⁿ = −∞

lim_n→∞√ⁿ 7 = 1

lim_n→∞n − log n = ∞ lim_n→∞ ⁿ⁺¹_n
n

= e lim_n→∞ 1 −_n¹
n

= ¹_e lim_n→∞ 1 + _n⁷
n

= e⁷ lim_n→∞^sin

1 n 1 n

= 1 lim_n→∞nsin_n¹ = 1 lim_n→∞nsin_n⁴ = 4 lim_n→∞^{log n}₃²n⁺ⁿ+8³ⁿ⁺⁶ⁿ

lim_n→∞ⁿ²_{log n}^{+sin n−e}2+nⁿⁿ = 0 lim_n→∞(e2n^e2n−1) = 1 lim_n→∞(n − ⁴_n)(

q

1 + _n³ − 1) = ³₂ lim_n→∞sin(sin⁴n)ⁿ₄

= 0 limn→∞

sin_n² sin_n⁵ = ²₅ lim_{n→∞log n2}¹_sin1 n

= ∞ lim_n→∞ ⁿ₃ +_n¹
sin⁵_n = ⁵₃ lim_n→∞^√n!

nⁿ = ∞ lim_n→∞ ⁿ

q5ⁿ+n³ n! = 0

Esercizio 3.40 Calcolare, al variare di α ∈ IR, i seguenti limiti

n→∞lim

e^nαcos⁵n n(e²ⁿ− 1)

n→∞lim

√n⁴+ n³−√

n⁴− n³ n^α+ n

n→∞lim

αⁿ+ (−1)ⁿ n log n

n→∞lim



log n^α+ 1 n^α+1



Esercizio 3.41 Trovare una sottosuccessione convergente di an= sin n.

4 LIMITI DI FUNZIONI

Introduzione del concetto di limite.

Definizione 4.1 Punto di accumulazione.

Definizione 4.2 Limite di una funzione.

Definizione 4.3 Limite destro e limite sinistro di una funzione.

Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni.

Teorema 4.4 TEOREMA PONTE. Le seguenti relazioni sono tra loro equivalenti (x₀, l ∈ IR)

∀x_n→ x₀, x_n∈ A − {x₀} ∀n ∈ IN ⇒ f (x_n) → l

m

∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ A, 0 6= |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.

Interpretazione grafica del limite.

Esempi e propriet`a dei limiti di funzione.

Teorema 4.5 Operazioni con i limiti di funzioni.

Teorema 4.6 Limiti di funzione composte.

Osservazione 4.7 Si tratta di un cambio di variabile nel limite.

Esercizio 4.8 Calcolare i seguenti limiti Alcuni limiti notevoli.

lim_x→∞a^x lim_x→∞ 1 + _x¹
x

= e limx→∞ 1 + ^α_x
x

= e^α lim_x→0^{sin x}_x = 1

lim_x→∞^{log x}_xb = 0 b > 0 lim_x→∞^x_a^bx = 0 b > 0 a > 1 lim_x→0^ex_x⁻¹ = 1

lim_x→0^{1−cos x}_x = 0 lim_x→0^{1−cos x}_x2 = ¹₂ limx→0ln(1+x)

x = 1 lim_x→0^(1+x)_x^b−1 = b

Funzioni continue

Definizione 4.9 Funzione continua in un punto. Funzione continua in un intervallo.

Teorema 4.10 Operazioni con i limiti di funzioni continue.

Osservazione 4.11 Molte funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione:

le potenze f (x) = x^a, le funzioni esponenziali f (x) = a^x, con a > 0, le funzioni logarit- miche logaritmi f (x) = log_ax, con a > 0, a 6= 1, le funzioni trigonometriche f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = tan x, la funzione valore assoluto f (x) = |x|.

Discontinuit`a

Definizione 4.12 Discontinuit`a eliminabile, di prima specie, di seconda specie.

Definizione 4.13 Prolungamento per continuit`a

Esercizio 4.14 Studiare la continuit`a delle seguenti funzioni f (x) =

(x² x 6= 0 1 x = 0 f (x) =

( _x

|x| x 6= 0 1 x = 0 f (x) =

(_x+|x|

x² x 6= 0

0 x = 0

f (x) =

(e^1xsin x x 6= 0

0 x = 0

Esercizio 4.15 Determinare a e b in modo tale che la seguente funzione sia continua in IR

f (x) =







sin x x ≤ −^π₂ a sin x + b −^π₂ < x < ^π₂ cos x x ≥ ^π₂

Alcuni teoremi sulle funzioni continue Teorema 4.16 Teorema di permanenza del segno per funzioni continue.

Teorema 4.17 Teorema dell’esistenza degli zeri.

Osservazione 4.18 Tale punto in generale non `e unico. Sicuramente `e unico se f `e strettamente monotona.

Teorema 4.19 Teorema di Weierstrass.

Osservazione 4.20 Se l’intervallo non `e chiuso, il risultato `e falso. Esempio: f (x) = x in (0, 1).

Osservazione 4.21 Se l’intervallo non `e limitato, il risultato `e falso. Esempio: f (x) = _x¹ in [1, ∞).

Osservazione 4.22 Se f non `e continua, il risultato `e falso. Esempio: f (x) =

(x x ∈ [0, 1) 0 x = 1 in [0, 1].

Teorema 4.23 Teorema dell’esistenza dei valori intermedi. (dim) Teorema 4.24 Criterio di invertibilit`a.

Teorema 4.25 Teorema di continuit`a delle funzioni inverse.

Osservazione 4.26 La funzione inversa di una funzione monotona ha la stessa monoto- nia di f (strettamente crescente se f `e strettamente crescente, strettamente decrescente se f `e strettamente decrescente).

Esercizio 4.27 Calcolare i seguenti limiti lim_x→23x = 6

lim_x→2x² = 4 lim_x→∞¹_x = 0 lim_x→∞^x+5_x = 1 lim_x→∞3x+2^x+1 = ¹₃. lim_x→∞x² = ∞ lim_x→∞−x⁷ = −∞.

lim_x→∞x¹2 = 0

lim_x→∞x¹b = 0 ∀b ∈_N lim_x→∞5x^3x4⁴+8x^+3x+12+2 = ³₅ lim_x→∞^x_x⁸6⁻¹+1 = ∞.

limx→∞

√x − 1 −√

x + 2 = 0 lim_x→∞3x3+6x^x42+2 = ∞

lim_x→∞^5x8_x^+9x9+1⁴⁺⁴ = 0 lim_x→∞√

x + 1 − x lim_x→∞^√1−x_x+1

lim_x→∞ 1 + _x³
x

= e³ lim_x→∞^{log x}_x ⁴ = 0 lim_x→∞sin x non esiste lim_x→∞sin(_x¹) = 0 lim_n→∞^{sin 2x}_x = 2 lim_x→∞5^x = ∞ lim_x→∞ ¹₆
x

= 0 lim_x→∞9^x− 7^x = ∞ lim_x→∞x − log x = ∞ lim_x→∞ ^x+2_x
x

= e² lim_x→∞ 1 − _3x¹
x

= √3¹

e

lim_x→0^e2x_2x⁻¹ = 1 lim_x→0^e5x_2x⁻¹ = ⁵₂ lim_x→0^{1−cos 2x}_x = 0 lim_x→0^{1−cos x}_x3 = ∞ lim_x→0^e_{sin 2x}^4x−1

lim_x→0^ln(1+2x)_x = 2 lim_x→0^{sin 4x}_{sin 2x}

lim_x→0^ln(1+2x)_{sin 3x} = ²₃ lim_{x→0tan 2x}^{sin 4x} lim_x→0ln(1+sin x)

x²

lim_x→1 ^(x−1)2

e^3(x−1)2−1 = ¹₃ lim_x→3^{+ (x−3)4}

(e^x2−9−1)⁴ = ₆¹4

lim_x→1^cos(

π 2x) 1−x = ^π₂

Esercizio 4.28 Determinare α ∈ IR, in modo tale che la seguente funzione sia continua in IR

f (x) =

(_e3x−1

x + 2 x 6= 0

α x = 0

Esercizio 4.29 Determinare α ∈ IR, in modo tale che la seguente funzione sia continua in (−π, ∞)

f (x) =

(1−e^x3

sin x³ −π < x < 0

−(x + α)² x ≥ 0

Esercizio 4.30 Studiare la continuit`a in IR della seguente funzione

f (x) =

( e^x2−1

ln(x²+1) x > 0

2x²+x³

(x−1)² x ≤ 0

Esercizio 4.31 Determinare α ∈ IR, in modo tale che la seguente funzione sia continua in IR

f (x) =

(e^−x2 x ≤ 0 1 + e^−xα1 x > 0

Esercizio 4.32 Determinare α ∈ IR, in modo tale che la seguente funzione sia continua in IR

f (x) =

(1 x = 0

sin(x¹³)

x^α x 6= 0

Esercizio 4.33 Determinare a, b, c, d ∈ IR e α ∈ IR⁺, in modo tale che la seguente fun- zione sia continua in IR

f (x) =







c|x|^α+ bx²+ d x ≤ 0

a x = 0

log(1+x)

x²+1 x ≥ 0

5 DERIVATE

Introduzione del concetto di derivata.

Definizione 5.1 Derivata di una funzione in un punto. Funzione derivabile in un punto.

Funzione derivabile in un intervallo. Derivata destra e sinistra di una funzione in un punto.

Osservazione 5.2 Una funzione `e derivabile in un punto se e solo se esistono finite la derivata destra e la derivata sinistra in tale punto e coincidono.

Esempio 5.3 La derivata di una funzione costante `e nulla in ogni punto.

Teorema 5.4 Se f `e una funzione derivabile in x<sub>0</sub>, allora `e anche continua in x₀. (dim) Osservazione 5.5 Una funzione continua pu`o non essere derivabile. Ad esempio, f (x) =

|x| `e continua in IR ma non `e derivabile in x = 0.

Teorema 5.6 Operazioni con le derivate.

Teorema 5.7 Teorema di derivazione delle funzioni composte.

Teorema 5.8 Teorema di derivazione delle funzioni inverse.

Derivate delle funzioni elementari. Utilizzando la definizione e i teoremi di derivazione, calcolare le derivate delle seguenti funzioni

f (x) = x^a f (x) = a^x f (x) = log_ax f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = tan x f (x) = arcsin x f (x) = arccos x f (x) = arctan x

Significato geometrico della derivata.

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile nel punto (x₀, f (x₀)):

y = f (x₀) + f⁰(x₀)(x − x₀).

Esercizio 5.9 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni f (x) = x²

f (x) = √⁵ x f (x) = 4x +√⁴

x + 3 + 38 f (x) = 2^x

f (x) = (7x + 8)⁵ f (x) = log₃x f (x) = sin 2x f (x) = cos(3x + 4)² f (x) = tan x

f (x) = arcsin 6x f (x) = arccos 8x f (x) = arctan 3x

f (x) = 2^x+ 4x + 5 f (x) = sin(log x) f (x) = log(sin x) f (x) = √³

sin x f (x) = sin(√³

x) f (x) = ln(ln x) f (x) = ln(ln(ln x)) f (x) = (x + 1)^x+2 f (x) = _arctan¹ √1

x

Esercizio 5.10 Calcolare l’equazione della retta tangente alla funzione f (x) = 3e^x+ 4 in x = 2.

Esercizio 5.11 Determinare gli insiemi di continuit`a e derivabilit`a della funzione

f (x) =

(ln(1 + x) x ≥ 0

|1 + x| − 1 x < 0

Esercizio 5.12 Determinare gli insiemi di continuit`a e derivabilit`a della funzione

f (x) =







px(x − 2) x ≥ 2

√x −_x−2¹ 0 < x < 2 px(x − 2) x ≤ 0

Esercizio 5.13 Determinare gli insiemi di continuit`a e derivabilit`a della funzione f (x) = |4x − 1 + (5 − 3x)|

Esercizio 5.14 Studiare la derivabilit`a delle funzioni degli esercizi 4.28, 4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.33.

6 APPLICAZIONI DELLE DERIVATE

Definizione 6.1 Massimo relativo. Minimo relativo.

Definizione 6.2 Massimo assoluto. Minimo assoluto.

Osservazione 6.3 Il massimo assoluto di f, se esiste, `e unico. Il punto di massimo pu`o invece non essere unico.

Teorema 6.4 Teorema di Fermat. (dim) Significato geometrico del teorema di Fermat.

Osservazione 6.5 Se una funzione `e continua in un intervallo chiuso e limitato, i punti di massimo e minimo assoluti vanno ricercati tra: 1. i punti interni dove si annulla la derivata; 2. gli estremi dell’intervallo; 3. gli eventuali punti di non derivabilit`a.

Teorema 6.6 Teorema di Rolle. (dim) Significato geometrico del Teorema di Rolle.

Teorema 6.7 Teorema di Lagrange.

Significato geometrico del Teorema di Lagrange.

Osservazione 6.8 La continuit`a agli estremi dell’intervallo `e una ipotesi indispensabile.

Esempio: f (x) =

(x x ∈ [0, 1)

0 x = 1 in [0, 1].

Teorema 6.9 Criterio di monotonia.

Teorema 6.10 Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo.

Teorema 6.11 Criterio di stretta monotonia.

Osservazione 6.12 Una funzione strettamente monotona pu`o avere derivata nulla in qualche punto. Esempio: la funzione f (x) = x<sup>3</sup> `e strettamente crescente in IR, ma la sua derivata si annulla in x = 0.

Definizione 6.13 Funzione convessa. Funzione concava.

Teorema 6.14 Criterio di convessit`a.

Definizione 6.15 Punto di flesso.

Osservazione 6.16 In un punto di flesso il grafico di f attraversa la retta tangente.

Osservazione 6.17 Se f `e derivabile due volte, allora in un punto di flesso la derivata seconda si annulla.

Teorema 6.18 Criterio per i punti di massimo e di minimo (valido per funzioni che ammettono derivata seconda).

Schema per lo studio di un grafico di funzione.

Esercizio 6.19 Studiare le seguenti funzioni f f (x) = x³

f (x) = ¹_x f (x) = e^x f (x) = ln x f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = tan x f (x) = arcsin x f (x) = arccos x f (x) = arctan x f (x) = x³− 3x² f (x) = ^x2+6x+6_x+1 f (x) = ^x_x−2^2−x f (x) = _x2^x+3

f (x) = ^(x+1)_x2 ³

f (x) = xe^−2x2 f (x) = xe^1x

f (x) = e^|x−1|x f (x) = xe^|x−1|x

f (x) = sinh x = ^ex−e₂^−x (seno iperbolico) f (x) = cosh x = ^ex+e₂^−x (coseno iperbolico) f (x) = tanh x = ^{sinh x}_{cosh x} (tangente iperbolica) f (x) = x log x

f (x) = x^x f (x) = _|x|+|1−x|^x f (x) =√

2 − x −√ x f (x) = sin²x − sin x

specificandone dominio; segno e zeri di f ; limiti agli estremi degli intervalli costituenti il dominio; asintoti; continuit`a, esistenza e calcolo delle derivata prima f<sup>0</sup>; segno e zeri di f<sup>0</sup>; intervalli di monotonia di f e punti stazionari; massimi e minimi relativi; esistenza e calcolo della derivata seconda f<sup>00</sup>: intervalli di concavit`a e convessit`a e punti di flesso;

grafico di f.

Esercizio 6.20 Determinare massimo e minimo della funzione f (x) = sin²x +√ 2 cos x in [0, 2π].

Esercizio 6.21 Determinare massimo e minimo della funzione f (x) = x³−⁹₂x²+ 6x in [0, 2π].

Uso delle derivate per il calcolo dei limiti Teorema 6.22 Teorema di L’Hˆopital.

Osservazione 6.23 Il teorema di L’Hˆopital non fornisce informazioni quando lim^f_g⁰0 non esiste. In tal caso il limite lim^f_g potrebbe esistere o non esistere.

Esempio. f (x) = x − sin x, g(x) = x, per x → ∞.

Esempio. f (x) = x²sin¹_x, g(x) = x, per x → 0⁺. Esempio. f (x) = x sin¹_x, g(x) = x, per x → 0⁺.

Osservazione 6.24 Si pu`o iterare il procedimento pi`u volte.

Esempio. f (x) = e^x, g(x) = x³, per x → ∞.

Esercizio 6.25 Calcolare i seguenti limiti lim_x→∞^x−1_x

lim_x→3^x−1_x (`e una forma indeterminata?) limx→01−cos x

x³

lim_x→1^x_{log x}²⁻¹

lim_x→01−cos x+x sin x x²

lim_x→0^e_{sin 4x}^5x−1 lim_x→0^ln(1+4x)_3x lim_x→0cos^ex√−1_x−1

Esercizio 6.26 Data la funzione f (x) =

(x⁴+ 3x³ x ≥ 0

ln(1+x²)−x²

√3

x x < 0 Stabilire se f `e continua in IR.

Calcolare la derivata sinistra e destra di f in 0.

Stabilire se f `e derivabile in IR.

La formula di Taylor

Introduzione. Approssimazione di una funzione regolare in un intorno di un punto tramite polinomi.

Teorema 6.27 La formula di Taylor con il resto di Peano.

Definizione 6.28 Definizione di “o piccolo” (“infinitesimo di ordine superiore”).

Definizione 6.29 Formula di Mac Laurin.

Esercizio 6.30 Sviluppo delle funzioni elementari.

Uso della formula nel calcolo dei limiti.

Esercizio 6.31 Calcolare i seguenti limiti limx→0 1

x² − _{x sin x}¹
lim_x→0(cos x)^−x21 lim_x→01−cos x+x sin x

x²

limx→0log(1+x²)−x²

√3

x

lim_x→01−cos x+log(cos x) x⁴

lim_x→1^(1+x2√)_{x ln x}^2sin(x−1)

Teorema 6.32 La formula di Taylor con il resto di Lagrange.

7 SERIE

Introduzione.

Definizione 7.1 Serie. Somma ridotta parziale di una serie. Serie convergente, diver- gente, indeterminata. Somma di una serie.

Esercizio 7.2 Studio del carattere della serie (di Mengoli) P∞ k=1

1

k(k+1. Le serie tele- scopiche.

Esercizio 7.3 Studio del carattere della serie P∞

k=1(−1)^k. Esercizio 7.4 Studio del carattere della serie P∞

k=1k.

Esercizio 7.5 Studio del carattere della serie geometrica P∞ k=1x^k.

Esercizio 7.6 Studio del carattere della serie armonica generalizzata P∞ k=1

1 k^p. Esercizio 7.7 Studio del carattere della serie di Abel P∞

k=1 1 k^p(ln k)^q.

Teorema 7.8 Condizione necessaria per la convergenza di una serie. (dim) Osservazione 7.9 Non `e condizione sufficiente. Esempio: la serie armonica.

Serie a termini non negativi

Teorema 7.10 Una serie a termini non negativi `e sempre convergente o divergente. Con- verge se e solo se la somma delle ridotte n-esime `e limitata superiormente. (dim)

Criteri per la convergenza delle serie a termini non negativi Teorema 7.11 Criterio del confronto.

Teorema 7.12 Criterio degli infinitesimi.

Teorema 7.13 Criterio del rapporto.

Teorema 7.14 Criterio della radice.

Serie a termini di segno alterno.

Teorema 7.15 Criterio di convergenza per le serie alternate (Criterio di Leibniz).

Serie a termini di segno qualsiasi.

Definizione 7.16 Convergenza assoluta di una serie.

Teorema 7.17 Se una serie converge assolutamente, allora converge.

Osservazione 7.18 Il viceversa non `e vero. Esempio: P∞

k=1(−1)^{k 1}_k.

Esercizio 7.19 Studiare la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie P∞

k=1 k²+2 k²+5

P∞ k=1

√1 k

P∞ n=1

n!

nⁿ

P∞ n=1

n³ eⁿ

P∞ n=1

8 5

n

P∞ n=1

8 9

n

P∞ n=1

n+1 2n−1

n

P∞ n=1

1 n

2 5

n

P∞ k=1

k²+2^k k²+3^k

P∞

k=1(−1)^k√ ¹

k(k+1)

P∞ k=1

k+1 2k+7

P∞

k=1(−1)^{k 1}_k2

P∞

k=1(−1)^k_{log k}¹ P∞

k=1sin _k¹2

P∞

k=1(−1)^{k k+7}_k2+3

Esercizio 7.20 Discutere la convergenza assoluta al variare di α ∈ IR delle seguenti serie

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√6

n^4α+ 1,

∞

X

n=1

(n³+ 1) 1 4^α

n

,

∞

X

n=1

(7α)ⁿ n ,

∞

X

n=1

n³ 5^2αn. La serie di Taylor.

Definizione 7.21 La serie di Taylor.

Teorema 7.22 Teorema di sviluppabilit`a in serie di Taylor.

Esercizio 7.23 Applicazione del teorema alle funzioni elementari.

8 INTEGRALI

Definizione 8.1 Partizione. Somme integrali.

Definizione 8.2 Integrale definito di una funzione limitata f in un intervallo [a, b].

Osservazione 8.3 Interpretazione geometrica dell’integrale definito.

Teorema 8.4 Additivit`a dell’integrale rispetto all’intervallo.

Teorema 8.5 Linearit`a dell’integrale.

Teorema 8.6 Confronto tra integrali.

Teorema 8.7 Teorema della media integrale. (dim) Teorema 8.8 Integrabilit`a delle funzioni continue.

Definizione 8.9 Funzione integrale.

Teorema 8.10 Il teorema fondamentale del calcolo integrale. (dim) Definizione 8.11 Primitiva.

Teorema 8.12 Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. (dim) Teorema 8.13 Formula fondamentale del calcolo integrale. (dim)

Definizione 8.14 Integrale indefinito.

Osservazione 8.15 L’integrale definito Rb

a f dx `e un numero reale. L’integrale indefinito R f dx `e un insieme di funzioni.

Tabella degli integrali indefiniti.

Integrazione per decomposizione in somma.

Integrazione delle funzioni razionali.

Integrazione per parti.

Integrazione per sostituzione.

Formule di razionalizzazione tramite particolari sostituzioni (R(y) `e una funzione razionale fratta)

R R(e^x) dx con t = e^x

R R(sin x) cos x dx con t = sin x R R(cos x) sin x dx con t = cos x R R(x,√

a²− x²) dx con x = a sin t R R(x,√

a²+ x²) dx con x = a sinh t R R(x,√

x²− a²) dx con x = a cosh t R R(sin x, cos x) dx con t = tan ^x₂

R R(sin²x, cos²x, tan x) dx con t = tan x Esercizio 8.16 Calcolare i seguenti integrali R2

1(x⁵+3x+6) dx,R1

0(x+1)⁴dx,R cos x sin x dx, R tan x dx, R _x+1^x dx,R tan²x dx,R _x⁵_−3x⁴_+x+3

x²−1 dx, R _x+7

x²−x−2dx,R _x

x²+2x+1dx,R ₁

x²+2x+5dx,R _x

x²+x+1dx,R xe^xdx,R log x dx, R cos²x dx,R x cos x dx, R x²cos x dx, R e^xsin x dx, R tan 3x dx, R x⁴log x dx,R e^3xsin 2x dx, R ₁

5+x² dx,R sin²x dx, R sin²x cos x dx.

Esercizio 8.17 Stabilire per quali numeri reali x risulta derivabile la seguente funzione F (x) =Rx

0

√t dt.

Esercizio 8.18 Calcolare la derivata della seguente funzione integrale F (x) =R

√x 0 e^t2dt.

Esercizio 8.19 Calcolare la derivata della seguente funzione integrale F (x) =R3x

2x sin²t dt.

Calcolo di aree di figure piane.

Formula per il calcolo dell’area.

Esercizio 8.20 Calcolare l’area di un cerchio di raggio r.

Esercizio 8.21 Calcolare l’area della regione piana racchiusa dall’ellisse di equazione

x²

a² + ^y_b²2 = 1.

Esercizio 8.22 Calcolare l’area della regione piana compresa fra le 2 parabole di equazioni y² = 9x e x² = 9y.

Integrali impropri.

Definizione 8.23 Integrale improprio in [a, b) di una funzione f non negativa, continua in [a, b) e non limitata in un intorno sinistro di b.

Definizione 8.24 Integrale improprio in (a, b] di una funzione f non negativa, continua in (a, b] e non limitata in un intorno destro di a.

Esercizio 8.25 Studio dell’integrale improprio R1 0

√1 xdx Esercizio 8.26 Studio dell’integrale improprio R1

0 1 x^pdx

Definizione 8.27 Integrale improprio in [a, +∞) di una funzione continua e non nega- tiva.

Definizione 8.28 Integrale improprio in (−∞, b] di una funzione continua e non nega- tiva.

Esercizio 8.29 Studio dell’integrale improprio R∞ 1

1 x³ dx.

Esercizio 8.30 Studio dell’integrale improprio R∞ 1

1 x^p dx.

Teorema 8.31 Criterio del confronto.

Esercizio 8.32 Studio dell’integrale improprio R∞

0 e^−x2dx.

Esercizio 8.33 Studio dell’integrale improprio R2 1

√1

2−x dx.

Esercizio 8.34 Calcolare, se esiste, il massimo nell’intervallo [0, ∞) della funzione in- tegrale

F (x) = Z x

0

cos t − 2 t³+ 2 dt.