7 Teorema di Talete

(1)

 Problemi di Trigonometria

Alcuni esercizi di base …

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2012

(2)

Problemi di Trigonometria Sommario

Consolidamento dei prerequisiti ... 4

Richiami di algebra e di goniometria... 4

Richiami di geometria euclidea ... 5

Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati ... 5

Corde, secanti e tangenti in una circonferenza ... 6

Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza ... 7

Teorema di Talete ... 8

Teoremi di Euclide e di Pitagora ... 9

Primo teorema di Euclide ... 9

Secondo teorema di Euclide ... 9

Teorema di Pitagora ... 10

Inverso del Teorema di Pitagora ... 10

Risoluzione dei triangoli rettangoli ... 10

Triangoli qualunque ... 11

Teorema delle proiezioni ... 11

Teorema della corda... 11

Teorema dei seni (o di Eulero) ... 12

Teorema del coseno (o di Carnot) ... 12

Regole pratiche (importanti) ... 12

Sono noti due lati e l’angolo compreso ... 13

Sono noti tre lati ... 13

Sono noti due angoli e un lato ... 13

Sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi ... 13

Aree di triangoli e quadrilateri ... 14

Problemi sui Triangoli rettangoli ... 16

Problema n. 1 () ... 16

Problema n. 2 () ... 16

Problema n. 3 () ... 16

Problema n. 4 () ... 16

Problema n. 5 () ... 17

Problema n. 6 () ... 17

Problema n. 7 () ... 17

Problema n. 8 () ... 17

Problema n. 9 () ... 18

Problema n. 10 () ... 18

(3)

Problemi sui Triangoli qualunque ... 19

Problema n. 12 () ... 19

Problema n. 13 () ... 19

Problema n. 14 () ... 19

Problema n. 15 () ... 19

Problema n. 16 () ... 20

Problema n. 17 () ... 20

Problema n. 18 () ... 20

Problema n. 19 () ... 21

Problema n. 20 () ... 21

Problema n. 21 () ... 21

Problema n. 22 () ... 22

Problema n. 23 () ... 22

Problema n. 24 () ... 22

Problema n. 25 () ... 23

Problema n. 26 () ... 23

(4)

CONSOLIDAMENTO DEI PREREQUISITI

Richiami di algebra e di goniometria

Radicale doppio:

2 2

2

2 B A A B

A B A

A       , questa relazione è

utile quando A² B è un quadrato perfetto.

Proprietà angoli complementari:

 ₂ 

sin ^   cos, ^cos^₂ ^^ ^ ^sin^^;^tan^₂ ^^  ^ _tan¹_ ^ ^cot^ ^.

Proprietà angoli supplementari: sin    sin ; nella risoluzione dei triangoli, questa relazione si utilizza spesso nella forma

   

sin   x   sin x   .

Individuazione dell’angolo a partire dai valori delle funzioni goniometriche: 1) se 0    ^₂ allora l’angolo è completamente individuato conoscendo il valore

di sin , cos o tan seno (quindi, ad esempio, conoscendo il valore del seno, del coseno o della tangente di uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

2) se 0     allora l’angolo è completamente individuato conoscendo il valore di cos seno (quindi conoscendo il valore del coseno di uno degli angoli di un triangolo possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

3) se 0     e 0  sin 1 allora esistono due valori di  (supplementari) che presentano l’assegnato valore del seno (quindi conoscendo il valore del seno di uno degli angoli di un triangolo non possiamo individuare univocamente l’angolo stesso);

4) se 0       ^₂ allora l’angolo è completamente individuato conoscendo il valore di tan .

1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni);

4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni).

(5)

Richiami di geometria euclidea

Angoli al centro, angoli alla circonferenza e teoremi correlati

Teorema

Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro.

1) gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali;

2) ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto;

3) per un punto esterno a una circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza.

4) in un triangolo rettangolo la mediana CO relativa all’ipotenusa è congruente a metà dell’ipotenusa ed è uguale al raggio del cerchio circoscritto; inoltre il circocentro del triangolo è il punto medio

dell’ipotenusa.

B A

O

B



A

O



B A

O





(6)

Corde, secanti e tangenti in una circonferenza

Teorema (delle due corde)

Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell’altra gli estremi di una proporzione.

In formule:

PA : PC = PD : PB

Teorema (delle due secanti)

Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un’intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l’altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.

In formule:

PA : PC = PD : PB

Teorema della secante e della tangente

Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.

In formule:

PC : PT = PT : PD

B A

C

D

O P

B

A

C P O

T C

D O P

(7)

Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza Teorema

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

.

Gli unici parallelogrammi inscrivibili sono i rettangoli e i quadrati.

Per quel che riguarda la circoscrivibilità di un quadrilatero vale invece il seguente Teorema

un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Gli unici parallelogrammi circoscrittibili sono i rombi e i quadrati.

A

C









A B D C

A B

C D

A

C

A C

B A

(8)

Teorema di Tolomeo

in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle misure delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.

È anche vero il viceversa (teorema inverso), ossia:

se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

Teorema di Talete

Definizione: si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele ad una data retta a.

Enunciato

Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

Corollario 1.

In un triangolo una retta parallela ad un lato determina sugli altri due lati o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali.

Teorema 1 (inverso del corollario 1)

Una retta che determina su due lati di un triangolo o sui loro prolungamenti segmenti proporzionali è parallela al terzo lato.

Teorema 2

In ogni triangolo la parallela ad un lato passante per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato a metà.

Teorema 3 (inverso del teorema 2)

In ogni triangolo la congiungente i punti medi di due lati è parallela al terzo lato e congruente alla sua metà.

A

1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e C può essere risolto con il teorema di Carnot);

(9)

Teoremi di Euclide e di Pitagora

Primo teorema di Euclide

Equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa stessa.

Relazioni tra segmenti:

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Equiestensione tra figure:

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

Relazioni tra segmenti:

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

I due enunciati sono equivalenti, da uno si può ricavare l’altro.

C

A

H B

D E

F G

C

A

H B

F

G

D E

(10)

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Inverso del Teorema di Pitagora

Se in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati dei due lati rimanenti, allora l’angolo contenuto dai due lati rimanenti è retto.

Cioè se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione a² b²  c², allora il triangolo è rettangolo e c è la misura dell’ipotenusa.

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Valgono ì seguenti teoremi:

1° Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.

sin

b  a , c  asin cos

b  a  , c  acos 2° Teorema

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto di quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto, oppure per la cotangente dell’angolo (acuto) adiacente.

In simboli:

tan

b  c , c  btan cot

c  b  , b  ccot

Poiché gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, dalle relazioni degli archi associati risulta:

sin  cos sin  cos

  

C

A

H B

D E

F G

L M

N

 

 C

A

a B

b c

(11)

tan  cot

Triangoli qualunque Teorema delle proiezioni

Teorema

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo

cos cos

a  b   c 

cos cos

b  a   c 

cos cos

c  a  b 

Teorema della corda

Teorema

In una circonferenza, la misura di una corda è uguale al prodotto di quella del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda stessa.

Il quadrilatero ACBD, essendo inscritto nella circonferenza, deve avere gli angoli opposti supplementari, quindi l’angolo alla circonferenza AEB è il supplementare di ADB. Si ha quindi:

sen  sen(  )  sen , per cui l’enunciato del teorema non presenta alcuna ambiguità.

 

 C

A

a B

b c

H



A

 B

(12)

Teorema dei seni (o di Eulero)

Teorema

In un triangolo, il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

In simboli:

sen sen sen 2

a b c

 ^  ^  ^ R

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC.

Teorema del coseno (o di Carnot)

Teorema

In un triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

Le relazioni analitiche sono le seguenti:

2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab







  

Regole pratiche (importanti)

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Dunque si possono presentare quattro casi:

1) sono noti due lati e l’angolo compreso (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

2) sono note le misure dei tre lati (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema di Carnot);

3) sono noti due angoli e un lato (il problema presenta una sola soluzione e può essere risolto con il teorema dei seni);

4) sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi (il problema può avere nessuna, una o due soluzioni, per la ricerca delle quali si può utilizzare il teorema dei seni).

A 

B C

O





a

c b

C 

A

a B

b c

H

(13)

Sono noti due lati e l’angolo compreso

Noti: b, c, 

Applicando il teorema di Carnot, si ha:

2 2 2 cos a  b  c  bc 

2 2 2

cos 2

a b c

  ^ ab^

2 2 2

cos 2

a c b

  ^ ac^

Notiamo che, nell’intervallo 0; 2, la conoscenza del coseno permette di determinare univocamente l’angolo (questo invece non vale per il seno).

Sono noti tre lati

Noti: a, b, c

Applicando il teorema di Carnot, si ha:

2 2 2

cos 2

b c a

  ^ bc^

2 2 2

cos 2

a c b

  ^ ac^

2 2 2

cos 2

a b c

  ^ ab^

Come già detto, nell’intervallo 0; 2, la conoscenza del coseno permette di determinare univocamente l’angolo.

Sono noti due angoli e un lato

Noti: , , c

Applicando il teorema dei seni e ricordando che

 

   

sin  sin       sin   

si ha:

  ^sin  ^sin 

sin sin

sin sin sin sin

a a c c

c c a  

       

 

     

 

  ^sin  ^sin 

sin sin

sin sin sin sin

b b c c

c c b  

       

 

     

 

Sono noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi

Noti: , a, c

In questo caso occorre, prima di tutto, valutare il numero di soluzioni possibili:

 se a  BC  c sin il problema non ammette soluzione;

A 

B C





a

c b

A 

B C





a

c b