3.1 Studio del coefficiente di riflessione al variare della conducibilità elettrica

CAPITOLO 3

3.1 Studio del coefficiente di riflessione al variare della conducibilità elettrica

In questo Capitolo si affronta la problematica legata alla variazione del coefficiente di riflessione in relazione alla variazione statistica della conducibilità elettrica. Di seguito sono considerati tre scenari caratterizzati ciascuno da un valore opportuno di permittività dielettrica relativa. I valori scelti sono pari a 3, 10 e 80 che, per la frequenza in esame, sono propri rispettivamente di asfalto, cemento e acqua. Poiché in ambienti urbani la conducibilità dei materiali presenti assume piccoli valori con elevata probabilità, si è espresso nella forma 10

considerando x come una variabile aleatoria uniformemente distribuita nell’intervallo (-5,6) [9]. Il motivo della scelta di tale intervallo è legato ai valori di conducibilità dei materiali presenti tipicamente in ambiente urbano, non trascurando possibili condizioni di umidità climatiche che ne aumentano l’entità ( si veda Appendice C).

Le simulazioni sono state eseguite, per ciascun valore di

, per tre angoli di incidenza

, corrispondenti a significative posizioni relative del trasmettitore rispetto alle superfici di incidenza.

I valori considerati per tali angoli sono 5°, 45° e 85°. La frequenza f

alla quale il trasmettitore lavora è stata fissata a 1.8 GHz, frequenza tipica per trasmissioni alle microonde.

Le superfici sulle quali incide l’onda e.m. sono state approssimate, come nel caso

precedentemente affrontato nel Capitolo 2, a superfici non rugose, di spessore infinito ipotizzando

un materiale non ferromagnetico. L’attenzione è stata posta sugli andamenti dei moduli dei

coefficienti di riflessione, trascurando le fasi. Ciò è motivato dal fatto che queste ultime quantità,

alle condizioni operative di lavoro di tale analisi, non variano sensibilmente al variare di . Infatti si

nota come tali quantità risultino concentrate, in ogni caso esaminato, in un intervallo di valori molto

ristretto, per cui è plausibile, in questa fase di studio, assumerle come costanti. Analogamente allo

studio compiuto su con una variazione uniforme di permittività dielettrica, in questo contesto,

studiamo il caso in cui i valori di conducibilità elettrica variano statisticamente su un intervallo

uniformemente distribuito. Di seguito di riporta il diagramma a blocchi relativo a tale metodologia di analisi (Fig. 3.1).

Γ

Approssimazione con funzione analitica

Calcolo del modulo di campo elettrico in polarizzazione parallela Calcolo del coefficiente di riflessione in polariz- zazione parallela log(σ) uniformemente

distribuito su (-5,6)

estrazione di 10000 v.a.

Γ

Approssimazione con funzione analitica

Calcolo del modulo di campo elettrico in polarizzazione perpend.

Calcolo del coefficiente di riflessione in polariz- zazione perpendicolare

Fig. 3.1 – schema a blocchi del procedimento di calcolo del campo elettrico al

variare della conducibilità elettrica

3.1.1 Studio di al variare della conducibilità elettrica nel caso di permittività relativa pari a 3

Da un intervallo di valori uniformemente distribuito dell’esponente della conducibilità elettrica sono estratti 10000 valori campione secondo la tecnica Monte-Carlo. La d.d.p. dei moduli e della fasi del coefficiente di riflessione è stata calcolata fissando la permittività relativa della superficie incidente a 3. Tale valore è caratteristico, alla frequenza di lavoro di 1.8 GHz, di asfalto, gomma, PVC e del legno secco [si veda Appendice C]

Questa analisi è stata compiuta per i tre angoli di incidenza

=5°,

=45°,

=85°. Nelle Figure 3.1.1 - 3.1.2 successivamente riportate sono mostrati gli andamenti di d.d.p. dei moduli relativi ai primi due casi, ricavati dalle simulazioni. Non è stato inserito, invece, il grafico riguardante l’angolo di incidenza pari a 85° perché è stato riscontrato che l’andamento che lo caratterizza è notevolmente diverso dai precedenti. Da ulteriori indagini abbiamo notato come tale andamento inizi a modificarsi sensibilmente per angoli superiori ai 60°. Per tale motivo, il modello statistico qui presentato mantiene ragionevolmente la sua validità ed è utilizzato per angoli inferiori ai 60° e si rimanda a ulteriori approfondimenti futuri l’analisi della propagazione per angoli superiori a 60°.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{Γ^Perp}

(a) (b)

Figura 3.1.1 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=5º

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPar}

0 10 20 30 40 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

(a) (b)

Figura 3.1.2 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=45º

Abbiamo scelto, come espressione analitica approssimante le d.d.p. dei moduli dei coefficienti di riflessione, una funzione definita dalla combinazione di funzioni esponenziali troncate, l’una con andamento decrescente e l’altra con andamento crescente, e di delta posizionate agli estremi dell’intervallo di definizione. Il dominio di definizione delle d.d.p. è stato suddiviso in due sottodomini. Nel primo di essi è definita la delta centrata nel picco dell’estremo inferiore dell’intervallo e la funzione esponenziale negativa. Nel secondo sottointervallo è definita la delta centrata nel picco sull’estremo superiore dell’intervallo e l’esponenziale con andamento crescente.

La scelta di considerare due sottointervalli di definizione dell’andamento rispetto a considerarne complessivamente solo uno scelta è motivata dalla esigenza di considerare domini in cui le espressioni approssimanti scelte siano monotone. Tale condizione è necessaria all’applicabilità del teorema di trasformazione delle v.a. attuato successivamente per il calcolo dei campi elettrici .

Le funzioni esponenziali approssimanti, nei rispettivi intervalli di validità sono riportate nella tabella di seguito ed hanno espressione generale del tipo :

y = α exp( ) β x + ξδ ( x − τ ) (3.1)

dove con si indica l’ampiezza dell’esponenziale, con si indica l’esponente della funzione,

con si indica l’ampiezza della delta e con la posizione in cui è posta. Per ognuna delle situazioni

analizzate è stata riportata una corrispondente tabella coi valori ottimali dei parametri della funzione

analitica approssimante corrispondente (Eq. 3.1.), ottenuti applicando il Test del Chi-Quadro. Le

tabelle 3.1 – 3.2,contenenti i parametri ottimali delle funzioni approssimanti, relative al caso di

angolo incidente pari a 5° e a 45°, sono riportata di seguito ai grafici che mostrano gli andamenti di

d.d.p. nei sottointevalli con sovrapposte le relative approssimazioni fFig. 3.1.3 – 3.1.4).

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

y = 1.5749 * e^(-3.6539x) R= 0.64465

D.d.p.

Mod{ΓPar}

0 2 4 6 8 10

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

y = 0.0022217 * e^(6.9285x) R= 0.76989

D.d.p.

Mod{ΓPar}

(a) (b)

Figura 3.1.3 – a) approssimazioni del modulo di par al variare di , con i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

y = 1.6354 * e^(-3.7298x) R= 0.64525

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

0 2 4 6 8 10

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

y = 0.0024189 * e^(6.8299x) R= 0.76945

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

(a) (b)

Figura 3.1.4 – a) approssimazioni del modulo di perp al variare di , con i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

1 1 1 1

R

par

,

=5° 1.5749 -3.655 38.070 0.266 0.645

perp, i

=5° 1.635 -3.729 38.050 0.269 0.646

par

,

=45° 0.674 -2.049 36.145 0.145 0.637

perp, i

=45° 25.009 -6.620 42.671 0.381 0.522

Tab. 3.1 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel primo sottointervallo

2 2 2 2

R

par

,

=5° 0.0022 6.928 33.143 0.999 0.769

perp, i

=5° 0.0024 6.629 33.313 0.999 0.769

par

,

=45° 0.0027 6.646 25.745 0.999 0.805

perp, i

=45° 0.0022 6.922 42.008 0.999 0.766

Tab. 3.2 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel secondo sottointervallo

Dall’osservazione dei valori dei parametri riportati nelle Tabelle 3.1- 3.2, ed in particolare dall’osservazione del coefficiente di correlazione, si nota come, attraverso tali funzioni, le d.d.p.

simulate sono soddisfacentemente approssimate. Questo, tuttavia, rimane valido solo per angoli di incidenza inferiori ai 60° circa. Per angoli di incidenza superiori a 60° gradi, invece, tale approssimazione risulta non essere accettabile. Questo vuol dire che l’intervallo di validità della nostra analisi copre distanze dall’antenna trasmittente in questo contesto considerata dell’ordine delle decine di metri. L’andamento delle fig. 3.1.1 – 3.1.4 ha una caratteristica particolare, come si può notare. Agli estremi dell’intervallo di definizione delle d.d.p. si la funzione assume valori molto pronunciati rispetto ai valori interni a tale intervallo. Questo è spiegabile fisicamente tenendo in considerazione l’intervallo in cui l’esponente di è estratto. Le v.a. sono uniformemente distribuite ed estratte su un intervallo pari a (-5, 6), che, come si può osservare, abbraccia molti ordini di grandezza. Si noti come, ad esempio, il legno sia caratterizzato da log( )=-5, alla frequenza in esame, mentre l’acciaio abbia log( )=6. Nell’estrarre in maniera uniforme gli esponenti, i valori da 2 a 6 peseranno maggiormente del calcolo modulo del coefficiente di riflessione perché, per tali quantità, il materiale si comporta come un conduttore perfetto e quindi il valore del modulo associato sarà unitario. Discorso analogo vale per i valori all’ estremo inferiore, in cui maggiormente pesanti saranno i contributi di log( ) da -2 a -5, che forzeranno il valore del modulo di all’estremo inferiore dell’intervallo.

Si ricorda che consideriamo dielettrico un materiale per cui è valido:

0

1

r

100

ωε ε σ ^< (3.2)

Mentre consideriamo buon conduttore un materiale per cui vale:

0

100

r

ωε ε σ ^> (3.3)

Come precedentemente anticipato, non sono analizzati gli andamenti delle fasi dei coefficienti di riflessione poiché, al variare del valore di conducibilità, non presentano variazioni statistiche apprezzabili.

3.1.2 Studio del coefficiente di riflessione al variare della conducibilità nel caso di permittività relativa pari a 10

Gli andamenti delle d.d.p. del modulo del coefficiente di riflessione nelle due polarizzazioni al variare statistico di conducibilità per un valore dei permittività fissato a 10 ( Figure 3.1.5 – 3.1.6 ) sono riportati di seguito. Nella tabelle 3.3 – 3.4 sono presentati i corrispondenti parametri ottimali di approssimazione della funzione (Eq. 3.1) . Anche in questo caso, sono riportati solo gli andamenti relativi a angoli di incidenza inferiori ai 60° poiché, oltre tale valore, l’approssimazione considerata risulta non essere più accettabile. Il valore di permittività dielettrica pari a 10 è caratteristico, alla frequenza di trasmissione di 1.8 GHZ, di diversi materiali presenti in ambiente urbano. Ad esempio, in condizioni di questo tipo, il cemento e il vetro sono caratterizzati da valori di

contenuti nell’intervallo (5, 10) (si veda Appendice C). Tipicamente, in letteratura, nella situazione operativa considerata, si assume che un ambiente in cui sono presenti terreni costieri sabbiosi abbia

=10 [8].

Anche in questo caso, non vengono analizzati i contributi di fase perché non presentano variazioni statistiche apprezzabili.

0 10 20 30 40 50 60 70

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

0 10 20 30 40 50 60 70

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{Γ^Perp}

(a) (b)

Figura 3.1.5 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=5º

0 10 20 30 40 50 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPar}

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

(a) (b)

Figura 3.1.6 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=45º

Le Fig. 3.1.7 e 3.1.8 riportano le approssimazioni esponenziali nei sottointervalli di definizione, per un angolo di incidenza pari a 5° e nelle tabelle successive si riportano i valori ottimali della equazione (3.1) per i casi in esame.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

y = 63.21 * e^(-7.9245x) R= 0.73352

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

0 2 4 6 8 10 12 14

0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

y = 0.00012512 * e^(10.218x) R= 0.79721

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

(a) (b)

Figura 3.1.7 – a) approssimazioni del modulo di par al variare di , con _i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85

y = 6.3571 * e^(-4.0937x) R= 0.61434

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

0 2 4 6 8 10 12 14

0.8 0.85 0.9 0.95 1

y = 7.8113e-06 * e^(13.235x) R= 0.82454

D.d.p.

Mod{ΓPar}

(a) (b)

Figura 3.1.8 – a) approssimazioni del modulo di perp al variare di , con i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

Osservando le quantità assunte dai paramenti contenuti nella Tabelle 3.3 – 3.4 si nota come le approssimazioni delle d.d.p. ottenute dalle simulazioni con la funzione (Eq. 3.1) siano, anche in questo caso, soddisfacenti. Analogamente al caso precedente, però, per angoli di incidenza superiori a 60° gradi, la funzione approssimante di tipo esponenziale non è più utilizzabile a causa di un considerevole mutamento dell’andamento delle d.d.p. .

1 1 1 1

R

par

,

=5° 63.21 -7.924 59.996 0.518 0.733

perp, i

=5° 6.357 -4.093 62.199 0.520 0.614

par

,

=45° 2.235 -3.325 52.928 0.392 0.586

perp, i

=45° 466 -12.71 82.28 0.626 0.708

Tab. 3.3 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel primo sottointervallo

2 2 2 2

R

par

,

=5° 0.0001 10.218 46.392 0.999 0.797

perp, i

=5° 7.811e-06 13.23 47.332 0.999 0.824

par

,

=45° 0.0001 9.711 33.176 0.999 0.819

perp, i

=45° 3.991e-05 11.566 49.015 0.999 0.771

Tab. 3.4 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel secondo sottointervallo

3.1.3 Studio del coefficiente di riflessione al variare della conducibilità nel caso di permittività relativa pari a 80

Le Figure (3.1.9 – 3.1.10) riportano i casi di d.d.p. del modulo di

e

per

pari a 80.

Come si può notare, rispetto ai casi precedenti, le approssimazioni considerate si discostano maggiormente dal caso simulato. Si nota un restringimento notevole dell’intervallo di definizione delle funzioni e una accumulazione considerevole dei valori ottenuti dalle simulazioni intorno agli estremi di tale intervallo. Anche in queste situazioni, non si nota una variazione statistica significativa di fase del coefficiente di riflessione ma piuttosto si evidenzia una forte concentrazione intorno ad un solo valore.

0 50 100 150 200 250

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPar}

0 50 100 150 200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

(a) (b)

Figura 3.1.9 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=5º

0 20 40 60 80 100 120

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPar}

0 50 100 150 200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D.d.p.

Mod{ΓPerp}

(a) (b)

Figura 3.1.10 – a) d.d.p. del modulo di par e b) d.d.p. del modulo di perp al variare di , con i=45º

Le Fig. 3.1.11 e 3.1.12 riportano le approssimazioni esponenziali nei sottointervalli di definizione, per un angolo di incidenza pari a 5° e nelle tabelle 3.5 – 3.6 si riportano i valori ottimali della equazione (3.1) per i casi in esame.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92

y = 21040 * e^(-11.766x) R= 0.64333

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

0 5 10 15 20 25

0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

y = 7.9352e-13 * e^(29.982x) R= 0.83221

D.d.p.

Mod{Γ^Par}

(a) (b)

Figura 3.1.11 – a) approssimazioni del modulo di par al variare di , con i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

0 2 4 6 8 10

0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92

y = 24225 * e^(-11.573x) R= 0.63879

D.d.p.

Mod{Γ^Perp}

0 10 20 30 40 50

0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

y = 3.7878e-13 * e^(31.033x) R= 0.79413

D.d.p.

Mod{Γ^Perp}

(a) (b)

Figura 3.1.12 – a) approssimazioni del modulo di par al variare di , con i=5º nel primo e nel secondo sottointervallo

1 1 1 1

R

par

,

=5° 21040 -11.766 229.39 0.798 0.643

perp, i

=5° 24225 -11.573 148.059 0.799 0.638

par

,

=45° 1.06e05 -14.829 113.721 0.727 0.725

perp, i

=45° 2.711e08 -21.267 191.52 0.853 0.704

Tab. 3.5 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel primo sottointervallo

2 2 2 2

R

par

,

=5° 7.935e-13 29.283 67.367 0.999 0.832

perp, i

=5° 3.787e-13 31.033 88.716 0.999 0.794

par

,

=45° 3.255e-08 19.14 62.791 0.999 0.819

perp, i

=45° 9.018e-16 37.265 122.786 0.999 0.805

Tab. 3.6 – Parametri ottimali delle funzioni approssimanti nel secondo sottointervallo

Osservando le quantità assunte dai paramenti contenuti nella Tabelle 3.5 – 3.6 si nota come le approssimazioni delle d.d.p. ottenute dalle simulazioni con la funzione (Eq. 3.1) siano, anche in questo caso, soddisfacenti. Per angoli di incidenza superiori a 60° gradi, la funzione approssimante di tipo esponenziale non è, neanche in questo caso, valida a causa di un considerevole mutamento dell’andamento delle d.d.p. .

All’aumentare dell’angolo di incidenza, nelle condizioni di validità delle approssimazioni, per tutti i valori di permittività esaminati, si nota come l’intervallo di definizione dell’andamento delle d.d.p. nel caso di polarizzazione parallela aumenti. L’estremo superiore è sempre in prossimità del valore unitario e quello inferiore è legato alla diminuzione dell’ ampiezza del modulo. Situazione opposta nel caso di polarizzazione perpendicolare.

3.2 Funzioni di distribuzione

Di seguito si riportano gli andamenti delle F.d.d. del modulo di

e di

relative al caso

in cui la permittività dielettrica relativa sia pari a 3. Tali rappresentazioni sono espresse sulla stessa

scala nell’asse delle ascisse per evidenziare l’effettivo intervallo di definizione delle funzioni all’aumentare dell’angolo di incidenza e fornire una prima utile indicazione sugli andamenti per semplice ispezione visiva. I valori del modulo di

aumentano all’aumentare di

. Come potevamo aspettarci da considerazioni precedentemente anticipate, l’andamento delle funzioni di distribuzione per

pari a 85°, in particolare per la polarizzazione parallela, si discosta notevolmente dagli analoghi casi relativi ad angoli di incidenza minore. La brusca variazione, evidente dal grafico del modulo di fig. 3.2.3 a), giustifica la mancata possibilità di utilizzo di una funzione esponenziale come approssimazione della d.d.p. .

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

F.d.d.

Mod{Γ^Par}

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

F.d.d.

Mod{Γ^Perp}

a) b)

Figura 3.2.1 – F.d.D. di

e di

per

=5°

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F.d.d.

Mod{Γ^Par}

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

F.d.d.

Mod{ΓPerp}

c) d)

Figura 3.2.2 - F.d.D. di

e di

per

=45°

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

F.d.d.

Mod{ΓPar}

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

F.d.d.

Mod{ΓPerp}

e) f)

Figura 3.2.3 - F.d.D. di

e di

per

=85°