Parte II Progettazione

Parte II

Progettazione

Capitolo 4

Sistema di attivazione

termica della massa

4.1

Introduzione

Quale tecnologia a bassa exergia da impiegare per la distribuzione del-l’impianto di riscaldamento solare si `e scelto un sistema di attivazione della massa del pavimento, per il buon accordo con le esigenze dell’e-dificio e con le temperature ottenibili da un collettore termico di bassa efficienza ed inoltre per la possibilit`a di essere realizzato con materiali reperibili in loco.

4.2

Modello semplificato di scambio

termi-co

Per avere riferimenti che diano un indirizzo alla progettazione `e neces-sario disporre di una stima quantitativa dell’influenza dei parametri in gioco sulla dinamica del sistema di attivazione termica della massa che si vuole realizzare. Prendiamo allora il caso del riscaldamento: nel sistema

in esame una massa di dimensioni significative viene portata a tempera-tura pi`u alta rispetto a quella dell’aria interna, la sua capacit`a termica dunque assume un ruolo importante nella dinamica dell’impianto e nelle strategie di controllo.

Consideriamo come sistema la massa del pavimento con confine il bordo esterno delle tubazioni da un lato e la superficie del pavimento dall’al-tro e facciamo alcune ipotesi semplificative per capire l’andamento della temperatura nel tempo:

Figura 4.1: Modello semplificato dello scambio in un sistema di attivazione termica della massa

– il lavoro scambiato dal sistema con l’esterno `e nullo

– trascuriamo le dilatazioni del materiale, dunque cp = cv = c

– consideriamo uniforme la temperatura Tp all’interno del sistema

(`e un’ipotesi piuttosto lontana dalla realt`a1, ma la assumiamo

co-1_{Questa ipotesi semplificativa `e appropriata quando siamo nelle condizioni di poter}

con-siderare il corpo come‘sottile’, ovvero quando si pu`o ipotizzare che durante il transitorio di temperatura siaT = T (t) in tutto il corpo e non, come in effetti `e, T = T (x, y, z, t).

4.2 Modello semplificato di scambio termico 211

munque per capire in modo semplice l’andamento complessivo del fenomeno)

– riteniamo adiabatiche (in quanto isolate) le pareti perimetrali e la parte sottostante il pavimento

– la temperatura dell’ambiente interno, Ta, si mantiene costante

Sotto tali ipotesi, l’equazione di bilancio dell’energia (dal primo princi-pio) diventa

dU

dT = WT (4.1)

dove abbiamo indicato con U l’energia interna e con WT la potenza

ter-mica scambiata dal sistema con l’esterno; il primo membro si pu`o scrivere come dU dt = M du dt = ρV du dt = ρV c dTp dt (4.2)

Utilizziamo una notazione semplice per facilit`a di visualizzazione: – Tf : temperatura del fluido termovettore all’interno delle tubazioni

– Tp : temperatura della massa del pavimento

– Ta : temperatura della stanza

– C = ρV c : capacit`a termica del pavimento

– Ut ed Up : coefficienti di scambio tra fluido e pavimento e tra

pavimento ed ambiente

– Qt e Qp : relative potenze termiche scambiate

Analizziamo adesso separatamente la fase attiva, durante la quale la circolazione del fluido termovettore mantiene la temperatura media delle serpentine radianti costantemente a Tf, e la fase passiva, nella quale

non c’`e apporto di calore dal circuito idronico ed il pavimento rilascia all’ambiente quanto ha accumulato.

Fase attiva

Con le notazioni suddette si pu`o scrivere:

CdTp

dt = WT = Qt− Qp (4.3)

ed i singoli scambi sono espressi da

Qt= Ut(Tf − Tp) Qp = Up(Tp− Ta) (4.4)

Sostituendo si ottiene

CdTp

dt = Ut(Tf − Tp)− Up(Tp− Ta) (4.5)

che possiamo riscrivere come

dTp dt +  Up+ Ut C  Tp = UtTf + UpTa C (4.6)

Il problema differenziale `e dunque ⎧ ⎨ ⎩ dT_p dt +  U_p+U_t C  Tp = UtTf+UpT_a C Tp(t = 0) = Tp0

L’equazione omogenea associata, ovvero

dTp Tp =−  Ut+ Up C  dt (4.7)

si integra facilmente ed ha soluzione del tipo:

Tp = Tδ₁exp  − t τa  (4.8)

nella quale abbiamo definito la costante di tempo della fase attiva

τa

τa = C

Up+ Ut

4.2 Modello semplificato di scambio termico 213

Una soluzione particolare si pu`o scrivere nella forma

Tp = Tδ₁exp  −t τa  + Tregime₁ (4.10)

e sostituendo nell’equazione iniziale si ottiene

Tregime1 = UtTf + UpTa

Ut+ Up Tp0 = T

δ1+ Tregime1 (4.11)

L’andamento della temperatura Tpnella fase attiva quindi risulta del tipo

in figura: dalla temperatura iniziale del pavimento Tp₀ si passa, tramite

un gradino sulla temperatura del fluido termovettore, alla temperatura di regime Tregime1: il salto di temperatura tra i due stati `e Tδ1 (il fattore

dell’esponenziale `e negativo) ed il processo `e regolato dalla costante di tempo τa, tempo che impiega la temperatura del sistema per variare di Tδ∗ (e − 1)/e.

Figura 4.2: Andamento della temperatura media della massa nella fase attiva

Fase passiva

Analoghi calcoli possono essere ripetuti per la fase passiva, durante la quale l’unica potenza scambiata `e quella della massa del pavimento con

l’aria interna:

CdTp

dt =−Qp =−Up(Tp− Ta) (4.12)

che si traduce nel problema differenziale (nel quale presumibilmente la temperatura iniziale `e pari alla temperatura di regime della fase attiva):

⎧ ⎨ ⎩ dTp dt +  Up C  Tp = U_Cp_Ta Tp(t = 0) = Tp₁ = Tregime₁

La soluzione dell’equazione omogenea associata `e dello stesso tipo del caso precedente, definendo per`o questa volta una costante di tempo passiva τp

τp = C

Up (4.13)

Una soluzione particolare si pu`o esprimere come

Tp = Tδ2exp  −t τp  + Tregime2 (4.14)

Sostituendo nell’equazione differenziale e considerando le condizioni ini-ziali si ottiene

Tregime2 = Ta

Tp(t = 0) = Tregime1 = Tδ2+ Tregime2 ⇒ Tδ2 = Tregime1− Ta

allora Tp = Tδ2exp  −t τp  + Ta (4.15)

L’andamento della temperatura Tp nella fase passiva `e delineato in figura:

4.2 Modello semplificato di scambio termico 215

la portata del fluido termovettore, alla temperatura di regime Tregime₂,

pari a quella della stanza (a questo punto lo scambio termico tra il pa-vimento e l’ambiente si annulla del tutto): il salto di temperatura tra i due stati `<sub>e T</sub>δ2 (il fattore dell’esponenziale `e positivo) ed il processo `e

regolato dalla costante di tempo τp, tempo che impiega la temperatura

del sistema per variare di Tδ2∗ (e − 1)/e.

Figura 4.3: Andamento della temperatura media della massa nella fase passiva

Valutando i parametri in gioco si pu`o agire ad esempio sullo spessore del pavimento radiante per variarne la capacit`a termica e sul coefficiente globale di scambio del pavimento (scegliendo un rivestimento piuttosto che un altro) per variarne la conduttanza di parete oppure migliorare lo scambio tra tubazioni e massetto: in questo modo determiniamo le costanti di tempo attiva e passiva per renderle adeguate alle esigenze.

4.3

Dimensionamento del sistema

Come descritto nel capitolo 2, la temperatura di mandata adeguata al funzionamento dell’impianto `e intorno ai 26-28◦C (in genere non inferiore a 24◦C n`e superiore a 30◦_{C), scegliamo il valore T}f,m =27◦C.

Nei sistemi radianti la potenza termica emessa viene calcolata median-te diverse procedure: in sinmedian-tesi `e necessario determinare la temperatura media della superficie funzione della temperatura dellacqua. Tale va-lore dipende dalla tipologia di sistema adottato e dalle caratteristiche dimensionali, ovvero:

– spessore e stratigrafia del pavimento

– diametro esterno del tubo

– resistenza termica del tubo

– qualit`a del contatto tra tubazioni e pavimento – passo I delle tubazioni nelle serpentine

– resistenza termica del rivestimento

Dopo aver determinato la potenza termica necessaria al locale (in questo caso un’unica zona) si procede al calcolo dellapotenza termica specifica q (dividendo per l’area S della superficie radiante) e quindi della lunghezza complessiva approssimata Ltot dei circuiti

Ltot ≈ S

I (4.16)

Nota la temperatura di mandata, si suppone una differenza di tempera-tura σ tra mandata e ritorno dei circuiti radianti in base alle raccoman-dazioni riportate in letteratura; in questo caso prendiamo (anche in base a considerazioni sulla potenza specifica erogata):

4.3 Dimensionamento del sistema 217

L’abbinamento della temperatura di mandata a σ determina la potenza specifica che il sistema in esame pu`o emettere2.(in questo caso, poich`e non si tratta di un sistema standardizzato dalla norma di riferimento, calcoliamo tale potenza tramite una simulazione agli elementi finiti).

La portata necessaria risulta quindi (utilizzando la nomenclatura ripor-tata nel paragrafo 2.5.1, analoga a quella utilizzata dalla normativa UNI EN 1264): mH = Sq σcW  1 + R0 Ru + θi− θs qRu  (4.18)

Tramite la portata `e possibile calcolare le perdite di carico nei circuiti e deciderne di conseguenza il numero necessario affinch`e non si superi una certa caduta di pressione al collettore di distribuzione (in ogni caso la lunghezza di un singolo circuito rimane entro i 100 m).