Capitolo 4 Il codice di calcolo SQUIRT 2.3 ed il programma TWCC.

Capitolo 4

Il codice di calcolo SQUIRT 2.3 ed il programma TWCC.

4.1 Il codice di calcolo SQUIRT 2.3.

4.1.1 Introduzione.

Il codice di calcolo SQUIRT 2.3 è stato sviluppato presso il Battelle Institute, Columbus, USA da D. D. Paul, N. Ghadiali, S. Rahman, P. Krishnaswamy e G. Wilkowski nell’ambito del programma di ricerca Short Cracks in Piping and Piping Welds sponsorizzato dall’ente regolatore americano USNRC.

Il codice SQUIRT (Seepage Quantification of Upsets In Reactor Tubes), è in grado di predire le portate di efflusso che si hanno attraverso fessure passanti circonferenziali (TWC) ed i valori del Crack Opening Displacement (COD) al variare delle condizioni di carico applicate alla tubazione.

Dato che il codice è stato sviluppato per applicazioni a sistemi di tubazioni di LWRs, il fluido considerato è acqua. Essa può trovarsi in condizioni di saturazione o di sottorafreddamento.

Il codice SQUIRT è stato ottenuto tramite la Banca Dati dell’ente francese NEA.

4.1.2 Modelli implementati nel codice SQUIRT.

L’attività di revisione svolta da Paul et al [1] relativamente ai modelli termofluidodinamici (TFD) disponibili in letteratura, ha indicato che il modello di portata critica di Henry-Fauske fornisce le previsioni migliori per l’efflusso di fluido attraverso fessure sottili. Questo modello, infatti, tiene conto del fatto che, durante la fese di efflusso dell’acqua, la produzione di vapore avviene in condizioni di non-equilibrio termico. Per una trattazione dettagliata delle equazioni utilizzate dal modello si rimanda al Capitolo 2.

Le previsioni del modello TFD di SQUIRT, sono state confrontate con i dati sperimentali ricavati da Collier et al. [4], Amos e Shock [5] e Yano et al. [6] nelle

loro attività sperimentali su efflussi bifase attraverso fessure sottili (fessure con COD<0.15 mm).Come mostrano i risultati esposti in Figura 4.1, Figura 4.2 e Figura 4.3, SQUIRT tende a sottostimare i dati ottenuti sperimentalmente per la portata di efflusso. Tuttavia, dal punto di vista del Leak Before Break, tale condizione risulta cautelativa. Nelle analisi di LBB, infatti, la portata di efflusso è imposta, per cui si otterranno valori più elevati della lunghezza.

Figura 4.1 Confronto tra i valori di portata predetti dal modello TFD di SQUIRT e i dati sperimentali di Collier et al. per efflussi attraverso fessure sottili [3].

(a) Galloni al minuto per acqua ad 1 atm e 20 °C.

(b) [(Portata predetta-Portata misurata)/Portata misurata]·100

Figura 4.2 Confronto tra i valori di portata predetti dal modello TFD di SQUIRT e i dati sperimentali di Amos e Shrock per efflussi attraverso fessure sottili [3].

(a) Galloni al minuto per acqua ad 1 atm e 20 °C.

Figura 4.3 Confronto tra i valori di portata predetti dal modello TFD di SQUIRT e i dati sperimentali di Yano et al per efflussi attraverso fessure sottili [3].

(a) Galloni al minuto per acqua ad 1 atm e 20 °C.

(b) [(Portata predetta-Portata misurata)/Portata misurata]·100

Paul et al [1], inoltre, hanno svolto un’attività di revisione dei modelli disponibili in letteratura per il calcolo della Crack Opening Area (COA). Il loro lavoro ha mostrato che il modello elasto-plastico GE/EPRI (Capitolo 3) abbinato all’ipotesi di profilo ellittico della fessura, fornisce risultati accurati del valore della COA per fessure localizzate nel metallo base della tubazione. Per fessure poste in prossimità di giunti saldati, invece, si ottengono risultati più accurati per la COA utilizzando modelli di meccanica della frattura lineare elastica (LEFM), anziché modelli di meccanica della frattura elasto-plastica (EPFM).

Queste indicazioni sono state ottenute confrontando i risultati forniti dai modelli matematici con i dati resi disponibili da attività sperimentali ed analisi agli elementi finiti [2].

4.1.3 Funzioni svolte dal codice SQUIRT.

Il codice SQUIRT si compone di quattro moduli (Tabella 4.1).

Il modulo SQUIRT1, data la lunghezza iniziale della fessura passante, permette di calcolare il Center Crack Opening Displacement (COD) e l’accrescimento della fessura in funzione del carico applicato alla tubazione.

Il modulo SQUIRT2, date le dimensioni della fessura (lunghezza e COD), permette di calcolare la portata di efflusso attraverso la TWC.

Nome del

Modulo

Funzione

SQUIRT1 Data la lunghezza iniziale della fessura calcola il COD e l’accrescimento _{della fessura in funzione del carico applicato alla tubazione.}

SQUIRT2 Data le dimensioni della fessura calcola la portata di efflusso.

SQUIRT3 Data la portata di efflusso e la lunghezza iniziale della fessura calcola il _{COD ed il carico applicato alla tubazione.}

SQUIRT4

Data la portata di efflusso ed il carico applicato alla tubazione calcola la lunghezza della fessura ed il COD. È necessario specificare una lunghezza iniziale per la fessura.

Tabella 4.1 Funzioni svolte dal codice SQUIRT [3].

Il modulo SQUIRT3, data la lunghezza iniziale della fessura ed imposta la portata di efflusso, permette di calcolare il COD ed i carichi applicati alla tubazione.

Il modulo SQUIRT4, date le condizioni di carico applicate alla tubazione ed imposta la portata di efflusso permette di calcolare il COD e la lunghezza della fessura.

Quest’ultimo modulo, è stato sviluppato appositamente per effettuare analisi di LBB. La prima fase di tale analisi, infatti, richiede di calcolare la dimensione rilevabile della fessura (DLC) che in condizioni di carico normali di esercizio causa un efflusso di fluido attraverso lo spessore della tubazione pari a 38 l/min.

In questo lavoro di Tesi, perciò, si è fatto uso esclusivamente del modulo SQUIRT4. Di seguito si riportano i dati di input necessari a SQUIRT4 per effettuare il calcolo della DLC:

• Tipo di carico applicato alla tubazione (momento flettente, pressione interna, carico assiale di trazione, carico di pressione e di flessione combinati). Il carico dovuto alla pressione interna è sempre convertito in un carico di trazione assiale; • Modello di calcolo del COD e di J da utilizzare (GE/EPRI od LBB.ENG2); • Geometria della tubazione (diametro esterno e spessore);

• Intensità dei carichi applicati alla tubazione;

• Valore iniziale di tentativo per la lunghezza della fessura; • Portata di efflusso imposta attraverso la fessura;

• Proprietà meccaniche del materiale (tensione di snervamento, tensione di rottura, tensione di collasso, parametri della curva RO);

• Profilo della fessura (rettangolare, ellittico, a diamante)

• Proprietà morfologiche della fessura (rugosità superficiale e velocity heads perse per unità di lunghezza della fessura);

• Condizioni di stato del fluido di stagnazione (pressione, temperatura o titolo).

4.1.4 Metodo numerico di soluzione delle equazioni del modulo SQUIRT4.

Il modulo SQUIRT4 dispone di un set di tre equazioni che devono essere risolte simultaneamente per ottenere i valori del COD e della lunghezza della fessura.

Tali equazioni sono costituite dall’equazione di Henry-Fauske per il calcolo del flusso di portata critica, dall’equazione di conservazione della quantità di moto in condizioni stazionarie, e dall’equazione GE/EPRI di calcolo del COD.

L’equazione di Henry-Fauske, ha la forma seguente:

(4.1)

(

)

L’equazione di conservazione della quantità di moto ha la forma seguente:

(4.2) Ω(G_c,p_c)= p_c +∆P_e +∆P_f +∆P_aph +∆P_aa +∆P_K − p₀ =0

L’equazione GE/EPRI per il calcolo del COD ha la forma seguente:

(4.3) n T B B B T T P P ah V V E a COD _      + + ⋅ = + ' 0 2 0 ) ( 4 _{σ σ αε}

Il significato dei simboli presenti nelle equazioni (4.1), (4.2) e (4.3) è riportato nei Capitoli 2 e 3.

Il codice richiede in ingresso un valore di tentativo per la lunghezza 2a della fessura. In questo modo è possibile calcolare il COD tramite la relazione (4.3). Adesso si dispone dei dati indispensabili al calcolo del diametro idraulico del condotto (si

ipotizza che la fessura abbia forma ellittica) ed è possibile risolvere per via numerica le equazioni (4.1) e (4.2) rispetto alle incognite Gc2 e pc utilizzando il metodo iterativo di Newton-Raphson.

4.2 Il programma TWCC.

4.2.1 Introduzione.

Il programma TWCC (Through Wall Critical Crack) è un programma FORTRAN sviluppato nel corso di questa attività di Tesi per effettuare le analisi di stabilità di tubazioni con fessure circonferenziali (se ne riporta il sorgente in Appendice D).

4.2.2 Modelli implementati nel programma TWCC.

Per effettuare un’analisi di stabilità è necessario disporre di un modello di calcolo dell’integrale J. Questo parametro, infatti, misura l’energia liberata durante il processo di frattura del materiale e può essere utilizzato, quindi, per stabilire le modalità di avanzamento della fessura.

Nella ricerca bibliografica svolta (Capitolo 3) sono stati acquisiti cinque modelli di calcolo dell’integrale J: GE/EPRI, LBB.ENG2, LBB.ENG3, Paris/Tada, ERS.

I modelli LBB.ENG2, LBB.ENG3 e Paris/Tada, sono in grado di fornire risultati di J solamente per condizioni di carico di flessione semplice, mentre GE/EPRI ed ERS permettono il calcolo di J anche per condizioni di carico di trazione e flessione combinate. Nelle analisi di LBB è necessario tener conto di carichi di trazione e di flessione che agiscono simultaneamente sulla tubazione, per cui l’attività di studio è stata focalizzata principalmente sugli ultimi due modelli.

Kim et al. [7], hanno confrontato i risultati di J forniti dal modello GE/EPRI e dal modello ERS con quelli ricavati da analisi agli elementi finiti, mostrando che il metodo ERS-Option1 è in grado di fornire risultati più accurati per l’integrale J. Per questo motivo nel programma TWCC è stata implementata l’equazione di J del modello ERS-Option 1: (4.4)

[

]

[

(

)

]

{

}

Il significato dei simboli presenti nell’ equazione (4.4) è riportato al paragrafo 3.5.3.5.

Inoltre, la condizione di instabilità è definita dal criterio J/T illustrato al paragrafo 3.1.4.

4.2.3 Funzioni svolte dal programma TWCC.

Il programma TWCC permette di calcolare le seguenti grandezze:

• intensità del carico applicato alla tubazione per cui si verifica l’inizio del processo di frattura (carico di inizio frattura);

• intensità del carico applicato alla tubazione per cui si verifica la propagazione instabile della fessura (carico critico);

• variazione della lunghezza della fessura durante la fase di accrescimento stabile. Al programma devono essere forniti i seguenti dati di input:

• le proprietà meccaniche del materiale (modulo di Young, tensione di snervamento e tensione di rottura);

• le proprietà di tenacità del materiale (parametri della curva JR); • la geometria della tubazione (diametro esterno e spessore); • la lunghezza iniziale della fessura;

• il carico di trazione applicato alla tubazione.

4.2.4 Diagramma di flusso del programma TWCC.

La Figura 4.4, riporta il diagramma di flusso del programma TWCC. I primi blocchi mostrano i dati di input che devono essere forniti al programma: proprietà del materiale (modulo di Young E, tensione di snervamento sigmay, tensione di rottura sigmau, tenacità di inizio frattura JIc e parametri C ed m della curva di tenacità), geometria della tubazione (diametro esterno Dout e spessore t), tensione flessionale sigmab alla fibra esterna della tubazione e lunghezza LDC della fessura passante. Questi dati vengono elaborati per determinare l’intensità del carico di trazione P e del momento flettente M applicati alla tubazione.

Al passo successivo si calcola il valore dell’integrale J per la tubazione soggetta ai carichi P ed M. Questa operazione si effettua richiamando la funzione CalcJ.

Dal blocco seguente ha inizio la procedura di calcolo del momento flettente di inizio frattura Minizio. Per calcolare Minizio si utilizza il metodo numerico di bisezione. Minizio, infatti, è lo zero della funzione Jin-JIc=0 dove Jin è il valore dell’integrale J calcolato al carico Min e JIc è la tenacità di inizio frattura del materiale.

Il metodo di bisezione richiede di definire un intervallo [a,b] tale che la generica funzione f(x) verifichi la relazione f(a)·f(b)<0.

Nel caso in esame, tale intervallo è individuato ricorrendo ad un procedimento iterativo che ad ogni passo incrementa il carico Min della quantità inc. L’estremo inferiore dell’intervallo si ottiene uguagliando a all’ultimo valore del carico Min che verifica la condizione Jin-JIc<0; l’estremo superiore dell’intervallo si ottiene uguagliando b al primo valore del carico Min che verifica la condizione Jin-JIc>0. La procedura di calcolo del carico critico, ha inizio dal primo blocco della colonna destra di Figura 4.4. La condizione di instabilità si verifica nel momento in cui le curve J=f(M, a+∆a) e JR=f(∆a) sono tangenti (Figura 4.5).

Il programma TWCC calcola il carico di instabilità tramite due cicli iterativi do annidati uno nell’altro. Il ciclo esterno incrementa il valore del carico applicato Mcrescita della quantità deltacarico, mentre quello interno incrementa la lunghezza della fessura della quantità deltaa.

Figura 4.5 Andamento della curva J al variare della lunghezza della fessura e della sollecitazione applicata alla tubazione [8].

Il programma esce da questo doppio ciclo nel momento in cui il ciclo interno ha compiuto tutte le iterazioni disponibili. Ciò significa che J è maggiore di JR per qualsiasi ∆a e quindi il carico Mcrescita è più elevato del carico critico (Figura 4.5). A questo punto si diminuisce il valore degli incrementi deltacarico e deltaa e si rientra nel doppio do. Questa operazione permette di definire in modo sempre più accurata l’intensità del carico critico. Il procedimento è interrotto nel momento in cui l’incremento del carico deltacarico diventa<1.

Bibliografia.

[1] Paul D. et al., “Evaluation of Leak Rate Estimation Methodology”, Unpublished IPIRG Report, 1987.

[2] Wilkowski G. et al., “Degraded Piping Program-Phase II”, NUREG/CR-4082, Final and Semiannual Reports, Vols 1-8, U. S. Nuclear Regulatory

Commission, Washington D. C., 1985-1989.

[3] Paul D. D., Ghadiali N., Rahman S., Krishnaswamy P., Wilkowski G.,

SQUIRT 2.3 (Seepage Quantification of Upsets In Reactor Tubes), Battelle Institute, Columbus, 1984.

[4] R. P. Collier, F. B. Stulen, M. E. Mayfield, D. B. pape, P. M. Scott, Two-Phase Flow Through Intergranular Stress Corrosion Cracks and Resulting Acoustic Emission. EPRI Report No. NP-3540-LD, 1984.

[5] C. N. Amos, V. E. Schrock, Two-Phase Critical Flow in Slits. Nuclear Science and Engineering: 88, 261-274, 1984.

[6] T. Yano, E. Matsushima, A. Okamoto, Experimental Study of Leak Flow Through Analytical Slits. SMiRT-9, 1987.

[7] Kim Y. J., Huh N. S., Kim Y. J., “Refernce stress based elastic-plastic fracture analysis for circumferential through-wall cracked pipes under combined tension and bending”, Engineering Fracture Mechanics, 2002: 69, 367-388.

[8] Broek D., The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 1989.