ASINTOTI
Per asintoti di una funzione intenderemo delle particolari rette a cui la funzione tende all'infinito.
Classificheremo gli asintoti in:
ASINTOTI VERTICALI ASINTOTI ORIZZONTALI ASINTOTI OBLIQUI
Condizione necessaria e sufficiente :
b) ASINTOTO ORIZZONTALE di equazione
Condizione necessaria e sufficiente : x0
x=
∞
→ ( )= lim
0
x f
x x
y = l
l x f
x =
∞
→ ( )
lim
y = l
x
0x =
INDICE
a) ASINTOTI VERTICALI
Gli asintoti verticali di una funzione vanno ricercati nei punti in cui la funzione non è definita ma che sono di accumulazione per il dominio. Hanno equazione
c) ASINTOTO OBLIQUO : di equazione
Condizione necessaria
Condizione sufficiente m e q valori numerici finiti con
Nota: E' evidente il fatto che la presenza di asintoti orizzontali esclude automaticamente la presenza di asintoti obliqui.
y = mx + q
∞
∞ =
→ ( )
lim f x
x
m≠0
x x m f
x
) lim→∞ (
= q f x mx
x −
= lim→∞ ( )
y= mx+q
ESERCIZI SUGLI ASINTOTI DELLE SEGUENTI FUNZIONI
Esercizi della 2°lezione dello Stdio di Funzoni
( )
xx x x
f =2 − 2 −4
( )
x x x x
f 2
1 9 3 − 2 +
=
( )
3 2
2 3 +
+
= − x
x x x
f f
( )
x = x−1⋅ex1−1( )
x =2x−ln(
x−2)
f
( )
x =2x−ln(
x−2)
f
( )
x =2x−ln(
x−2)
f
( )
x =2x−ln(
x−2)
f
( )
x x x
f 2
2
3 3 −
=
( )
2 3
1
2 − +
= −
x x x x f
( )
3 22
2 2 3
− +
−
= −
x x
kx x x
f
( )
kx x
kx x kx
f 3
2 2
2 −
= −
( )
x x x xf =− − 2 −2
3
Determinare gli asintoti delle seguenti funzioni :
1.
( )
4 3 1 2 lim 1 4
2 lim
1 4 2
lim 1 4
2 4 lim
lim 2
2 2
2 2
2 2
=
−
→−∞ +
=
+ −
→−∞
−
−
−
= →−∞
−
−
= →−∞
−
→−∞ −
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
4 1 1 2 lim 1 4
2 lim
1 4 2
lim 1 4
2 4 lim
lim 2
2 2
2 2
2 2
=
−
→+∞ −
=
− −
→+∞
−
−
= →+∞
−
−
= →+∞
−
−
→+∞
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
e quindi y =3 , y=1 asintoti orizzontali . 2
, 2
: x≤− x≥+ D
( )
xx x x
f =2 − 2 −4
2.
( )
2 3 12 9 3 2 lim
9 1 3 lim
2 9 1 3
2 lim 9 1 3
2 lim 1 9 lim 3
2
2 2
2 2
= +
+
= →−∞
+ +
→−∞
+
−
−
= →−∞
+
−
= →−∞
+
→−∞ −
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
2 0 2 9 1 3 2 lim
9 1 3 lim
2 9 1 3
2 lim 9 1 3
2 lim 1 9 lim 3
2
2 2
2 2
= +
−
= →+∞
− +
→+∞
+
−
= →+∞
+
−
= →+∞
+
−
→+∞
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
e quindi y =3 , y=0 asintoti orizzontali .
∞ + =
−
→ x
x x
x 2
1 9 3
lim0 2
e quindi x=0 asintoto verticale .
( )
xx x x
f 2
1 9 3 − 2 +
=
0 : x≠ D
INDICE ESERCIZI
3.
3 1 1
2 1 3
lim
1 3 2 1 3
3 lim 2 lim 3
1 3
2 lim 3
2
2
2 2
2 2 2
=
+
− +
∞
→
+
− +
∞
= → +
+
∞ −
= → + ⋅
+
∞ −
= →
x x x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x m x
3 6 1
6 2 3 lim
1 6 2 lim
3 2 lim 6
3 3 2
lim 3 3
2
lim 2 3 2 2
−
=
+
− +
∞
= →
+
− +
∞
→
+ +
∞ −
= → +
−
− +
∞ −
= → + −
+
∞ −
= →
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x q x
∞ + =
+
−
→− 3
2 3 lim3 2
x x x x
e quindi y = x−6 , x=−3 asintoti obliquo e verticale .
( )
32
2 3 +
+
= − x
x x x
f
3 : x≠− D
4.
(
1)
0lim1 1
1
=
⋅
− −
→
−
ex
x x
( ) ( )
( )
∞ + + =
⇒ →
− −
− ⋅
−
→ +
=
−
→ +
=
⋅ + −
→
−
−
− − 1
1
lim1 1
1 1 1
lim1 1
1 1 lim 1 1
lim
2 1 1
1 2 1
1 1
ex
x x
e x
x H x
e x
e x x
x x x
(
1)
lim 1 lim 1lim 1 11
1
+∞ =
⋅ → +∞ −
= →
⋅ +∞ −
= → x− ex−
x x x x x
e x m x
( )
( )
(
1)
1 1 0lim 1
1 1 1 lim
1 1 1 lim
1
lim 1
lim 1
lim
11
2 1 1
1 2 1
11 11
11 11
2
2 ⋅ = − + =
+∞ − + →
−
⇒
−
− ⋅
− +∞
+ →
−
− = +∞
+ →
−
=
+∞ − + →
−
=
−
− +∞ ⋅
= →
−
⋅ +∞ −
= →
−
−
−
−
−
−
−
x
x x
x x
x x
e x
x x
x e x
H x x
e q x
x x xe
x e e x x
x e x x
q
( )
x = x−1⋅ex1−1f
1 : x≠ D
INDICE ESERCIZI
(
1)
lim 1 lim 1lim 1 11
1
−
−∞ =
⋅ →
−∞ −
= →
⋅
−∞ −
= → x− ex−
x x x x x
e x m x
( )
( )
(
1)
1 1 0lim 1
1 1 1 lim
1 1 1 lim
1
lim 1
lim 1
lim
11
2 1 1
1 2 1
11 11
11 11
2
2 ⋅ = + − =
−∞ −
− → +
⇒
−
− ⋅
−
−∞
− → +
− =
−∞
− → +
=
−∞ −
− → +
= + +
⋅
−∞ −
= → +
⋅
−∞ −
= →
−
−
−
−
−
−
−
x
x x
x x
x x
e x
x x
x e x
H x x
e q x
x x xe
x e e x x
x e x x
q
e quindi y = x , x=−3 asintoti obliquo e verticale .
5.
( ) ( ) ( )
∞ +
=
− +∞
− →
→+∞ ⋅
⇒
− −
⋅ →+∞
= →+∞
− −
= →+∞
−
→+∞ −
12 1 lim 2
lim
2 2 ln
lim 2 lim
2 ln lim
2 ln 2 lim
x x
H x x
x x x x
x x x x
x x x x
( )
x =2x−ln(
x−2)
f
2 : x>
D
( ) ( ) ( )
12 2 1 lim 2
2 lim ln
2 2 lim
2 ln 2 lim
ln lim 2
+
− = + →+∞
⇒
→+∞ −
→+∞ −
=
− −
= →+∞
−
→+∞ −
=
x Hx
x x x
x x x x x
x x m x
(
−)
− = →+∞(
−)
= +∞→+∞ −
= lim 2 ln 2 2 lim ln x 2 x x
x x x
q
(
−)
= −∞+ −
→ 2 ln 2
lim2 x x
x
e quindi x =2 asintoto verticale .
6.
∞
− =
→ x
x
x 2
2 lim0 3 3
2 1 2
1 2 2 lim
1 2 2 lim
lim 2
3 3
3 3
3 3 3
=
−
∞
= →
−
∞
= →
−
∞
→ x
x x
x x x x
x x x x
e quindi , 0
2
1 =
= x
y asintoti orizzontale e verticale .
( )
xx x
f 2
2
3 3 −
=
0 : x≠ D
INDICE ESERCIZI
7.
2 1 1 1 lim 2
1 2 lim 2
2 lim 2
2 2
2 2
lim 2
lim
2 2 2
2 2
2
−
=
− − −
−∞ +
= →
− − −
−∞ +
= →
− + − +
−∞ −
⇒ →
− + −
− + −
⋅
− − −
−∞
= →
−
−
−∞ −
→
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x
∞
−
=
−
− +∞ −
→ x x x
xlim 2 2
2 1 2
1 lim
1 2 2 lim
lim 2 = −
+ −
− +∞
= →
−
−
− +∞
= →
−
− +∞ −
= →
x x x x x
x x x x x
x x x m x
( )
2 1 1 1 lim 2
1 2 lim 2
2 lim 2
2 lim 2
2
2 2
lim
2 lim
2 2 lim
2 2
2 2
2
2 2
2 2
=
+ − +∞ +
= →
+ −
+∞ +
⇒ →
+ −
+∞ +
= →
+ −
+ +∞ −
= →
+ −
+ −
⋅
− −
+∞
→
∞
−
∞ +
=
− +∞ −
= → +
−
− +∞ −
= →
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x x
q
e quindi y=−1 asintoto orizzontale , y=2x+1 asintoto obliquo .
( )
x x x xf = − − 2 −2
2
; 0
: x≤ x≥
D
8.
( )( ) ( )( )
(
2)
01 lim 1
1 1 2
1 lim 1
2 1 lim 1
2 3 lim 1
2
− = +∞ −
⇒ →
−
⋅ −
−
−
− +∞
= →
−
−
− +∞
= → +
−
− +∞
→
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
(
−)(
− −)
⋅ −− = → + −(
−)
= −∞→ + + =
−
−
→ + 1 2
1 lim1
1 1 2
1 1 lim1
2 3
1 lim1
2 x x x x
x x
x x x x
x x x
(
−)(
−−)
= ∞= → +
−
−
→ 1 2
1 lim2
2 3
1 lim2
2 x x
x x x
x x x
e quindi y=0 asintoto orizzontale , x=1 , x=2 asintoti verticali .
( )
3 21
2− +
= −
x x x x f
2
; 1
: x> x≠ D
INDICE ESERCIZI
9.
Determinare per quale valore di k∈ℜ la funzione ha come asintoto y =−x.
Trattandosi di asintoto obliquo avremo :
2 1 1 3
1 2 lim
2 1 3
1 2 2 lim
3 lim 2
1 2 3 lim 2
2
2 3
3
2 3
2 3
2 2 3
−
=
− + −
−
∞
⇒ →
− + −
−
∞
= →
− +
−
∞ −
= →
− ⋅ +
−
∞ −
= →
x x x
k x
x x x
x x k
x x x x
kx x x x
x x
kx x
m x
( ) ( )
0 2
2 3 1 3
2 2 3 2 lim
3 2 2 lim 3
2 3
2 2
lim 3 2
3
2 3 lim 2
2 3 lim 2
2 2
3
2 3
2 3 2
2 3
2 2
2 3
2 3 2 3 2
2 3
=
−
+
− + −
− −
∞
= →
− +
−
−
∞ −
⇒ →
− +
−
−
∞ −
= →
− +
−
− +
−
∞ −
= →
− + +
−
∞ −
= →
x x x x
x
x x x k
x x x x
x k x
x
x x x
x kx x
x x x x
x x x kx x x x
x x
kx x q x
e quindi si può notare che qualunque valore si attribuisca a k l'asintoto obliquo è comunque verificato .
( )
3 22
2 2 3
− +
−
= −
x x
kx x x
f
2
; 1
: x≠ x≠ D
10.
Determinare per quale valore di k∈ℜ la funzione ha come asintoto y =2x.
Trattandosi di asintoto obliquo avremo :
k x
x k
x k k x kx x
x
kx kx
x x kx x
kx kx
m x 2
1 3 2 2 3 lim
2 lim 2
1 3
2 lim 2
2 3
2 3
3 3 2
3 =
−
−
∞
= →
−
∞ −
= →
− ⋅
∞ −
= →
e poiché m=2 ⇒ 2k=2 ⇒ k =1
3 0 2 lim 6
3 6 2 2 lim 2
3 2 2 lim 2
2 3
2 3 3
2
3 =
−
∞ −
= →
− +
−
∞ −
= →
− −
∞ −
= →
x x x x
x
x x x x x x
x x
x x q x
per cui k =1 .
( )
x kxkx x kx
f 3
2 2
2 3
−
= −
k x x
D: ≠0 ; ≠3
INDICE ESERCIZI
