Tesi di Laurea Anno accademico 2006/2007

Tesi di Laurea

Anno accademico 2006/2007

Università degli studi di Pisa

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica

Studio di sensitività per diversi array elettrodici nella

modellazione ed inversione di misure geofisiche di

resistività elettrica (ERT).

Relatori:

Candidato:

Prof. Ing. Sami Barmada

Cecconi Riccardo

Prof. Ing. Marco Raugi

Introduzione.

La presente tesi di laurea, svolta presso il Dipartimento Sistemi Elettrici ed Automazione (DSEA) della facoltà d’Ingegneria dell’Università di Pisa in collaborazione con la Geostudi Astier SRL, ha focalizzato la sua attenzione sulle tecniche di indagine del suolo eseguite mediante la rilevazione della resistività (ρ) del terreno.

Scopo della tesi è andare ad individuare sia nella configurazioni geometriche di elettrodi superficiali che in foro le configurazioni migliori da utilizzare in funzione del contesto di misura.

Questo metodo di indagini geofisiche può avere le seguenti applicazioni:

• In campo geologico, per la ricostruzione della stratigrafia del sottosuolo, per l’identificazione di faglie e strutture tettoniche;

• In campo minerario, per individuare zone con la presenza di minerali metallici;

• Nel controllo delle discariche, per scoprire delle aeree con dispersione di materiali inquinanti;

• Nella ricerca di zone con cavità nel sottosuolo; • Nella identificazione delle falde acquifere;

• Per scopi di ricerca pedologica (studio degli apparati radicali delle piante, caratterizzazione dei terreni);

• Nel controllo della qualità delle iniezioni del materiale di consolidamento utilizzato nel consolidamento delle fondazioni degli edifici.

Per l’acquisizione delle misure sperimentali viene fatto uso di picchetti metallici (che vengono infissi nel terreno secondo un certo schema con equispaziamenti che variano generalmente da un quarto di metro fino a centinaia di metri) e di uno strumento ( ad esempio il SYSCAL PRO prodotto dalla IRIS INSTRUMENTS) che effettua misure utilizzando corrente continua e permette di acquisire i dati di Resistività Apparente del terreno e di Polarizzazione Indotta; quest’ultimo parametro rappresenta la misura del potenziale residuo susseguente l’applicazione di una corrente, la polarizzazione indotta (IP) viene chiamata anche Caricabilità.

Per quanto riguarda l’elaborazione delle misure sperimentali, viene utilizzato il software d’interpretazione per misure geofisiche ERTLAB®, sviluppato dalla Geostudi, in collaborazione con la società statunitense di indagini geofisiche Multi-Phase Technologies LLC, MPT. Tale programma, eseguibile su Personal Computer, effettua la Modellazione Diretta Bidimensionale o Tridimensionale (Two Dimensional Forward Modelling e Three Dimensional Forward Modelling) e l’inversione, sempre Bidimensionale o Tridimensionale, (Two Dimensional Reverse Modelling e Three Dimensional Reverse Modelling) delle misure sperimentali della resistività apparente e della polarizzazione indotta che sono state rilevate dallo strumento di acquisizione.

La presente tesi di laurea è articolata in cinque capitoli.

Nel primo capitolo osserveremo alcuni aspetti teorici della Tomografia a Resistività Elettrica del terreno; forniremo i valori della resistività ρ per alcuni tipi di terreni, rocce, sali e materiali da discarica; discuteremo le caratteristiche degli strumenti per la misura della resistività. Successivamente vedremo i vari schemi di misura e le configurazioni elettrodiche maggiormente utilizzate sia mediante utilizzo di elettrodi superficiali sia per quanto riguarda

gli elettrodi in foro. Passeremo in seguito a analizzare gli algoritmi risolutivi relativi alla modellazione diretta ed all’inversione dei dati di resistività elettrica.

Nel capitolo due discuteremo alcuni aspetti dello studio dell’analisi della sensitività eseguita sia su configurazioni con elettrodi superficiali che su configurazioni con elettrodi in foro.

Nel terzo capitolo analizzeremo la fase di elaborazione preliminare all’inversione dei dati attraverso un approccio statistico.

Nel capitolo quattro forniremo una descrizione delle modalità operative: le modalità di rilevazione dei dati di cantiere, discuteremo la presenza nei dati di cantiere d’eventuali valori di resistività nulli e negativi ed il loro trattamento, infine descriveremo dell’inversione dei dati, sia dopo il trattamento dei valori di ρ ≤0, che dopo un ulteriore trattamento di intersezione fra i vari set di dati relativi allo stesso cantiere.

Nel capitolo cinque tratteremo alcuni aspetti della tomografia elettrica in foro ed effettueremo l’analisi delle inversioni effettuate su rilevazioni sperimentali.

Capitolo uno.

Aspetti teorici della Tomografia a Resistività Elettrica del sottosuolo.

In questo capitolo descriveremo le caratteristiche delle tecniche d’indagine di tomografia elettrica utilizzate per la caratterizzazione della resistività elettrica del sottosuolo. Il principio di funzionamento dei metodi geolettrici consiste nell’iniezione di corrente continua nel sottosuolo e nella contemporanea lettura di tensione generata in corrispondenza di elettrodi infissi nel terreno. L’elaborazione delle misure acquisite si basa su un procedimento matematico chiamato inversione e consente di ottenere la distribuzione di resistività del sottosuolo. Per l’effettuazione delle misure si utilizzano degli strumenti multielettrodici (nell’ambito di questa tesi si è fatto uso di un georesistivimetro sviluppato dalla IRIS INSTRUMENTS). I dati ottenuti da un’indagine di cantiere, sono elaborati mediante un software di inversione per indagini geofisiche di nome ERTLAB®. Lo stesso strumento e lo stesso programma sono in grado di rilevare e processare i dati di polarizzazione indotta.

1. 1 Resistività del terreno ρ.

Le indagini geolettriche di resistività, che possono essere anche dette di conducibilità, si basano sulla risposta del terreno ad una corrente continua iniettata nel terreno, gli effetti di questa risposta sono rilevabili in superficie come misure di differenze di potenziale in

Il terreno presenta due tipi di conduzione elettrica:

1) Conducibilità di tipo elettronico: propria dei materiali conduttori, tipicamente materiali metallici, nei quali la resistività ρ aumenta all’aumentare della temperatura; e dei materiali semiconduttori nei quali a causa della presenza delle lacune che limitano il movimento degli elettroni la resistività diminuisce con l’aumentare della temperatura del materiale, i valori tipici della resistività di questa classe di materiali è dell’ordine di

m ⋅ Ω ÷ − −5 6 10 10 .

2) Conducibilità di tipo ionico: propria dei materiali dielettrici, con valori di ρ dell’ordine di 105 ÷108 Ω⋅m.

In generale il sottosuolo, eccetto che per i distretti minerari che sono composto da materiali conduttori come minerali metallici o solfuri, è composto in grandissima parte da minerali dielettrici come i Silicati, ma anche Carbonati oppure Solfati. In conseguenza di ciò le rocce sarebbero dei mezzi a resistività praticamente infinita, nella realtà tutto questo non avviene perché nelle rocce abbiamo la presenza di porosità e fratturazioni, le quali possono essere parzialmente o totalmente saturate da dei fluidi come aria, acqua, idrocarburi od altri percolati (liquidi inquinanti dispersi dalle discariche). Nella maggior parte dei casi il fluido di saturazione presente è l’acqua, la quale contiene ioni e sali; la resistività dell’acqua dipende da vari parametri, ad esempio la concentrazione salina e la temperatura; se per esempio viene analizzato il caso della temperatura, osserviamo che all’aumentare di essa aumenta la dissociazione ionica dei sali, e quindi diminuisce la resistività della soluzione. Tradotto in una formulazione matematica abbiamo:

5

.

21

5

.

21

2 1 1 2

+

+

=

T

T

ρ

ρ

.

0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Temperatura °C R e s is ti v it à o h m *m

Figura 1. 1. Variazioni della resistività in funzione della temperatura per acqua dolce con resistività alla temperatura di 25 °C pari a 10 Ω⋅m.

Nella tabella sottoriportata vengono forniti i valori di resistività per alcuni tipi di rocce, terreni, minerali ed altri materiali.

Mezzo Resistività Ω⋅m

Rocce ignee 2 7

10

10 ÷ (Valori più bassi per rocce più fratturate)

Calcari 2 4

10

10 ÷ (Valori più bassi per rocce più fratturate) Sabbie e terreni alluvionali 3

10

10÷ In acqua dolce(variazioni di uno o due ordini di grandezza in acqua salata)

Acqua dolce 10÷100

Acqua salmastra Circa 1

Acqua marina 0,2 Marne 20 Argille 1÷100 Rame (nativo) 7 10 2⋅ −

Ferro 8 10 074 . 9 ⋅ − KCl (Cloruro di Potassio) 0,708

NaCl (Cloruro di Sodio) 0,843

NH4Cl (Acido Acetico) 6,13 Marmo 2 8 10 5 . 2 10 ÷ ⋅ Altri metalli 6 8 10 10− ÷ − Xilene 6 10 998 . 6 ⋅ Rifiuti domestici 12÷30 Fanghi industriali 40÷200 Olio esausto 150÷700

Tabella 1. 1 Intervalli tipici di resistività di terreni, rocce e di materiali di discarica (da Telford 1990, Loke

1999 e provincia di Milano 2003).

1. 1. 1 Misura della resistività del sottosuolo.

Gli studi geolettrici di resistività in corrente continua (di seguito indicata DC), sono fondati sulla risposta del terreno che viene provocata da un’iniezione di corrente nel terreno, detti effetti sono rilevabili sia in superficie che in pozzo attraverso misure di differenza di potenziale.

Nella maggior parte dei casi la misura della resistività viene eseguita utilizzando dei dispositivi che possiamo ricondurre ad uno schema configurativo a quadripolo, ciò viene effettuato per rendere trascurabili gli effetti delle resistenze di contatto fra terreno ed elettrodi, in quanto non potendo sapere il valore di dette resistenze, se utilizzassimo un metodo di

rilevamento a due poli, cioè rilevando la tensione sugli stessi poli su cui iniettiamo la corrente ci troveremo ad avere un valore di tensione alterato. Attraverso due elettrodi, generalmente indicati con le lettere A e B, viene iniettata nel terreno una corrente continua I di valore noto, ed attraverso altri due elettrodi denominati M e N, effettuiamo la misura delle differenze di potenziale ∆V, prodotta dalla corrente I tra i punti del suolo nel quale sono situati gli elettrodi M e N.

A

B

M

N

V

I

r1

r2

r3

r4

Figura 1. 2 Configurazione generica degli elettrodi.

Se ipotizziamo che il sottosuolo sia omogeneo ed isotropo, la sua relativa resistività ρ verrebbe calcolata per mezzo della seguente espressione:

m I V K ∆ Ω⋅ = ρ RESISTIVITÁ APPARENTE

dove il fattore K, vedi Cardarelli (2006), è detto fattore geometrico, esso è funzione soltanto della posizione reciproca fra gli elettrodi (vedi figura 1.2):

4 3 2 1 1 1 1 1 2 r r r r K − − − = π FATTORE GEOMETRICO

Se, come nella maggior parte dei casi accade, il terreno presenta delle disomogeneità, la differenza di potenziale ∆V è funzione, oltre che della distanza fra gli elettrodi, anche della composizione chimico fisica del terreno; di conseguenza il valore di ρ, calcolato attraverso le espressioni sopra scritte, non coincide più con il valore di resistività di uno dei mezzi presenti, ma è funzione della resistività e della posizione assunta dai mezzi stessi presenti nel terreno. Variando la posizione degli elettrodi rispetto ai mezzi che risultano presenti nel terreno in esame varia la resistività apparente, indicando la presenza dei vari mezzi. Nel seguito con la resistività apparente ρa indicheremo il risultato del calcolo delle sopracitate formule.

1.2 Configurazione elettrodiche di misura.

1.2.1 Configurazioni di superficie.

Le misure geolettriche di resistività possono essere effettuate sia con procedure di superficie che venire eseguite in foro.

Le configurazione elettrodiche utilizzabili sono molte, ma nella pratica vengono utilizzate soltanto alcune configurazioni standardizzate. Esse sono così denominate:

Configurazione Wenner;

Configurazione Schlumberger;

Configurazione polo-dipolo;

Configurazione polo-polo.

Nella sottostante figura 1. 4 sono riportati gli schemi elettrici relativi alle varie configurazioni degli elettrodi sopra citate. Gli elettrodi denominati A e B sono gli elettrodi di corrente, e gli elettrodi M e N sono quelli di tensione, con la lettera minuscola a si indica la distanza fra elettrodi adiacenti (che viene chiamato anche passo elettrodico) con la lettera n viene indicato di quanti multipli viene moltiplicato il passo elettrodico a (anche se in teoria il parametro n può assumere valori appartenenti ai numeri reali, nella pratica viene fatto in modo tale che esso possa assumere soltanto valori interi).

A

M

N

B

I

V

a

a

a

I

A

B

M

N

V

a

na

a

Figura 1. 4a. Configurazioni Wenner e Dipolo-Dipolo.

A

M

N

B

I

V

na

a

na

_A

_B

_M

_N

I

V

infinito

a

a

Figura 1. 4b. Configurazioni Schlumberger e Polo-Dipolo.

A

B

I

infinito

a

V

infinito

M

N

Figura 2. 4c. Configurazione Polo-Polo.

Nella sottostante tabella sono stati riassunti i coefficienti geometrici per le varie configurazioni standard. Configurazione K Wenner 2π⋅a Dipolo-Dipolo n

(

n+1

)(

n+2

)

π

⋅a Schlumberger n

(

n+1

)

π

⋅a Polo-Dipolo 2n

(

n+1

)

π

⋅a Polo-polo 2π⋅a

Tabella 1. 2. Coefficienti geometrici per alcune delle configurazioni elettrodiche più utilizzate.

La configurazione Wenner avendo gli elettrodi di tensione interni a quelli di corrente risulta, a parità di condizioni, la più robusta, dato che assicura un segnale di tensione ∆V maggiore e quindi risulta la meno sensibile al rumore ambientale. Questo è dovuto al fattore geometrico K che per la configurazione Wenner è il più piccolo possibile.

Nella figura sottostante riportiamo, a puro titolo di esempio, la schematizzazione di una misura eseguita in superficie da Vogelsang, 1994.

Figura 1. 5 Schematizzazione di una rilevazione (Vogelsang, 1994).

Questo tipo di indagini porta a destinare all’esecuzione delle misure di un gran numero di elettrodi, tipicamente 24, 48, 96 o più, con passi a che vanno da qualche decina di centimetri od anche decine di metri, ed addirittura anche centinaia di metri. È di elementare intuizione che, passi più piccoli garantiscono un’indagine del terreno sottostante dotata di maggiore accuratezza, ma diminuiscono sia la superficie sottoposta ad indagine che la profondità a cui essa può essere spinta.

Nelle prove di cantiere effettuate, come illustrato nella sottostante figura 2. 6, gli elettrodi vengono collegati, attraverso dei morsetti, ad un cavo multianima, che a sua volta li collega ad

un georesistivimetro denominato SYSCAL PRO, di produzione IRIS INSTRUMENTS, tale strumento provvederà a selezionare in maniera automatica, seguendo un’apposita sequenza precaricata e programmata con ERTLAB Sequencer, gli elettrodi da utilizzare per le varie configurazioni possibili, e provvederà a memorizzare le misure effettuate. Tale strumento viene alimentato da una batteria esterna, generalmente un accumulatore al piombo del tipo per autotrazione con tensione ai morsetti pari a 12 V, dato che può arrivare a produrre una tensione di circa 400 V ed una corrente continua di alcuni Ampere, valore quest’ultimo (I) impostato dall’operatore.

Figura 1. 6 Foto dell’attrezzatura di misura.

Nella sottostante figura sono raffigurate tutte le possibili misurazioni, per la configurazione elettrodica di Wenner, di un sistema a 20 elettrodi. Per la prima misurazione sono stati utilizzati gli elettrodi 1, 2, 3 e 4; osserviamo che nella notazione di figura l’elettrodo C1

equivale all’elettrodo A della nostra notazione, l’elettrodo C2 equivale all’elettrodo B mentre gli elettrodi P1 e P2 equivalgono agli elettrodi M e N. Per convenzione, ipotizzando di operare su di un terreno omogeneo ed isotropo, indichiamo come baricentro del quadrato elementare di cui riusciamo ad ottenere le varie informazioni, il punto che è situato sull’intersezione delle

semirette, che partono dagli elettrodi di potenziale con una pendenza di 4 π

radianti orientate

verso il centro dell’ordinamento degli elettrodi (in pratica riusciamo ad ottenere la resistività e l’eventuale polarizzazione indotta del punto numero 1 della figura 2. 7). Aumentando la distanza fra gli elettrodi di potenziale individuiamo la resistività e la Caricabilità dei punti situati più in profondità.

Proseguendo con l’uso degli elettrodi 2, 3, 4 e 5 e cosi via fino agli elettrodi 17, 18, 19 e 20 possiamo individuare tutti i punti del primo strato (n=1, punti da numero 1 al numero 17). Per il secondo strato (n =2, punti dal numero 18 al numero 31) la configurazione assumerà una doppia spaziatura (dagli elettrodi 1, 3, 5 e 7 agli elettrodi 14, 16, 18 e 20), lo stesso verrà effettuato per tutti gli altri quattro strati disponibili (n=3, punti dal numero 32 al numero 42,

4 =

n , punti dal 43 al 50; n=5, punti dal 51 al 55, n=6, punto 56 e punto 57).

Per un indagine tridimensionale (3D) si faranno le stesse operazioni, ma con elettrodi e cavi disposti su più linee, in modo da far eseguire allo strumento tutte le possibili combinazioni elettrodiche.

Una volta che sono state rilevate tutte queste misure, possiamo ricostruire la pseudosezione delle resistività apparenti (ρa). La pseudosezione è un modo convenzionale di rappresentare le misure, questo metodo ci permette di visualizzare in maniera grafica, mediante l’utilizzo di vari colori, come sono disposte e che range di valori assumono le resistività apparenti che abbiamo rilevato, permette di visualizzare oltretutto, mediante l’utilizzo del colore nero, se vi sono dei valori di resistività apparenti che non hanno significato fisico

(

ρ

_a <0

)

, detti valori

andranno eliminati dai set di dati prima del procedimento di inversione, come può essere compreso la pseudosezione non riveste nessun significato fisico.

Una volta ricostruita la pseudosezione possiamo eseguire il procedimento di inversione delle grandezze misurate, al fine di ottenere la migliore ricostruzione possibile del terreno sottostante.

Figura 1. 7. Disposizione degli elettrodi per un'indagine 2D e sequenze di misurazioni usate per costruire la pseudosezione (Loke, 1999).

1.2.2 Configurazioni in foro.

Quando l’elettrodo trasmettitore della corrente risulta collocato in profondità nel terreno la corrente uscente da esso fluisce in maniera radiale ed il potenziale elettrico assume delle superfici equipotenziali di forma sferica, nell’avvicinarsi alla superficie le linee di corrente e le superfici equipotenziali subiscono una distorsione in particolar modo nella regione di semispazio più vicina alla superficie, una volta arrivati in superficie le linee di corrente

tornano ad essere radiali ma interessano soltanto la porzione sottostante alla superficie (cioè in aria non si hanno linee di corrente) e le superfici equipotenziali assumono una forma semisferica che interessa soltanto il terreno.

La sottostante figura illustra quanto appena spiegato.

-1.0 0.0 1.0 -1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 50 25 20 15 10 5

d)

50 25 20 15 10 5

c)

40 25 20 15 10 5

b)

40 10 15 20 5

a)

Figura 1. 3. Flusso di corrente (linee con frecce) e superfici equipotenziali per elettrodo in varie posizioni, a) elettrodo situato a 2 m di profondità, b) elettrodo ad 1 m di profondità, c) elettrodo a mezzo metro di profondità, d) elettrodo superficiale.

Nelle misure che verranno eseguite in foro verranno praticati un certo numero di fori nel terreno che deve essere sottoposto ad indagine, ed in essi verranno posizionati una serie di elettrodi equispaziati fra loro per ogni singolo foro. In questo caso le configurazioni che

comunemente vengono utilizzate sono: la configurazione dipolo-dipolo, la polo-polo e la polo-dipolo. Con le tre configurazioni menzionate possiamo avere che gli elettrodi di corrente e quelli di potenziale sono posizionati nello stesso foro, sia che si abbiano gli elettrodi di corrente in un foro mentre gli elettrodi per la rilevazione del potenziale sono posizionati in un altro foro, per la configurazione dipolo-dipolo possiamo avere anche il caso in cui gli elettrodi di corrente sono localizzati in foro e quelli di tensione sono di tipo superficiale. La sottostanti figure illustrano quanto appena detto, in dette oltre ad avere indicato gli elettrodi di corrente con le lettere A e B e gli elettrodi di tensione con le lettere M e N, gli elettrodi di corrente sono stati resi più evidenti mediante l’utilizzo della freccia.

Figura 1. 9 configurazioni polo-dipolo e polo-polo per rilevamento in foro (da SAGEEP 2005 ERT Course Notes).

Anche se è possibile la configurazione dipolo dipolo verticale con trasmettitore e ricevitore su cavo comune, vedi figura 1.8b primo schema, essa non viene utilizzata in quanto a causa della simmetria cilindrica che è presente, anche se è rilevabile una zona a resistività di valore diverso da quella del restante dominio di misura essa non risulta localizzabile sugli assi X e Y ma possiamo stabilire soltanto a quale profondità essa si trova.

1. 3 Teoria ed algoritmi risolutivi (Modellazione Diretta ed Inversa).

Gli algoritmi risolutivi procedono in maniera iterativa e si articolano in due parti, una modellazione diretta da modello sintetico, ed un inversione.

1. 3. 1 Modellazione Diretta.

La tecnica della modellazione diretta, anche chiamata, dalla lingua inglese, Forward Modelling, cerca di ricavare una soluzione all’equazione differenziale, detta equazione di Poisson, che regola il flusso di una corrente elettrica iniettata nel terreno, mediante questa equazione, se è conosciuta la distribuzione spaziale delle resistività, possiamo calcolare il potenziale che si potrà ottenere agli elettrodi nel momento in cui si verifica la presenza di un campo vettoriale di corrente J noto.

La legge di Ohm per il campo di corrente, riferita alle grandezze specifiche E e J viene fornita dalla seguente espressione:

E J =

⋅

ρ

LEGGE DI OHM

dove J rappresenta la densità di corrente, E è il campo elettrico, mentre con ρ indichiamo la resistività.

Come è noto, il campo elettrico (che è una grandezza vettoriale), può essere espresso come il gradiente di un potenziale scalare V cambiato di segno, che tradotto in un’espressione matematica possiamo scrivere:

V

E=−∇ CAMPO ELETTRICO

dalla quale possiamo ottenere che:

V V J =− ∇ =−

σ

⋅∇

ρ

1 DENSITÁ DI CORRENTE

dove σ è la conducibilità elettrica.

In conseguenza di ciò, l’equazione di Poisson può essere scritta nella seguente formulazione:

(

− ∇V

)

=∇⋅J

⋅

∇

σ

.

In generale, può essere considerato che, dalle due sorgenti, la corrente sia entrante od uscente dal terreno in un singolo punto. Si osserva che quest’ultima considerazione ci porta a scrivere la seguente espressione:

(

−σ∇V

)

= Iδ( ) ( ) ( )X δYδ Z

⋅

∇ ,

dove con la simbologia δ_{( )} viene indicata la funzione Delta di Dirac.

Per terreni in cui si hanno complicate strutture resistive bidimensionali (2D) o tridimensionali (3D), vengono generalmente utilizzati, al fine di risolvere questa equazione, il metodo agli elementi finiti.

Il concetto che sta alla base del metodo agli elementi finiti (F E M) consiste nel suddividere l’area che sottoponiamo ad indagine in elementi, nei quali il potenziale sconosciuto V’ viene

approssimato mediante funzioni di interpolazione, di semplice trattazione (spesso assumeremo funzioni lineari), per ogni singolo elemento finito.

Per quanto riguarda l’uso degli elementi verranno utilizzati quelli di forma esaedrica, ad esempio l’elemento di forma cubica, cioè con otto nodi ai vertici; all’interno di essi sarà assunta una distribuzione di conducibilità omogenea ed isotropa.

Il potenziale approssimato V’ è dato da:

∑

= = 8 1 ' i i iu n V POTENZIALE APPROSSIMATO,

dove ui è il potenziale al nodo i-esimo e ni (con i =1,2,3,...,8) è la “funzione di forma”, che per un esaedro elementare assume la seguente forma:

(

i

)(

i

)(

i

)

i a xx b yy c zz c b a n = _{2 2 2} 2 + 2 + 2 + 8 1

FUNZIONE DI FORMA ESAEDRO,

dove l’esaedro è un mattone (brick) con facce parallele agli assi cartesiani, ed assume le dimensioni 2a, 2b, 2c, rispettivamente secondo le direzioni X, Y, Z e quindi abbiamo che i nodi si troveranno nelle seguenti coordinate

     ± = ± = ± = c z b y a x i i i

Con le ipotesi utilizzate con il metodo agli elementi finiti, cioè che il terreno sia omogeneo ed isotropo per ogni elemento elementare, l’equazione:

(

−σ∇V

)

=Iδ( ) ( ) ( )X δY δ Z

⋅

∇ ,

può essere riscritta nella seguente forma:

(xyz) f V _{, ,} 2 = ∇ −

σ

,

dove f_(x,y,z) assume il valore Iδ_{( ) ( ) ( )x}δ _yδ _z oppure zero a seconda che la corrente venga iniettata o meno nell’elemento in esame.

Applicando la tecnica di Galerkin con l’obiettivo di minimizzare l’errore, l’equazione applicata all’i-esimo elemento può essere scritta nella seguente forma:

( ) 0 ' _{, ,} 2 − = ∇

_∫∫∫

∫∫∫

e i z y x e dxdydz n f dxdydz V σ i =1,2,3,...,8. Sostituendo:

∑

= = 8 1 ' i i iu n V ,

nell’ultima espressione otteniamo:

( , , ) 0 8 1 = −               ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

∑ ∫∫∫

= e i z y x j e i i j i j i j a dxdydz u f ndxdydz z n z n y n y n x n x n

σ

i=1,2,3,...,8.

j i j i j i j i j i j i e e i j B B z z y y z z b y y c b c bc a x x dv x n x n =       _{+ + +} = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 ₃1 2 ₃1 2 ₉1 3 , j i j i j i j i j i j i e e i j C C x x z z z z a y y c a c ac b y y dv y n y n =       + + + = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 ₃1 2 1₃ 2 ₉1 3 , j i j i j i j i j i j i e e i j D D y y x x y y a x x b b a bc c z z dv z n z n =       + + + = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 ₃1 2 ₃1 2 ₉1 3 , con: 8 ,..., 3 , 2 , 1 = i .

L’integrazione è stata eseguita sull’elemento esaedro con dimensioni X, Y, Z pari a 2a, 2b, 2c. L’equazione dell’elemento può essere scritta in forma completa come:

            =                           + + + + + + + + + + + + 8 2 1 8 2 1 2 8 2 8 2 8 8 2 8 2 8 2 2 2 2 2 2 2 8 1 8 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : : : . . ... ... F F F u u u D C B SIMMETRICA D D C C B B D C B D D C C B B D D C C B B D C B e

σ

Il vettore [F1 ……F8]T è un vettore in cui tutti gli elementi sono nulli se la sorgente di corrente risulta coincidente con i nodi degli elementi, altrimenti i suoi elementi assumono il valore 2I. Poiché gli elementi avranno nodi a comune, le equazioni degli elementi possono essere riunite in un singolo sistema di equazioni lineari. Il sistema globale risultante può essere scritto in forma generale e compatta nel modo seguente:

F KU = ,

dove la matrice K contiene i termini di rigidezza (termini che risultano collegati sia alle coordinate geometriche che alle conduttività dei singoli elementi) ed è una matrice quadrata e di tipo simmetrico, il vettore U è composto dai termini di potenziale ai nodi, ed il vettore F contiene la sorgente di corrente e le condizioni al contorno.

Le condizioni al contorno (o boundary conditions, BC) che dobbiamo prendere in considerazione sono essenzialmente di due tipi:

 Condizione al contorno di Neumann; secondo la quale all’interfaccia tra terreno ed aria non esistono delle linee del campo di corrente perpendicolari al bordo; cioè il campo di corrente è tutto compreso entro il terreno, lo stesso principio può essere applicato a tutti i contorni.

 Condizioni al contorno di Dirichlet, secondo cui il valore del potenziale ai lati del dominio, in superficie e sul fondo della frontiera (teoricamente all’infinito) può essere impostato ad un valore fisso impostato dall’operatore, che generalmente, per semplicità, viene assunto pari a zero.

1. 3. 2 Inversione dei dati.

I “dati di campo” per la resistività acquisiti con un indagine DC sono un set di N potenziali (l’ideale sarebbe misurare la tensione Vσ, invece normalmente otteniamo la tensione VS). L’obiettivo di tale indagine è realizzare un’inversione dei dati utilizzando queste misure per

acquisire delle informazioni sulla distribuzione della resistività

ρ

(

x,y,z

)

(oppure della conducibilità

σ

(

x,y,z

)

.

La distribuzione di resistività nel terreno può risultare estremamente complicata. Per affrontare il problema dell’inversione geolettrici partendo da misure di resistività, ci basiamo sugli algoritmi descritti in: “METODI DI INVERSIONE GEOLETTRICA DA MISURE DI RESISTIVITÁ CON APPARECCHIATURE MULTIELETTRODICHE”, scritta da Federico Fischanger, dove, a seguito di un’analisi approfondita dei vari algoritmi, è stato deciso di scegliere un “Algoritmo ai Minimi Quadrati con vincolo di regolarità (smoothness)”.

L’algoritmo scelto prevede la risoluzione iterativa con il metodo di Gauss-Newton e con regolarizzazione alla Tikhonov delle seguente funzione obiettivo:

( )

[

( )

]

(

0

)

2 2 L m m m h d W m = − + − Φ α FUNZIONE OBIETTIVO, dove:

 W è la matrice di peso, che tiene conto degli errori sui dati;

 d è il vettore delle misure della resistività apparente;

 m è il vettore dei parametri del modello;

 h(m) è il vettore della risposta modellata diretta (Forward);

 m0 rappresenta il modello di riferimento, detto vettore può eventualmente essere nullo;



α

>0 è il moltiplicatore di Lagrange, detto parametro viene anche chiamato damping,

 L è la matrice di regolarizzazione, oppure di smoothness, essa viene calcolata sulla base della differenza tra il valore della resistività di ciascuna cella con il valore di resistività delle celle immediatamente adiacenti.

La risoluzione di ogni iterazione ci porta ad ottenere la seguente equazione:

( )

( )

[

]

(

) ( )

[

( )

]

(

o

)

k T k T T k k K T k T T k m m L L m h d W W m J m m L L m WJ W m J −1 −1 +α ⋅ − −1 = −1 − −1 −α −1 − ,

che rappresenta la soluzione numerica della funzione obiettivo. L’equazione appena scritta è rappresentabile come:

( )

( )

[

]

{

( )

[

( )

]

(

o

)

}

k T k T T k T k T T k K m m L L m h d W W m J L L m WJ W m J m = − − + − −1 − −1 − −1− 1 1 1 α α δ ,

e ponendo m0 =0 arriviamo ad ottenere:

( )

( )

[

−1 −1 +

]

−1

{

( )

−1

[

−

( )

−1

]

+

( )

−1 −1

}

= k T T k T k T T k k k K m m J m h d W W m J L L m WJ W m J m

α

, dove:

o mk-1 è il modello ricostruito alla k-1 -esima iterazione; o mk è il modello aggiornato;

o J

( )

mk−1 è lo Jacobiano per il (k-1)-esimo modello, esso ci fornisce la misura di quanto è sensibile ogni misurazione al modello k-1;

o h

( )

mk−1 rappresenta il vettore della risposta modella diretta (Forward) del (k-1)-esimo modello.

Quindi si passa a calcolare i residuali tra le misure di cantiere (d) e le misure modellate (h(mk)) attraverso la seguente espressione:

( )

[

k

]

m h d− , dove:

 d è il vettore delle resistività apparenti misurate;

 h(mk) è il vettore della risposta modella diretta (Forward) del k-esimo modello.

Dalla conoscenza di questa differenza si può ordinare l’interruzione del processo iterativo se quest’ultima è all’interno della funzione obiettivo, cioè se è stato raggiunto il valore della statistica χ2. Nel caso contrario vengono calcolate le altre matrici L smoothness e lo Jacobiano J sulla base dei parametri nodali calcolando il Modello Diretto (Forward Modelling) per il modello mk+1.

Per impedire che vengano eseguite troppe iterazioni, e quindi venga impegnato per tempi troppo lunghi il PC, sono stati aggiunti due ulteriori criteri di arresto. Essi sono:

1) Raggiungimento del numero massimo di iterazioni;

2) Assenza di sensibili cambiamenti tra due iterazioni consecutive (ad esempio fra la k-1 e la k).