Introduzione ai numeri complessi
Numeri complessi. Operazioni. Modulo. Forma polare.
Formula di De Moivre. Forma esponenziale.
Rotazioni, traslazioni. Omotetie. Radici n-esime.
Definizione (Campo complesso C. Prima definizione.)
Chiamiamonumeri complessitutte le espressioni del tipo
z = a + ib, a, b ∈ R (1)
L’unit`a immaginaria i `e soluzione dell’equazione x2+ 1 = 0, ossia soddisfa
i2+ 1 = 0 ossia i2 = −1 a `e la parte realee b `e laparte immaginaria di z:
Definizione (Somma e prodotto di numeri complessi)
Lasommadi due numeri complessi `e
(a + ib) + (a0+ ib0) =(a + a0) + i (b + b0) e il loroprodotto`e
(a+ib)(a0+ib0) = aa0+ia0b +iab0+i2bb0=(aa0−bb0)+i (ab0+a0b)
I numeri complessi, rispetto alle operazioni definite sopra di somma e prodotto, soddisfano tutti gli assiomi dicampo. Il campo C dei numeri complessi `e unaestensione del campo R:
Teorema (importante!)
Cnon `e un campo ordinato, ossia nel campo C dei numeri complessi non `e possibile definire alcun ordinamento che sia compatibile con la somma e il prodotto.
Il teorema fondamentale dell’algebra
Teorema (Teorema fondamentale dell’algebra. C.F. Gauss, 1799)
Ogni polinomio complesso di grado maggiore o uguale a 1 ha almeno una radice nel campo C.
In algebra, un campo K si dicealgebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti in K ha almeno uno zero in K . Quindi il teorema fondamentale dell’algebra si pu`o enunciare nella forma:
Fattorizzazione di un polinomio complesso
Dal Teorema Fondamentale dell’Algebra segue facilmente:
Teorema (Fattorizzazione di un polinomio complesso)
Ogni polinomio complesso f di grado maggiore o uguale a 1 si fattorizza in modo unico (a meno dell’ordine dei fattori) come
f (Z ) = a(Z − c1)(Z − c2) · · · (Z − cn) (2) dove a ∈ C, a 6= 0, e c1, ..., cn sono le radici complesse (non necessariamente distinte) di f . Se una radice cj `e ripetuta k volte, diciamo che `e una radice di molteplicit`a k.
Possiamo dunque enunciare quest’ultimo teorema nella forma: Ogni polinomio complesso di grado n ≥ 1 ha esattamente n radici complesse, se ognuna delle radici `e contata con la sua molteplicit`a.
Definizioni
Il modulo di un numero complesso z = a + ib `e il numero reale non negativo
|z| =pa2+ b2
Il complesso coniugato di z = a + ib `e z = a − ib
Se z, w ∈ C, si ha: (zw ) = z w
z z = a2+ b2 = |z|2
Osservazione Se z 6= 0, dall’uguaglianza z z = |z|2 segue z z |z|2 = 1 dunque l’inverso di z `e: z−1= 1 z = z |z|2
Teorema
Per ogni z, w ∈ C, il modulo del prodotto `e il prodotto dei moduli: |zw | = |z||w | Dimostrazione di |zw | = |z||w | |zw |2 = (zw ) (zw ) = zw z w = zz w w = |z|2|w |2
Numeri complessi in forma polare
Ogni numero complesso z = x + iy 6= 0, si scrive anche in coordinate polarir , ϑ, come
z = r (cos ϑ + i sin ϑ)
dove r =px2+ y2 `e il modulo di z e ϑ – detto argomentodi z – `e l’angolo che il vettore z forma con la direzione positiva dell’asse reale. L’argomentonon `e unico: `e definito solo a meno di multipli interi di 2π. Per evitare questa ambiguit`a, si pu`o chiamare
argomento principale, e denotare arg z, l’unico ϑ che soddisfa − π < ϑ ≤ π
Prodotto di numeri complessi in forma polare
Teorema (Prodotto di numeri complessi e Formula di De Moivre)
Il prodotto di z = r (cos ϑ + i sin ϑ) e z0 = r0(cos ϑ0+ i sin ϑ0) `e z · z0= rr0[cos(ϑ + ϑ0) + i sin(ϑ + ϑ0)]
In particolare, vale laFormula di De Moivre:
[r (cos ϑ + i sin ϑ)]n= rn(cos nϑ + i sin nϑ)
Dimostrazione
[r (cos ϑ + i sin ϑ)] · [r0(cos ϑ0+ i sin ϑ0)]
= rr0[(cos ϑ cos ϑ0− sin ϑ sin ϑ0) + i (sin ϑ cos ϑ0+ cos ϑ sin ϑ0)] = rr0[cos(ϑ + ϑ0) + i sin(ϑ + ϑ0)]
Forma esponenziale dei numeri complessi.
Definizione
Per ogni ϑ ∈ R, definiamo l’esponenziale ei ϑ come: ei ϑ = cos ϑ + i sin ϑ
Il numero complesso z = r (cos ϑ + i sin ϑ) si scrive z = rei ϑ
La formula del prodotto diventa
Interpretazione geometrica della moltiplicazione per un
numero complesso. I numeri complessi come operatori.
1 La moltiplicazione per un numero complesso unitario u 6= 1,u = cos ϑ + i sin ϑ,
C −→ C, z 7−→ u z
`
e una rotazione di centro l’origine e di angolo ϑ. (Se u = 1, `e l’identit`a, che `e una particolare rotazione).
2 Pi`u in generale, la moltiplicazione per un numero complesso
a = r (cos ϑ + i sin ϑ),
C −→ C, z 7−→ a z `
e una roto-omotetia, cio`e la composizione di una rotazione di centro l’origine e di angolo ϑ, con una dilatazione di
Composizione di una rotazione e una traslazione
Teorema
Siano u ∈ C, |u| = 1, u 6= 1 e w ∈ C. La trasformazione C−→ C,T z 7−→ uz + w
(rotazione z 7−→ uz seguita dalla traslazione z0 7−→ z0+ w ) ha un unico punto fisso e quindi `e una rotazione.
Dimostrazione. I punti fissi di T (z ) = uz + w sono le soluzioni dell’equazione uz + w = z, ossia (1 − u)z = w . Si tratta di un’equazione di primo grado, nella quale il coefficiente 1 − u dell’incognita z `e diverso da zero (Perch´e, per ipotesi, u 6= 1). Dunque esiste un unico punto fisso: C = w . Per definizione di
Radici n-esime
Teorema (Radici n-esime di un numero complesso)
Sia z = r (cos ϑ + i sin ϑ) un numero complesso non nullo e sia n un intero positivo. Esistono esattamente n numeri complessi z0, ..., zn−1 che elevati alla potenza n-esima danno come risultato z. Tali numeri sono:
zk = r1/n cos ϑ + 2kπ n + i sin ϑ + 2kπ n , k = 0, 1, ..., n−1 In forma esponenziale: zk = r1/neϑ+2kπn , k = 0, 1, . . . , n − 1
I numeri z0, ..., zn−1 sono radici n-esime di z. Quindi il teorema dice cheogni numero complesso (non nullo) ha esattamente n radici n-esime.
Dimostrazione
Un numero complesso
w = |w |(cos α + i sin α) (3)
`e una radice n-esima di z se wn= z, ossia (De Moivre) se
|w |n(cos nα + i sin nα) = r (cos ϑ + i sin ϑ) (4) Questo avviene se, solo se,
|w |n= r , nα = ϑ + 2kπ, k ∈ Z
Ma si vede facilmente che si ottengono n radici distinte soltanto per gli n valori k = 0, 1, ..., (n − 1), mentre dando a k un qualunque altro valore, si riottiene una delle radici z0, ..., zn−1. Quindi, tutte le n radici n-esime distinte hanno modulo e
Esempio: Radici terze di 1 (z = 1, n = 3)
0 1 = e0
i ω = e2iπ/3
Esempio: Radici terze di −1. (z = −1, n = 3)
0 1
−1 = eiπ
i
