Appunti delle lezioni del corso di Meccanica Statistica (maggio–luglio 2008) tenuto nel contesto del Dottorato di Ricerca in Meccanica Teorica e Applicata dell’Universit`a degli Studi di Roma “La Sapienza.” Segue il diario delle lezioni assieme a riferimenti bibliografici utili per eventuali approfondimenti.
Lezione 1. Richiami di Meccanica Classica: formulazione newtoniana. Esempi: os- cillatore armonico e coppia di particelle interagenti mediante una forza elastica. Sis- temi macroscopici: il programma della Meccanica Statistica. Risultati termodinamici e sperimentali sul gas perfetto [33, Section 2–6]: legge di Boyle e capacit`a termica. Mod- ello di Kr¨onig–Clausius per il gas perfetto, legge di Boyle [33, Section 1–2]. Modello di Maxwell per il gas perfetto, legge di Boyle, distribuzione di Maxwell [33, Section 1–3].
Distribuzione del modulo della velocit`a ed effusione [1, Section 10.6]. Calore specifico dei gas monoatomici. Richiami di Meccanica Classica: sistemi conservativi, conservazione dell’energia meccanica, formulazione lagrangiana e formulazione hamiltoniana. Esempi:
coppia di particelle interagenti mediante una forza elastica, problema dei due corpi. Dis- tribuzione di Maxwell–Boltzmann, funzione di partizione, valori medi [14].
Lezione 2. Distribuzione di Maxwell–Boltzmann, teorema di equipartizione dell’energia [14]. Calore specifico dei gas biatomici e calore specifico dei solidi atomici [12, Section 3.1]
e [4, Chapter 22]. Paradosso di Loschmidt, paradosso di Zermelo e Teorema di Poincar´e [33, Section 1–7] e [18, Section 7]. Deduzione euristica della distribuzione di Maxwell–
Boltzmann [14, Section 4.3]. Stati microscopici e stati macroscopici, volume dello spazio delle fasi corrispondente a uno stato macroscopico, stato di Maxwell–Boltzmann e ipotesi ergodica [5, Paragrafo 1] e [14, Section 4.3].
Lezione 3. Formulazione astratta del Teorema di Poincar´e e sue applicazioni [3, §16].
Teorema di Liouville per la densit`a di copie di un sistema dinamico e analogia con la fisica dei fluidi [13, Section 9.9], [33, Section 1–7] e [19, §1 e §10]. Teorema di Liouville per il volume di una regione dello spazio delle fasi [3, §16] e [33, Section 1–7]. Teorema di Liouville per i sistemi hamiltoniani, misura invariante sulle ipersuperfici a energia costante, Teorema di Poincar´e [33, Section 1–7] e [18, Section 7]. Sistemi ergodici, esempi, problema di Fermi–Pasta–Ulam [5, Paragrafo 7] e [8].
Lezione 4. Formulazione di Boltzmann–Gibbs della meccanica statistica: potenziale di interazione [25, Paragrafo 1] e [33, Section 3.6]. Geometria dello spazio delle fasi [18, Sec-
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tion 7]. Ensemble ortodici [12, Section 1.5]. Ensemble microcanonico [12, Section 2.1], [14, Chapter 6]. Ortodicit`a, gas perfetto [12, Section 2.3] e [14, Section 6.5]. Ensemble canon- ico [12, Section 2.1], [14, Chapter 7]. Ortodicit`a [12, Sections 2.2 e 2.6], gas perfetto, esistenza del limite termodinamico [33, Section 3.6]. Ensemble gran canonico [12, Sec- tion 2.5], ortodicit`a [25, Paragrafo 1], gas perfetto. [25, Paragrafo 1].
Lezione 5. Ensemble canonico [12, Section 2.1], [14, Chapter 7]. Ortodicit`a [12, Sec- tions 2.2 e 2.6], esistenza del limite termodinamico [33, Section 3.6], Equivalenza tra canonico e gran canonico [12, Section 2.5], significato della convessit`a dell’energia lib- era [25, Paragrafo 1]. Ensemble canonico per sistemi magnetici. Diamagnetismo classico:
Teorema di Bohr–Van Leeuwen [14, Problem 7.4] e [4, Chapter 31]. Paramagnetismo:
teoria di Langevin, legge di Curie, costante di Curie [14, Problem 7.5].
Lezione 6 [33, Chapter 4]. Fenomenologia della transizione liquido–vapore. Teoria di van der Waals. Costruzione di Maxwell. Stabilit`a termodinamica e convessit`a dell’energia libera. Definizione di transizione di fase in Meccanica Statistica. Equazione di van der Waals in Meccanica Statistica: teoria di Ornstein. Transizione di fase ferromagnetica:
fenomenologia, modelli di spin, modello di Curie–Weiss, approssimazione di campo medio.
Lezione 7. Introduzione alla Meccanica Quantistica [24, Chapter 1]. Grandezze fisiche quantizzate, Esempi di quantizzazione di grandezze fisiche: il problema del corpo nero [14, Paragraph 12.1]. e le teorie di Einstein e Debye per il calore specifico dei solidi [14, Paragraph 12.2], [4, Chapter 23] e [10, Paragraph 1.5].
Lezione 8. Richiami di analisi funzionale [29, Chapter 2]. Propriet`a corpuscolari della materia e propriet`a ondulatorie delle particelle [24, Chapter 1]. Funzione d’onda e spazio degli stati. Operatore hamiltoniano ed equazione di Schr¨odinger. Equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo e stati stazionari. Buca di potenziale con pareti infinite [11, Problem 18]. Oscillatore armonico [11, Problem 30].
Lezione 9. Richiami di analisi funzionale [29, Chapter 2]. Osservabili in meccanica quantistica, costanti del moto e regole di commutazione. Introduzione alla Meccanica Statistica Quantistica [14, Chapter 8] e [10, Paragraph 1.7]. Ensemble statistico e opera- tore densit`a. Ensemble microcanonico, canonico e gran canonico. Sistemi a pi`u particelle, simmetria della funzione d’onda e principio di Esclusione di Pauli [14, Appendix A.1].
Funzione di partizione del gas di Fermi.
Lezione 10. Gas di Bose e gas di Fermi, statistica di Bose–Einstein e statistica di Fermi–Dirac, equazioni di stato del gas perfetto [14, Paragraph 8.6]. Gas di bosoni liberi [14, Paragraph 12.3] e [10, Paragraph 1.9]. Gas di fotoni [14, Paragraph 12.1].
Gas di fermioni liberi [14, Paragraph 11.1] e [10, Paragraph 1.10]. Teoria di Landau per il diamagnetismo [14, Paragraph 11.3].
E.N.M. Cirillo, “Appunti delle lezioni del corso di Meccanica Statistica” versione 25 gennaio 2011
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