6. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Si consideri la curva catenaria
α : R −→ R2, t 7→ (t, cosh t).
(1) Dare la parametrizzazione della catenaria rispetto alla lunghezza l’arco.
Esercizio 2. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R3 X := {(x1, x2, x3) ∈ R3|x21+ x22 = 1}, Y := {(x1, x2, x3) ∈ R3|x21+ x23 = 1}, Z := {(x1, x2, x3) ∈ R3|x2x3 ≥ 0}.
(1) Si provi che l’insieme X ∩ Y ∩ Z `e il supporto di una curva regolare chiusa α.
(2) Si determinino i punti in cui la curvatura `e massima e minima.
(3) Si determinino i punti in cui la curvatura `e nulla.
(4) Si calcoli la torsione di α.
Esercizio 3. Si consideri un disco circolare di raggio 1 nel piano x, y che ruota senza scivolare lungo l’asse delle x, si fissi un punto p sulla circonferenza (bordo del disco). La figura descritta dal movimento di p `e la traccia di una curva
α : R −→ R2 detta cicloide.
(1) Si determini una parametrizzazione di α e se ne determinino i punti dove α non `e biregolare.
(2) Si calcoli la lunghezza d’arco della cicloide corrispondente ad un’intera rotazione del disco.
(3) [Facoltativo] Si considerino ora due punti A e B in R3 sul piano verticale x = 0 con coordinate (0, yA, zA), (0, yB, zB) e zA > zB. Si consideri una massa puntiforme M che si muove da A a B soggetta solo alla forza di gravita e avente velocit`a iniziale nulla. Si determini la curva che descrive M andando da A a B nel minore tempo possibile, tale curva `e detta brachistocrona.
(4) [Facoltativo] Si provi che la brachistocrona `e la cicloide.
Esercizio 4. [Abate-Tovena, Problema 1.5]
Sia
α : (0, π) −→ R2 α(t) = sin t, cos t + log(tan t 2);
il sostegno di α `e detta trattrice.
1
(1) Disegnare la traccia della trattrice nel piano R2.
(2) Dimostrare che α `e una parametrizzazione di classe C∞ regolare ovunque tranne che in t = π2.
(3) Verificare che la lunghezza del segmento della tangente alla trattrice com- preso fra il punto di tangenza e l’asse y `e sempre 1.
(4) Determina la lunghezza d’arco di α a partire da t0 = π2. (5) Calcola, nei punti in cui `e definita, la curvatura di α.
Esercizio 5.
