Complementi di Matematica - cdl in Informatica - Primo compitino (Analisi) 20 febbraio 2009 Tema A
1)a) y0 = − 1
√x + 5y − e−2√x+5sin 3x. Lineare del primo ordine.
y(x) = e−2√x+5(C +R
− sin 3xdx) = e−2√x+5(C +cos 3x
3 ), x ∈ (−5, +∞) b) y00+ 25y = 0. Lineare del secondo ordine. L’equazione caratteristica λ2= −25 ha radici λ1,2 = ±5i. y(x) = A cos(5x) + B sin(5x), A, B ∈ R, x ∈ R.
2) C1)
y0 = ey− 6 (x − 5) ey y(0) = log 6
Eq.diff. a variabili separabili y0= f (y)g(x).
f (y) = ey− 6
ey ∈ C1(R), g(x) = 1
x − 5 ∈ C(−∞, 5)(5, +∞).
Poich`e f (log 6) = 0, la soluzione `e y(x) = log 6, per x ∈ I = (−∞, 5).
C2)
y0 = ey− 6 (x − 5) ey y(0) = log 7
Poich`e f (log 7) 6= 0, la soluzione y(x) : I → J, I =
(−∞, 5), J = (log 6, +∞), si trova con separazione delle variabili: R ey ey− 6dy =
R 1
x − 5dx, log(ey−6) = log(5−x)+A, x ∈ I, y ∈ J, cio`e log(ey−6) = log(C(5−
x)), dove C = eA> 0 → ey− 6 = C(5 − x) → y(x) = log(6 + C(5 − x)), C > 0.
La soluzione del problema C2 si ottiene per C = 1/5: y(x) = log(7 − x 5), x ∈ I = (−∞, 5).
3) a) f (x, y) =
x2− y3
x2+ y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)
la funzionef non `e continua nel punto (0, 0). Infatti f (x, 0) = 1 → 1 6= f (0, 0).
b) g(x, y) =
x3y
x2+ y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)
la funzioneg `e continua nel punto (0, 0). Infatti0 ≤ |g(x, y) − g(0, 0)| ≤ |xy| → 0
4) Data la funzione f (x, y) = log(x2y) + arctan(6x + y4− 5), a) il dominio `e Df =©
(x, y) ∈ R2|x 6= 0, y > 0ª
; b) la derivata direzionale di f nel punto P = (1
2, 1), nei versori individuati dalla direzione della retta x + y + 3 = 0; I versori sono V = ( 1
√2,−1
√2), W = −V.
∇f (x, y) = (2
x+ 6
1 + (6x + y4− 5)2,1
y + 4y3
1 + (6x + y4− 5)2) , DVf (P ) = ∇f (P ) · V = (7, 3) · ( 1
√2,−1
√2) = 4
√2, DWf (P ) = − 4
√2 c) l’equazione del piano tangente nel punto Q = (1
2, 1, f (1 2, 1)) `e z = −log4 −π
4 + 7(x −1
2) + 3(y − 1).
1
