Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site
Risolvere al variare del parametro reale a il sistema lineare :
( )
( )
( )
= + + +
= +
−
= + + +
= + + +
0 1
2
0 3
3
1 1
2
z y y a
z y x
z y a x
z y a x
Svolgimento :
Calcoliamo il determinante della matrice completa del sistema :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
r r
r
C a
a a a
a a a a
a a a A
^ 1 2
^ 3
^ 3
2 1 1 1
1 2 3 3
1 3 3
1 0 1 1 1
0 1 2 3 3
0 1 3 3
1 1 1 2
0 1 1 1
2 1 1 1
0 1 3 3
1 1 1 2
⋅
−
→
= +
−
−
−
−
+
−
= +
−
−
−
−
+ +
≈ +
− + +
=
Discussione :
a) Se 2a≠0 ⇒ a≠0 il sistema non ammette soluzioni , poiché r
( )
AC =4 ≠ r( )
AI ≤3 .b) Se a=0 il sistema diventa :
= + +
= +
−
= + +
= + +
0 2
0 3
3
1 2
z y x
z y x
z y x
z y x
e portando la matrice completa a forma ridotta :
Per le operazioni eseguite vedere lez. 2 ( matrici )
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r r r
r r r
r r
r
r r
r r r
r r
r r
r
AC
^ 1
^ 4
^ 4
^ 2
^ 4 3
^ 4
^ 1 2
^ 3
^ 3
^ 3
^ 4
^ 2
^ 3 2
^ 3
^ 1 3
^ 2
^ 2
^ 1
^ 3
0 0 0 0
0 2 0 0
6 2 6 0
2 1 1 1
0 2 0 0
0 0 0 0
6 2 6 0
2 1 1 1
2 0 2 0
3 1 3 0
6 2 6 0
2 1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 2
0 1 3 3
2 1 1 1
0 1 1 1
2 1 1 1
0 1 3 3
1 1 1 2
−
→
−
⋅
→
⋅
−
→
↔
−
⋅
→
⋅
−
→
↔
−
−
−
≅
−
−
−
≅
−
−
−
−
−
−
≅
−
≅
= −
il sistema equivalente risulta quindi :
=
−
=
=
⇒
= +
−
=
−
= +
−
0 1 3
0 2
6 2 6
2
z y x
z z y
z y x
il sistema ammette una sola soluzione .
