MarcelloColozzo Estremirelativiedassolutidifunzionidipi`uvariabili MatematicaOpenSource SCIENTIA –http://www.scientiajournal.orf

(1)

SCIENTIA – http://www.scientiajournal.orf

International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119 Quaderni di Analisi Matematica – 2015

Matematica Open Source

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Estremi relativi ed assoluti di funzioni di pi` u variabili

ver. 01

Marcello Colozzo

(2)

Indice

1 Formula di Taylor in pi`u variabili 2

2 Punti estremali 3

Bibliografia 14

(3)

1 FORMULA DI TAYLOR IN PI `U VARIABILI

1 Formula di Taylor in pi` u variabili

Sia f ∈ C^m+1(A) essendo A un campo quale sottoinsieme di Rⁿ. Assegnato P0

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾n

∈ A, sia P (x1, x2, ..., xn) ∈ A tale che il segmento P0P sia contenuto in A. Le equazioni parametriche di tale segmento sono:











x₁ = x⁽⁰⁾₁ + t∆x₁ x2 = x⁽⁰⁾₂ + t∆x2

...

x₂ = x⁽⁰⁾₂ + t∆x₂

, t∈ [0, 1] (1)

In altri termini, le (1) sono le coordinate di un generico punto Q ∈ P0P. La restrizione di f al segmento P0P individua la funzione composta:

F (t) = f [x₁(t) , x₂(t) , ..., xn(t)] (2)

= f

x⁽⁰⁾₁ + t∆x₁, x⁽⁰⁾₂ + t∆x₂, ..., x⁽⁰⁾_n + t∆xn

, t∈ [0, 1]

Applichiamo a F (t) la formula di Mac Laurin:

F (1) = F (0) + 1

1!F^′(0) + 1

2!F^′′(0) + ... + 1

m!F^(m)(0) + Rm, (3) assumendo per Rm l’espressione di Lagrange:

Rm = 1

(m + 1)!F^(m+1)(θ) , con 0 < θ < 1 Esplicitiamo i singoli termini nella (3):

F (1) = f

x⁽⁰⁾₁ + ∆x₁, x⁽⁰⁾₂ + ∆x₂, ..., x⁽⁰⁾_n + ∆xn

F (0) = f

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n Per la regola di derivazione delle funzioni composte:

F^′(t) = fx₁

x⁽⁰⁾₁ + t∆x1, x⁽⁰⁾₂ + t∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + t∆xn

· ∆x₁+ + fx2

x⁽⁰⁾₁ + t∆x1, x⁽⁰⁾₂ + t∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + t∆xn

· ∆x2+ + ... + fxn

x⁽⁰⁾₁ + t∆x1, x⁽⁰⁾₂ + t∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + t∆xn

· ∆x1, per cui:

F^′(0) = fx₁

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

· ∆x₁+ fx₂

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

· ∆x₂+ + ...fxn

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

· ∆xn

= df Allo stesso modo:

F^′′(0) = d²f, ....F^(m)(0) = d^mf Sostituendo nella (3) le espressioni trovate, si ha:

f

x⁽⁰⁾₁ + ∆x1, x⁽⁰⁾₂ + ∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + ∆xn

= f

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

+ (4)

+ 1

1!df + 1

2!d²f+ ... + 1

m!d^mf + Rm,

(4)

con

Rm = 1

(m + 1)!d^(m+1)f

x_k=x⁽⁰⁾_k +θ∆xk, con 0 < θ < 1 Ricordiamo che l’operatore di differenziazione d `e espresso simbolicamente da:

d =

n

X

h=1

∆xh

∂

∂xh

,

e quindi:

d^k =

n

X

h=1

∆xh

∂

∂xh

!k

Sostituendo nella (4):

f

x⁽⁰⁾₁ + ∆x1, x⁽⁰⁾₂ + ∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + ∆xn

=



1 +

m

X

k=1

1 k!

n

X

h=1

∆xh

∂

∂xh

!k

f

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

+ 1

(m + 1)!

n

X

h=1

∆xh

∂

∂xh

!m+1

f

x⁽⁰⁾₁ + θ∆x1, x⁽⁰⁾₂ + θ∆x2, ..., x⁽⁰⁾_n + θ∆xn

Ponendo x⁽⁰⁾_k + ∆xk = xk: f(x₁, x₂, ..., xn)

=



1 +

m

X

k=1

1 k!

n

X

h=1

xh− x⁽⁰⁾_h ∂

∂xh

!k

f

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n +

+ 1

(m + 1)!

n

X

h=1

xh− x⁽⁰⁾_h ∂

∂xh

!m+1

f

x⁽⁰⁾₁ + θ

x− x⁽⁰⁾₁

, x⁽⁰⁾₂ + θ

x− x⁽⁰⁾₂

, ..., x⁽⁰⁾_n + θ x − x⁽⁰⁾_n

Nel caso particolare di n = 2 variabili:

f(x, y) = f (x0, y₀) + 1 1!

(x − x0) ∂

∂x + (y − y0) ∂

∂y

f(x0, y₀) + (5)

+ 1 2!

(x − x0) ∂

∂x + (y − y0) ∂

∂y

2

f(x0, y₀) + ...

+ 1 m!

(x − x0) ∂

∂x + (y − y0) ∂

∂y

m

f(x0, y₀) +

+ 1

(m + 1)!

(x − x0) ∂

∂x + (y − y0) ∂

∂y

m+1

f(x0+ θ (x − x0) , y0+ θ (y − y0))

2 Punti estremali

Sia f : A → R, con A ⊆ Rⁿ (campo o dominio).

Teorema 1 Hp.

(5)

2 PUNTI ESTREMALI

1. P0

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾n

∈ ˚A `e punto di estremo relativo per f ; 2. f `e parzialmente derivabile in P0.

Th. fx₁(P0) = fx₂(P0) = ... = fxn(P0) = 0 Dimostrazione. P0

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾n

∈ ˚A=⇒

=⇒ ∃Dδ(P0) = (

(x1, x₂, ..., xn) ∈ Rⁿ|

n

X

k=1

xk− x⁽⁰⁾_k 2

≤ δ² )

⊂ A.

E chiaro che:`

x₁, x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

∈ Dδ(P0) ⇐⇒ x1 ∈h

x⁽⁰⁾₁ − δ, x⁽⁰⁾₁ + δi , per cui possiamo definire la funzione:

φ :h

x⁽⁰⁾₁ − δ, x⁽⁰⁾₁ + δi

→ R φ(x1) = f

x1, x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n Risulta:

P₀ `e punto di estremo relativo per f

=⇒

x⁽⁰⁾₁ `e punto di estremo relativo per φ f `e derivabile in P0) =⇒

φ`e derivabile in x⁽⁰⁾₁ Dal momento che x⁽⁰⁾₁ `e punto interno di h

x⁽⁰⁾₁ − δ, x⁽⁰⁾₁ + δi

, segue che φ^′ x⁽⁰⁾₁

= 0, cio`e fx1

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

= 0 Alla stessa maniera si dimostrano le rimanenti:

fx2

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

= ... = fxn

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾_n

= 0

Da tale teorema segue che se f `e parzialmente derivabile in ˚A, gli eventuali punti di estremo relativo appartengono all’insieme delle soluzioni del seguente sistema di n equazioni in n incognite x1, x2, ..., xn:











fx₁(x₁, x₂, ..., xn) = 0 fx2(x1, x2, ..., xn) = 0 ...

fxn(x₁, x₂, ..., xn) = 0

(6)

Definizione 2 Dicesi punto estremale o punto critico di f , ogni soluzione del sistema (6).

Osservazione 3 Rammentando la definizione di gradiente di una funzione f :

∇f = ∂f

∂x1

, ∂f

∂x2

, ..., ∂f

∂xn

,

segue che in un punto estremale P0 è ∇f (P0) = (0, 0, ..., 0) = 0. L’annullarsi del gradiente in P₀ esprime la “stazionerietà” della funzione nel suddetto punto. Infatti, intuitivamente il gradiente misura la rapidità di variazione della funzione.

(6)

Denotando con B ⊂ ˚A l’insieme dei punti estremali di f , cio`e:

B =n

P ∈ ˚A| fx_k(P ) = 0, k = 1, 2, ..., no Se B 6= ∅, i.e. il sistema (6) ammette almeno una soluzione, si ha:

P0 `e punto di estremo relativo per f

=⇒ (P0 ∈ B P₀ ∈ B) ;

P₀ `e punto di estremo relativo per f

In altri termini, P₀ ∈ B `e condizione necessaria ma non sufficiente affinch`e P₀ sia punto di estremo relativo per f . Dimostriamo ora il teorema:

Teorema 4 Hp:

1. f `e continua in A ed `e di classe C² in ˚A;

2. P0

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾n

∈ ˚A `e punto estremale per f.

Th. Considerata la forma quadratica:

φ(λ1, λ2, ..., λn) =

n

X

i=1 n

X

j=1

fxixj(P0) λiλj

nelle variabili λ1, λ2, ..., λn, si ha:

A φ `e definita positiva =⇒ P0 `e punto di minimo relativo proprio;

B φ `e definita negativa =⇒ P0 `e punto di massimo relativo proprio;

C φ `e indefinita =⇒ P0 non `e punto di estremo relativo.

Dimostrazione. Senza perdita di generalit`a consideriamo il caso n = 2.

P0(x0, y0) ∈ ˚A=⇒ ∃Iδ(P0) = (x, y) ∈ R² | (x − x0)²+ (y − y0)² < δ² ⊂ A

Preso ad arbitrio P (x, y) ∈ Iδ(P0) possiamo applicare la formula di Taylor (5) per m = 1. Per ipotesi P₀ `e punto estremale per f , onde fx(P₀) = fy(P₀) = 0, quindi:

f(x, y) = f (x0, y0) + +1

2!

(x − x₀) ∂

∂x + (y − y₀) ∈ ∂

∂y

2

f[x₀+ θ (x − x₀) , y₀+ θ (y − y₀)] , con 0 < θ < 1

Posto Q (x₀+ θ (x − x₀) , y₀ + θ (y − y₀)) e tenendo conto del teorema di Schwartz sull’invertibilit`a dell’ordine di derivazione parziale:

f(P ) − f (Q) = 1

2fxx(Q) (x − x0)²+ 2fxy(Q) (x − x0) (y − y0) + fyy(Q) (y − y0)² Se ρ = P0P =

q

(x − x0)²+ (y − y0)², poniamo:

x− x0

ρ = λ₁, y− y0

ρ = λ₂, (7)

(7)

2 PUNTI ESTREMALI

assumendo P ∈ Iδ(P0) − {P0}, `e ρ > 0. Inoltre dalle (7) tenendo conto dell’espressione di ρ, segue:

λ²₁+ λ²₂ = 1 (8)

Abbiamo:

f(P ) − f (P0) = ρ²

2ψ(Q, λ1, λ2) , (9)

dove

ψ(Q, λ1, λ2) = fxx(Q) λ²₁+ 2fxy(Q) λ1λ2+ fyy(Q) λ²₂, (10) Per ipotesi le funzioni fxx, fyy, fxy sono continue in A, per cui:

fxx(Q) = fxx(P0) + α (Q) (11)

fxy(Q) = fxy(P0) + β (Q) fyy(Q) = fyy(P0) + γ (Q) ,

essendo le funzioni α (Q) , β (Q) , γ (Q) infinitesime per Q → P₀. Sostituendo le (11) nelle (10), si ha:

ψ(Q, λ₁, λ₂) = fxx(P₀) λ²₁+ 2fxy(P₀) λ₁λ₂ + fyy(P₀) λ²₂+ ω (Q, λ₁, λ₂) , (12) dove

ω(Q, λ1, λ2) = α (Q) λ²₁+ β (Q) λ1λ2+ γ (Q) λ²₂ Risulta |λk| ≤ 1, per cui:

Q→Plim0

ω(Q, λ1, λ₂) = 0 La (12) pu`o essere scritta come:

ψ(Q, λ1, λ2) = φ (λ1, λ2) + ω (Q, λ1, λ2) , essendo:

φ(λ1, λ2) = fxx(P0) λ²₁+ 2fxy(P0) λ1λ2+ fyy(P0) λ²₂, (13) che `e una forma quadratica nelle variabili λ1, λ₂ e di coefficienti fxx(P0) , fxy(P0) , fyy(P0). Quindi:

f(P ) − f (P0) = ρ²

2 [φ (λ1, λ2) + ω (Q, λ1, λ2)] , (14) da cui vediamo che per Q → P0, la differenza f (P ) − f (P0) ha lo stesso segno della forma quadratica φ(λ1, λ2). Per essere pi`u precisi, supponiamo che φ (λ1, λ2) sia definita positiva:

φ(λ₁, λ₂) ≥ 0, ∀λ₁, λ₂

φ(λ1, λ₂) = 0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = 0

Tuttavia dalla (8) segue (λ1, λ₂) 6= (0, 0). Pi`u specificatamente, φ : Λ → R, dove Λ =(λ1, λ₂) ∈ R² | λ²₁+ λ²₂ = 1

cio`e φ `e definita sulla circonferenza del piano λ1λ2centrata nell’origine e di raggio unitario. Inoltre, φ

è manifestamente continua in Λ che è un insieme chiuso e limitato =⇒ φ è dotata di minimo assoluto in Λ. Poniamo

µ= min

Λ φ, avendosi µ > 0, giacch`e φ (λ1, λ2) > 0, ∀λ1, λ2 ∈ Λ. Inoltre:

Q→Plim₀ω(Q, λ1, λ2) = 0 =⇒

∃Γ∆µ(P0) ⊂ Iδ(P0) | Q ∈ Γ∆µ(P0) − {P0} =⇒ |ω (Q, λ1, λ2)| ≤ µ 2 ,

(8)

per cui:

Q∈ Γ∆µ(P0) − {P0} =⇒ ψ (Q, λ1, λ2) = φ (λ1, λ2) + ω (Q, λ1, λ2)

≥ φ (λ1, λ2) − |ω (Q, λ1, λ2)| ≥ µ − µ 2 = µ

2 >0 E allora dalla (9)

f(P ) − f (P0) = ρ²

2ψ(Q, λ1, λ2) > 0,

onde P0 è punto di minimo relativo proprio. Passiamo ora al caso in cui φ (λ1, λ2) è definita negativa, onde φ (λ1, λ2) < 0, ∀λ1, λ2 ∈ Λ. Ne consegue che φ è dotata di massimo assoluto

−µ = max

Λ φ <0 Quindi

Q∈ Γ∆µ(P0) − {P0} =⇒ ψ (Q, λ1, λ2) = φ (λ1, λ2) + ω (Q, λ1, λ2)

≥ φ (λ₁, λ₂) + |ω (Q, λ₁, λ₂)| ≤ −µ + µ

2 = −µ 2 <0

Ne consegue che P0 è punto di massimo relativo proprio. Passiamo all’ultimo caso: φ (λ1, λ₂) è indefinita. Cià implica che al variare di (λ1, λ₂) su Λ troviamo punti in cui è φ > 0 e altri per i quali φ <0. Ne consegue che φ è dotata di minimo assoluto −µ e massimo assoluto µ^′ >0. Cioè:

∃ (λ^′₁, λ^′₂) ∈ Λ | −µ = φ (λ^′₁, λ^′₂) = min

Λ φ

∃ (λ^′′₁, λ^′′₂) ∈ Λ | µ^′ = φ (λ^′′₁, λ^′′₂) = max

Λ φ

Inoltre:

Q→Plim0

ω(Q, λ1, λ2) = 0 =⇒

∃Γ∆_µ,µ′ (P0) ⊂ Iδ(P0) | Q ∈ Γ∆_µ,µ′ (P0) − {P0}

=⇒ |ω (Q, λ1, λ2)| ≤ ^µ₂, |ω (Q, λ1, λ2)| ≤ ^µ₂^′ Pertanto:

∀ρ ∈ (0, ∆µ,µ^′) , P^′(x0+ ρλ^′₁, y₀+ ρλ^′₂) , P^′′(x0+ ρλ^′′₂, y₀+ ρλ^′′₂) ∈ Γ∆_µ,µ′(P0) , per cui

f(P^′) − f (P0) = ρ²

2 [φ (λ^′₁, λ^′₂) + ω (Q, λ^′₁, λ^′₂)]

= ρ²

2 [−µ + ω (Q, λ^′₁, λ^′₂)] ≤ ρ²

2 [−µ + |ω (Q, λ^′₁, λ^′₂)|]

≤ ρ² 2

−µ + µ 2

= −1

4ρ²µ <0 f(P^′′) − f (P0) = ρ²

2 [φ (λ^′′₁, λ^′′₂) + ω (Q, λ^′′₁, λ^′′₂)]

= ρ²

2 [µ^′ + ω (Q, λ^′′₁, λ^′′₂)] ≥ ρ²

2 [µ^′− |ω (Q, λ^′′₁, λ^′′₂)|]

≥ ρ² 2

µ^′− µ^′ 2

= 1

4ρ²µ^′ >0 Ne consegue:

∀ρ ∈ (0, ∆µ,µ^′) , ∃P^′, P^′′ ∈ Iρ(P0) − {P0} | f (P^′) < f (P0) , f (P^′′) > f (P0) ,

(9)

2 PUNTI ESTREMALI

onde l’asserto.

Nel caso particolare n = 2 il teorema appena dimostrato fornisce un criterio di facile applicabilit`a.

Ricordiamo innanzitutto che data la forma quadratica (13) che qui riscriviamo φ(λ1, λ2) = fxx(P0) λ²₁+ 2fxy(P0) λ1λ2+ fyy(P0) λ²₂, il suo discriminante `e.

H(P0) = fxx(P0) fyy(P0) − [fxy(P0)]², che pu`o essere scritto come:

H(P0) =

fxx(P0) fxy(P0) fyx(P0) fzz(P0)

(15) e si chiama hessiano della funzione f nel punto P0. Per quanto visto, H (P0) `e il determinante della matrice hessiana della funzione f nel punto P₀:

fxx(P₀) fxy(P₀) fyx(P0) fzz(P0)

Per una nota propriet`a delle forme quadratiche, il teorema 5diventa:

Teorema 5 Hp:

1. f `e continua in A ed `e di classe C² in ˚A;

2. P0(x0, y₀) ∈ ˚A `e punto estremale per f.

Th. Considerata la forma quadratica:

φ(λ₁, λ₂) = fxx(P₀) λ²₁+ 2fxy(P₀) λ₁λ₂+ fyy(P₀) λ²₂ nelle variabili λ1, λ2, si ha:

A H(P0) > 0, fxx(P0) > 0 =⇒ P0 `e punto di minimo relativo proprio;

B H(P0) > 0, fxx(P0) < 0 =⇒ P0 `e punto di massimo relativo proprio;

C H(P0) < 0 =⇒ P0 non `e punto di estremo relativo.

Questo teorema lascia indeterminato il caso H (P0) = 0, in cui `e necessario studiare il segno della differenza di f (P ) − f (P0) in un intorno di P0.

Definizione 6 Un punto estremale che non `e punto di estremo relativo, si dice punto di sella.

Osservazione 7 Se fxx(P0) < 0, si ha H (P0) < 0 onde P0 `e punto di sella.

Esercizio 8 Determinare gli estremi relativi di f (x, y) = 2x³+ 6xy + y². Svolgimento.

La funzione assegnata `e di classe C^∞ in R² per cui possiamo applicare il teorema 5. Le derivate parziali prime sono:

fx(x, y) = 6x²+ 6y, fy(x, y) = 6x + 2y Le coordinate cartesiane dei punti estremali sono le soluzioni del sistema:

x²+ y = 0 3x + y = 0

(10)

Dalla seconda equazione y = −3x che sostituita nella prima ci da x² − 3x = 0 ⇐⇒ x = 0, 3

Quindi i punti estremali sono P0(0, 0) e P₀^′(3, −9). Calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine:

fxx(x, y) = 12, fxy(x, y) = 6, fyy(2) , da cui l’hessiano H (x, y) = 12 (2x − 3). Abbiamo:

H(P0) = −36 =⇒ P0 non `e punto di estremo relativo

H(P₀^′) = 36, fxx(P₀^′) = 36 =⇒ P₀ `e punto di minimo relativo L’esercizio seguente `e tratto da [1].

Esercizio 9 Determinare gli estremi relativi di

f(x, y) = x²+ 3y² e¹⁻(^x²^+y²) (16) Svolgimento

f `e di classe C^∞ su R². Le derivate parziali prime sono:

fx(x, y) = 2xe¹⁻(^x²^+y²) 1 − x²+ 3y²

(17) fy(x, y) = 2ye¹⁻(^x²^+y²) 3 − x²+ 3y²

I punti estremali sono le soluzioni del sistema di equazioni:

x [1 − (x²+ 3y²)] = 0

y[3 − (x²+ 3y²)] = 0 , (18)

che ammette la soluzione banale (x, y) = (0, 0). Inoltre per x 6= 0, y = 0 il sistema si scrive:

x²+ 3y² = 1 0 = 0

cio`e x² = 1 e y = 0, da cui la coppia di soluzioni (−1, 0) , (1, 0). Per y 6= 0, x = 0:

0 = 0

x²+ 3y² = 3

Cio`e x = 0, y² = 1, da cui la coppia di soluzioni (0, −1) , (0, 1). In definitiva abbiamo i punti critici Pk ∈ R²:

P₁(0, 0) , P₂(−1, 0) , P₃(1, 0) , P₄(0, −1) , P₅(0, 1) Calcoliamo le derivate parziali seconde. Iniziamo con fxx(x, y).

fxx(x, y) = ∂

∂x

h2xe¹⁻(^x²^+y²) − 2xf (x, y)i

= 2e¹⁻(^x²^+y²) + 2xe¹⁻(^x²^+y²) (−2x) − 2f (x, y) − 2xf (x, y)

= 2e¹⁻(^x²^+y²) − 4x²e¹⁻(^x²^+y²) − 2f (x, y) − 4x²e¹⁻(^x²^+y²) + 4x²f(x, y) 2e¹⁻(^x²^+y²) − 8x²e¹⁻(^x²^+y²) + 4x² − 2 f (x, y)

2e¹⁻(^x²^+y²) − 8x²e¹⁻(^x²^+y²) + 4x² − 2

x²+ 3y² e¹⁻(^x²^+y²)

= e¹⁻(^x²^+y²) 2 − 8x²+ 4x²− 2

x²+ 3y²

(11)

2 PUNTI ESTREMALI

Cio`e:

fxx(x, y) = 2e¹⁻(^x²^+y²) 2x⁴− 5x² + 6x²y²− 3y²+ 1

(19) Calcoliamo fxy(x, y).

fxy(x, y) = ∂

∂y

h2xe¹⁻(^x²^+y²) − 2xf (x, y)i

= 2xe¹⁻(^x²^+y²) (−2y) − 2xfy(x, y)

= −4xye¹⁻(^x²^+y²) − 4xye¹⁻(^x²^+y²) 3 − x²+ 3y²

Cio`e:

fxy(x, y) = 4e¹⁻(^x²^+y²)xy x² + 3y²− 4

(20) Infine:

fyy(x, y) = 2e¹⁻(^x²^+y²) 3 − 15y²+ 6y⁴− x²+ 2x²y²

(21) Calcoliamo l’hessiano nei punti trovati:

H (0, 0) = 12e²

fxx(0, 0) = 2e =⇒ P1(0, 0) `e punto di minimo relativo H(−1, 0) = −16 =⇒ P2(−1, 0) `e punto di sella

H(1, 0) = −16 =⇒ P3(1, 0) `e punto di sella

H (0, −1) = 48

fxx(0, 0) = −4 =⇒ P4(0, −1) `e punto di massimo relativo

H (0, 1) = 48

fxx(0, 1) = −4 =⇒ P5(0, 1) `e punto di massimo relativo

Data la mole di calcoli, [1] fornisce una routine in ambiente Mathematica che permette la ricerca degli estremi relativi di una funzione di due variabili. Inoltre `e possibile utilizzare tale ambiente per distinguere i punti estremali dai punti di sella, ricostruendo le curve di livello della funzione.

Ricordiamo che le curve di livello di una funzione f : A → R con A ⊆ R², sono curve del piano xy di equazione:

f(x, y) = C, con C ∈ f (A) (22)

Abbiamo, dunque, una famiglia di curve di livello:

F =Γ ⊂ R² | Γ : f (x, y) = C, C ∈ f (A)

(23) Ciascuna curva di livello `e univocamente individuata dalla costante C ∈ f (A). Supponiamo, ad esempio, che la funzione sia f (x, y) = x²y, da cui A = R² f(A) = R. Le curve di livello di questa funzione compongono la famiglia di iperboli equilatere:

F =

Γ ⊂ R² | Γ : y = C

x², C ∈ R

,

e per C = 0 l’iperbole degenera nell’asse x. Dalla (22) vediamo che la generica curva di livello è data in forma implicita. Nei casi più semplici, la (22) può essere esplicitata rispetto a una delle variabili x, y. Se, invece, l’espressione analitica della funzione f non consente di esplicitare la (22), allora si ricorre a un sistema di computer algebra per ricostruire in software le curve di livello. Ad esempio, nel caso della funzione (16), si ha:

x²+ 3y² e¹⁻(^x²^+y²) = C,

(12)

0.33 0.33

0.66 0.66

0.99

1.32 1.32

1.65

1.98 1.98

2.31

2.64 2.64

-2 -1 1 2

x

-2 -1 1 2 y

Figura 1: Curve di livello della funzione f (x, y) = (x²+ 3y²) e¹⁻(^x²^+y²). Le cifre indicano i valori di C tali che (x²+ 3y²) e¹⁻(^x²^+y²) = C.

che non sappiamo esplicitare. Mathematica dispone del comando ContourPlot[] in cui si specifica la cardinalit`a dell’insieme di curve di livello da visualizzare. In fig. 1 riportiamo l’insieme composto da 8 curve di livello della funzione assegnata. Da tale figura vediamo la presenza dei punti di estremo relativo P1(0, 0) , P4(0, −1) , P5(0, 1) e dei punti di sella P2(−1, 0) , P3(1, 0).

Per quanto precede, ricostruendo in software le curve di livello di una assegnata funzione f (x, y)

è possibile dedurre la presenza di punti di estremo relativo, senza però distinguere i massimi dai minimi (relativi). Un aiuto in tal senso è dato da un density plot, come illustrato in fig. 2. Qui è ben visibile la presenza di un minimo relativo nell’origine (una buca) e di due massimi relativi in (0, ±1).

La presenza di punti di estremo relativo pu`o essere rilevata dal tracciamento delle sezioni della superficie z = f (x, y) con uno dei piani coordinati Ad esempio:

z = f (x, y)

x= 0 ⇐⇒ z = g (y) , dove

g(y) = f (0, y) = 3y²e^1−y² Nell’intervallo y ∈−⁵₂,⁵₂, otteniamo il grafico di fig. 3.

In maniera simile:

z = f (x, y)

y= 0 ⇐⇒ z = h (x) , dove

h(x) = f (x, 0) = x²e^1−x² Nell’intervallo x ∈ [−2, 2], otteniamo il grafico di fig. 4.

Possiamo ora tracciare il grafico della funzione in cui sono ben visibili i punti di estremo relativi (cfr. fig. )

(13)

2 PUNTI ESTREMALI

-2 -1 1 2

x

-2 -1 1 2 y

Figura 2: Un density plot della funzione f (x, y) = (x²+ 3y²) e¹⁻(^x²^+y²).

-

5

2 -1

5

1 2

y 0.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 z

Figura 3: Grafico della sezione di z = f (x, y) con il piano coordinato yz.

(14)

-2 -1 1 2 x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 z

Figura 4: Grafico della sezione di z = f (x, y) con il piano coordinato xz.

Figura 5: Grafico della funzione f (x, y) = (x²+ 3y²) e¹⁻(^x²^+y²).

(15)

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Riferimenti bibliografici

[1] Wagon S., 1992. Guida a Mathematica, MacGrawHill, Torino.