Quaderni di Matematica – 2015
Matematica Open Source
– http://www.extrabyte.infoFunzioni primitive e valore assoluto
Marcello Colozzo
-4 -2 2 4
x
-10 -5 5 y
1 Funzioni primitive e valore assoluto. Integrali fondamen- tali di funzioni iperboliche
Una questione spesso trascurata `e la generalizzazione dell’espressione della primitiva di una assegnata funzione f : X → R. In realt`a abbiamo gi`a trattato tale problema nella ricerca di una primitiva di x−1. Siamo infatti portati a scrivere:
Z dx
x = ln x + C, (1)
giacch`e dxd ln x = 1x. `E chiaro che la (1) ha senso solo per x ∈ (0, +∞). D’altra parte:
ln |x| = ln x, x > 0 ln (−x) , x < 0 Distinguiamo i due casi:
• x > 0
d
dxln |x| = d
dxln x = 1 x
• x < 0
d
dxln |x| = d
dxln (−x) = 1
(−x)· (−1) = 1 x Cio`e
d
dxln |x| = 1
x, ∀x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) Quindi:
Z dx
x = ln |x| + C (2)
Si noti che a differenza della (1), la (2) ha senso per x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Ne consegue che la famiglia delle primitive di x−1 `e
F = {ln |x| + C | C ∈ R} (3)
Notiamo incidentalmente che ln |x| `e una funzione pari, onde il suo grafico `e simmetrico rispetto all’asse y, come mostrato in fig. 1. In fig. 2vediamo, invece, il grafico di alcune primitive di x−1.
Vediamo ora altri integrali che coinvolgono valori assoluti. Ad esempio:
Z dx
√x2+ 1 = ln x +√
x2+ 1
+ C (4)
Infatti:
d dxln
x +√
x2+ 1
= 1
x +√ x2+ 1
1 + x
√x2+ 1
= 1
x +√ x2+ 1
x +√ x2+ 1
√x2+ 1
= 1
√x2+ 1 Osserviamo che x +√
x2+ 1 > 0, ∀x ∈ R, per cui possiamo omettere il valore assoluto. Inoltre, sappiamo che ln x +√
x2+ 1 =arcsinhx, quindi l’integrale (4) si pu`o anche esprimere come
-4 -2 2 4 x
-2 -1 1 y
Figura 1: Diagramma cartesiano della funzione ln |x|.
-4 -2 2 4
x
-10 -5 5 y
Figura 2: Diagramma cartesiano di alcune primitive di 1x.
Ora dimostriamo che Z
√ dx
x2− 1 = ln x +
√x2− 1
+ C (6)
Non dobbiamo fare altro che calcolare la derivata del secondo membro. Per svincolarci dal valore assoluto, studiamo il segno del suo argomento:
x +√
x2− 1 > 0 ⇐⇒√
x2− 1 > −x ⇐⇒ x ≥ 1 x +√
x2− 1 < 0 ⇐⇒ x ≤ −1, onde
ln x +
√x2− 1 =
ln x +√
x2− 1 , se x ≥ 1 ln− x +√
x2− 1 , se x ≤ −1
• x ≥ 1
d dxln
x +
√x2− 1 =
d dxln
x +√
x2− 1
= 1
x +√ x2− 1
1 + x
√x2− 1
= 1
√x2− 1
• x ≤ −1
d dxln
x +
√x2− 1 =
d dxlnh
− x +√
x2− 1i
= − 1
x +√
x2− 1· (−1) ·
1 + x
√x2− 1
= 1
√x2− 1,
da cui la (6) che possiamo riscrivere precisandone il campo di validit`a:
Z dx
√x2− 1 = ln x +
√x2 − 1
+ C, x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) Se x ∈ (1, +∞) `e x +√
x2 − 1 > 0, per cui possiamo omettere il valore assoluto. D’altra parte ln x +√
x2− 1 =arccoshx, quindi:
Z dx
√x2− 1 = arccoshx + C, x ∈ (1, +∞) (7) Un altro integrale notevole `e:
Z dx 1 − x2 = 1
2ln
1 + x 1 − x
+ C, (8)
che si dimostra derivando il secondo membro. Per x ∈ (−1, 1) `e 1+x1−x > 0, quindi possiamo omettere il valore assoluto, e ricordando che 12ln1+x1−x =arctanhx, si ha:
Z dx
1 − x2 = arctanhx + C, x ∈ (−1, 1)
Calcoliamo a parte il secondo integrale nell’ultimo membro dell’equazione precedente:
Z
e−xdx = − Z
e−xd (−x) = −e−x+ C2, ∀C2 ∈ R Quindi
Z
sinh xdx = 1
2 ex+ C1+ e−x+ C2 ,
giacch`eR exdx = ex+ C1, ∀C2 ∈ R. Ponendo C = 12(C1+ C2), si haR sinh xdx = 12(ex+ e−x) + C.
Cio`e: Z
sinh xdx = cosh x + C (9)
Allo stesso modo si dimostra Z
cosh xdx = sinh x + C (10)
Passiamo alla ricerca delle primitive di tanh x:
Z
tanh xdx =
Z sinh x cosh xdx =
Z d (cosh x) cosh x
= ln |cosh x| + C Ma |cosh x| = cosh x, per cui
Z
tanh xdx = ln cosh x + C (11)
Segnaliamo infine:
Z dx
cosh2x = tanh x + c,
Z dx
sinh2x = − coth x + c (12) Di seguito la tabella degli integrali fondamentali.
Z
xλdx = xλ+1λ+1 + C, (λ 6= −1) Z
√dx
1−x2 = arcsin x + C = − arccos x + C′ Z
dx
x = ln |x| + C
Z
dx
1+x2 = arctan x + C = − arccot x + C′ Z
axdx = ln aax + C, (a > 0)
Z
sinh xdx = cosh x + C Z
exdx = ex+ C
Z
cosh xdx = sinh x + C Z
sin xdx = cos x + C
Z
dx
cosh2x = tanh Z
cos xdx = − sin x + C
Z
dx
sinh2x = − coth x + C Z
dx
cos2x = tan x + C
Z
√dx
x2+1 = ln x +√
x2+ 1 + C =arcsinhx + C Z
dx
sin2x = − cot x + C
Z
√dx
x2−1 = arccoshx + C, x ∈ (1, +∞) ln
x +√
x2− 1
, x /∈ (−1, 1) Z
dx 1−x2 =
arctanhx, x ∈ (−1, 1)
1 2ln
1+x
1−x
, x /∈ (−1, 1)
