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G~'ni,

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~IETRON

RIVISTA INTERNAZIONALE DI STATISTICA - REVUE INTERNATIONALE DE STATISTIQUE INTERNUIONAL REVIEW OF STATISTICS - INTERNATIONALE STATI S TlSCHE RUNOSCHAU

DIRETTORE PROPRIETARIO - DIRECTEUR ET PROPRIETAIRE EDITOR ANO PROPRIETOR - HERAUSGEBER UNO EIGENTHUEMER

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ott.

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EDITORIAL SECRETARIES - REDACTIONSSECRETAER ' j

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s ' ... ~) r ( :'. \

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Prof. Jacopo Tivaroni ord. nell' Università di Ferrara (Ita1ia5~'.,-.~~.~.~~~

Vol. III. N. 3-4 1 • Il - 1924

SOMMARIO SOMMAIRE CONTENTS INHALT

G. Pietra, Interpolating plane curve pago 311

R. A. Fisher, The distribution of lhe parti,al correlation coef·

ficienls » 329

(Continuazione a pagina seguente)

FERRA HA (ITALIA)

CASA EDIT~ICE TADDEI

46 V ia dei R/)mei

L. March, Les indices économiques

Annexe: Résolutions adopteés par l' lnstitut in- ternationa l de statistique au cours de sa XV.

Session tenue à Bruxelles du 1 au 6 Octobre 1923

Gini

Berardinis, Sulle vaccinazioni antiti-

fiche nell'esercito italiano durante la guerra

On Some Statistical Aspects of the

Problem of Human Nutrition

F. Savorgnan

La fecondità delle aristocrazie. l: Le case mediatizzate della Germania

M.

Ptucha, Die Sterblichkeit in Russland .

I.

La Comunità

di Trieste. (Studio di demografia storica).

L. Li vi, U'f!t' indagine sulla dinamica dei redditi nella crisi della guerra e del dopo-guerra

J. Pfitzner, Aufgaben und Ziele der intern(1;tionalen Handelsstatistik .

W.

Feld, lnternationale Bibliographie der Statistik der Kindersterblichkeit

. A.

ensen, + Marcus Rubin E. Wiirzburger, t Victor B6hmert

pago 334-

» 357~

»

363

» 4~4

»

4B9

»

469

» 5~1

»

556

»

590

»

604-

»

696

»

698

r.

L

GAETANO PIETRA

Interpolating pIane eurves

:I. Interpolation, generally, assumes that in the relation y

F(x), y alone is subject to error while x, the independent variable, is an exact quantity.

The hypothesis that the independent variable is also sub- ject to error has been considered only with regard to interpolat- ion by a straight line, by Dr. L. F. REED and prof. GINI in two papers published in «Metron»

from w hich this paper originates and to which therefore I wish to refer as a starting point in my investigations.

/8. The object of Dr. REED'S paper is to find a straight line which fits a set of observed points ofthe pIane so that it makes the sum of the squares of the distances between the points and the interpolator curve a minimum.

This method, due to Prof. PEARSON and by PEARSON extended to a pIane which fits a set of observed points of the ordinary space 2), may be extended, without any difficuIty, to find a space of n - 1 din1ensions which fits a set of observed points of a space of

dimensions.

3. Both x and y coordinates of a set of observed points being affected by accidenlaI errors of observation, GINI suggests a method of fitting a straight line, by adding to the method of Ieast squares a suitabIe correction as a function of the error of the independent variable.

Let e and l respectiveIybe the error of x and y, supposing the k value onIy of the ratio -:1~ be known, still GINI gives the

i)

L. F.

Metron

VoI. I, n

3, and C.

Sull' interpulazione di Una retta quando i valori della variabile indipendente 8~no. affetti da errori accidentali, id. id. id. - Cfr. also C. GINI, Consiaera- z~on", sull' interpolazione e la perequazifJ'tìe delle serie stàtistiche, id. id. id.

2) PEARSON,

«Phil.

312

formulae of his method of fitting and, at the same time, he shows that PEARSON'S method may be reduced to a particular case of his own, when we put in GINI'S formulae k

1, that is, when the errors of ro aDd

may be considered as having, on an average, the sa me entity .

•• In this paper I wish to consider the influence of the errors of the variables in the interpolation of a pIane curve.

Parabolic curves will be particularly considered and generaI equations of condition will be established to fit a pIane curve y = ^f(ro), according to the roethod of Ieast squares, both y and ro coordinates of a given set of points being subject to error.

In another paper I propose to determine also for the ordinary parabola, as GINI did for the straight Une, the. parameters of

:28

the equation as functions of k

2;,2 value of the errors of the variables.

5. Let two sets of quantities, obt ained by direct and exact observation, be denoted _ by the following successions of values

(1) Yu Y2···· .. Yn

Both ro and Y being atiected by accidental errors of observation, let thero be denoted by:

(2)

where:

or more briefly:

re' =ro+ e

(3)

I

1

313 , and

being respectively the accidental errors of observation of x and y.

Th~n,

n being large enough, we shall ha ve : . Ze=O,

...

ZA

0,

0,

O... .. (3')

~e1, = °

Moreover, since ro and y are independent of e and A, denoting by F(roy) a function of ro and y, we may write:

~

e F(roy)

0, :3l F(roy)

0,

eS F(roy)

O and so on.

Denote by Aro, A y, Aa:' Ay, the arithmetical means of (1) and (2). Since according (3) and (3')

we shall have:

Putting:

x=x-A

x'=x'-A

- _{y = y -} A y , y = y - -/ , .A

we shall have:

-

e = 00' - x , l = y' - y ..

An the above relations will be useful during the course of our investigations.

8. Let the (1) values be considered as orthùgonal coordina-

tes of a pIane curve: . .

314

f(xy) = o (4)

Solving for y and x, let us write:

y = q;(x) (5)

and:

x

1/J(Y) (6)

Attribute in (5) to the independent variable the

values, consequently y will take the

values. Thus if in (6) we put for

Y

the

values, we shall have for

the

values.

Knowing the

exact values of

and the y/ observed values, it is possible to find, by the Inethod of least squares, the exact parameters of (5) as functions of

and Y/.

Let (5) be, for instance, an ordinary parabola:

ii

a + ^{li + ^{'Y X2 (7)}

acc·ording to the method ofleast squares, we shall have:

(8)

,. In the same manner, if we consider (6) and if we know the exact values of Y and the x/ values of x, we can find, by the method of least squares the exact paralneters of (6) as functions of

and

, ^t

~ .

315 In this connection I wish to observe that if q;(x) contains the unknownparameters in linear fo rm, this does not generally happen for 1jJ(y) so that

the method of Ieast squares is stilI rigorous, it càiiRne àpplied onIy by indirect and very Iaborious caIcuIations.

Anyhow a set of observed points being given by their coordinates, we can interpolate a curve of a certain type taking that form of the anaIyticaI expression of the curve which con- tains Iinear parameters onIy.

Of course it depends froln' the choice of the independent variable.

If for instance:

(9) by the Jnethod of Ieast squares, y being an exact quantity x'

instead an observed quantity, we shall have the following formulae:

(10)

which are anaIogous t9. (8).

/ But (7) has the axis parallel to that of the ordinates and the concavity according to the positive or negative direction of the same axis, ~ccording to the sign of 'Y; while (9) has t~e axis parallel to the axis of the abscissae and the concavity positive

" or negative corresponding to the sign of

316

8. So]ving (7) for x we can see that, even foran ordinary parabola (6) contains parameters in non -linear formo In fact, we obtain

~l!.,~.~ever,

in this particular case ,we notice that if it is possible to transfer to axes parallel to the originaI axes, having for ,origin:

_ p _ ^{4 ay -} p3

X

= - - y =

2" ' 41'

the equation of the parabola in terrns of the new coordinates X and Y beconles:

(11) and then

(12)

Now taking X as exact indepeadent variable, Y being subject to error, determining ,(11) according to the method of least squares, we shall have:

(13) Taking instead Y as independent variable, X being subject to error, deterrnining (12) we shall obtain:

(2 y)2

'Y

(2 X' YYj2 (14)

The (13) and (14) yield values of "I generally unequal and the difference may be sometimes very considerable.

Let Y, for instance, be successively:

1,4,10,20,25,35,50,65.

/

I

· and X respectively:

10, 15, 25, 35, 50, 40, 30, 20

supposing, firstly, X exact and Y subject to error, since:

~À2y'

= 221.250

~X4

= 11.732.875 according to (1

we shall ha ve : .

,,= ^Ò,019

y

/

/

/ / .

t./

/

/ /

I I / I

I

I I I

J.

Let instead Y be exact and X subject to error, since:

2Y= 210 2X'(Y= 1136

according to (13) we shall have:

,,= ^0,034

317

318

Hence we obtain two different parabolae:

Y=O.019X

Y=O. 034 X

See for (n

in the fig. I the solid curve and for (n

the broken curve.

B. Returning to (5) let us suppose known only the inexact values both of the independent and dependent variable.

Let us also assume, for a moment, the

known values of the independent variable to be exact quantities.

In this case, by the method of ]east squares we should have the following equations of condition : .

~ [y' _

-~

(x') = ^O

da

~ [y' -=-

(x')] ~-~ ~X') = ^O

(15)

a, {J, " ... being the unknown parameters appearing, for simplici- ty, in (5) in linear form only.

Let (5) be èapable of expansion by Taylor's theorem and indicate by:

F'

F"

. B'

FU

. F' r ,L'r ....

(16) the successive derivates by x of the functions

Then, applying Taylor's theorem, the equations (15) becolue:

(18)

~[y' ^- lp(x + e)]~9?~~+e) ⁼ ~IFa + ^{e F' a} + 1~~2 Fa" + .... 1 = ^O

• 319 similar equations being established with reference to Il, y, . ..

parameters. The above formulae may be greatly simplified by considering that, e and (16) being independent, we may write:

in generaI the terms of (9) which contain the odd powers of e vanishing.

Therefore we shall have:

similar equations being established with reference to

y .. ..

parameters.

Put, now

(20) then the first term of the second member of (19)becomes an equation of condition for the nlethod of least squares in the case that the independent variable . may be regard(>d as an exact quantity. Hence, there wiU be, in generaI, no system of values a,

y, ... which satisfy at the same time both (19) and (20).

However the relation now established wiU enable us to find the exact values of the paranleters of the inteupolator curve y =

by the following equation of condition :

(21)

,,--,,[ , (')] ~,x e<

F"

F

l O

~l

Y -

x da - ^2T

^4!

e being, as we know, the error of thé independent variable .

• 0. The (16) containing, in generaI, the unknown value of m it is necessary to substitute x' and e.

Let us, for instance, consider the ordinary parabola (7).

We have:

F "

=0, F "

+

,'",

320 •

Then, considering that, n being large enough

and

2é=_~(282P n

the equations of condition may be written as follows:

n a

'Y (200'2 - 26

O

P (2X'2 - 28

+ ^{'Y 2X'3}

^2-:é'y'

3

(

+

+

a

n _

y Hence

~x'y' - 'f ~m'3

{ J = - - - -

~W'2 - ~e2

n

(22)'

Considering, instead, the parabola (9) we sball bave analogous formulae:

(~'S)2

~y'2

_

(

~x'y' - ,,'~y'3

~y'2 _ ~l2 '~y'2 - ~X~

a

- l ' - - n - ' -

321

Put in (22)

== O , put in (23)

== ^O we shall obtain im- mediathly (8) and (10).

:1:1. Let us now take, as an application of the preceding formulae, the example on pago 80 of

papero

. In this case we have:

n == ¹³

A~/== ¹⁵⁷⁹

Aff" == ¹⁶⁹⁰

~w'

== ^43.961

. ~OO'2 == 57.399

~y'2 == 55.589

"

•

~ro'2il == - 1.056.239 ·

~y'2ro' == - 31.413

~W'3 == -1.760.155

~y'3 == 90.781

~X'4 == 518.049.831

~y'4 - 401.336.741 Let 2e

O , from (22) we shall obtain:

,,= ^0,0014

Il =0,8088 a

6,1814

•

322

Put instead, for instance, in the sam.e formula (22):

2e

=·4.400 we shall have:

1'.== 0,0031

p== ^{0,9324 (25)}

a == - ^12,6930

Put

2e

== 8.400 we shall have.

y == ^0,0082 t

P == ^{1,1900 (26)}

a == - ^30,9080

Put

~82 .

13.400

we shall have:

y== - 0,0449

P' - 0,8000 (27)

a == ^152,0000

Put

2e

= 17.400 we shall have:

y = - 0,0119

{J = 0,5754 (28)

a == ^36,6200

Let

== ° , from (23) we shall have:

y == - ^0,0006

P ==0,7918 (29)

a == ^2,6939

Put instead, for instance, in the same formula (23)

we shall have:

Put

We shall have:

Put

we shall ha ve :

Put

we shall have:

~À ²

== ^4.400

1'.== - 0,0012 {J == ^0,8609

a == ^4,7251

y==-0,0038 {J == ^0,9810

a

== ^13,8000

l' == ^0,0085

{J == ^0,9820

a

== - ^29,0000

l' == ^0,0015

{J == ^1,1472

a== -

4,4077

323

(30)

(31)

(32)

326

Put in pIace of X and y their values x - Aro Y - Ay , easily, by very known formUla; of transformation, we shall obtain from (24), (25), (26), (27), (28), (29), (30), (31), (32), (33) the followlng parabolae:

y == 7938 - 8,85 x + ^0,0031

y == 20224 - 24,70 x + ^0,0082

y == - ¹⁰⁸⁸⁴¹ + 141,00 x -0,0449

(P4) y == - ²⁸⁸⁵¹ + 38,16x - 0,119

(P

x

==

¹⁴⁷⁰ + 2,82 Y - 0,0006

(P

x == - 3306 +4,92 Y - 0,0012

(P

x == - ¹⁰⁸⁴⁴ + ^{13,82 Y - 0,0038 y2}

X :=:

24250 - 27,75 Y -t 0,0085 y2 . (P4,') x == 3921 - 3,98 Y + ^0,0015

^(P5')

According to the sign of the coefficient of the term of second degree in x the axes of P

P

Pa wiU take the positive direction of the axe y; the axes of P4' P

wiU take instead the negative one. In the same way P

P'

wiU have the axes according to the negative direction of the axe

P'

P'o instead according to the positive one.

"

327 rrhus we may conclude that: the influence of the errors or the variables may even change tlte direction of the concavity or the fnterpolrttor parabola.e .. Moreover to establish opportune comparison, calculate also the interpolator straight lines which correspond successively to the above parabolae and are analytically expressed by the equations:

y==500+0,76x (R

Y == 380 + 0,83 x ^(R

y ==269+ 0,9000 (B

y==111+oo (R

y == - 47 + 1,10

(R5)

X

== 244+ 0,79 Y (R/)

x== 126+ 0,86 Y

x== 7 +O,93y (R _s')

x==-111+y (R

x == - 364+ 1,15y (R5')

rrhus we nlay see that also in the case of the straigt line the influence of the errors of the variables is very considerable 1).

"Ve shall not carry the subject further now. A good generaI idea of the different interpolations here discussed is conveyed by the graphs of fig: II and III which are self - explanatory.

(i)

In this connection I wish to notice that

does not seems very clear to me how Prof.

in a recent paper (Lineare Ausgleichung und Kor-

·relation,« Archiv fiir die gesamte Psycologie »,

XLIV

which is under other aspects very interesting, reaches also the conclusion that the influence of the errors in the interpolation of

straight line is

ttle , so that it may be practically neglected. Prof.

in his cited paper Sull'interpolazione di

etc, had he also, put in evidence that the parameter

of a interpolator straight line

==

+ fJ

may sometimes show in the intervall

Is²

(0,00)

of

a very large variation, that, for instance, is more than

in the example on pago

where:

for

== O for i/k == O

fJ ==

==

' J

328

._. In this paper we have demostrated the practicai impor- taI1:ce of errors of observation in the application of the method of least squares and have established generaI formulae as fune- tions of the observed quantities and their errors of observaÌion.

Further; we have examined different aspects of parabolie interpolation.

RIASSUNTO

Generalmente nella trattazione dell'interpolazione si suppone che i soli valori della funzione sieno affetti da errori, mentre i valori della variabile indipendente si possono considerare COUle esatti.

L'ipotesi che anche la variabile 'indipendente possa esser soggetta ad errore era stata dal

e dal

studiata soltanto nel caso d-ell' interpolazione lineare. Nel mio articolo ho voluto pertanto estendere le ricerche al caso generale del- l'interpolazione di una curva qualunque ed ho così messa in evidenza l'influenza degli errori delle variabili nell' applicazione del metodo dei ,minimi quadrati.'

Considerazione particolare ho data all' interpolazione para- bolica mostrando, anche con esempi numerici, i diversi aspetti sotto i quali questa si presenta a seconda dell' entità degli errori delle variabili osservate.

Padova, Gabinetto di Statistica, giugno 1923

R. A-.

Tile distribution

0.- the partiBI eorrelation eoeffieient

1.

In ascertaining the exact distribution in random samples to which the correlation coefficient between two normally distributed variates is subject, the fol1owing geometrical de- vice was utilised (1. 1915).

Let _

represent the n values of one variate in the sample, and Yl' Y2' ... ' Yn the n values of the second variate; let x ^and y be the means; then the quantities x - x,

y - ii may be regarded as coordinates in n-fold Euclidian space oi' t-wo points P and Q. If O be the origin of coordi- nates the lengths OP and OQ will be proportional to the standard deviations of the two variates as estimated from the sample; upon the directions of OP and OQ wilI the correlational properties of the two variates depend. In par- ticular it is easy to see that "the correlation between x and y as estimated by the formula,

S(X - x) (y - y)

r -

- YS(x - 00)2. S(y _ y)2'

wiU be the cosine of the angle between OP and OQ.

I t may be noted that if any pair of observations, say

and Yl' be omiUed, the effect of doing so will be to project

the above mentioned figure upon a region at right angles to

one oi' the axes of coordinates. Hence the distribution of r

as obtained from the projected angle, wilI be the same as

that for (n - 1) observations taken at randonl. -

330

The fact that r depends only on the angle between two radii vectores shows that it is invariant for orthogonal trans-·

formations of coordinates; we may therefore enunciate the following proposition. If x'

be tlle coordinates of p with respect to any system of rectangular ,axes through 0, and y'1' y'2'····

the corresponding functions of Yl' Y2'··· .• Ym then the correlation, in any sample, between x' and y' is equa l to thrtt bptween x and y. Moreover, if

be normally and independently distributed. then also wiU

be normally and independently distributed.

This proposition may be applied to a variety of problelns.

It leads directly to . the solution of the distribution of the partial correlation coefficient. For let zl' Z2'...

be the va- lues of any third variate, and let R be the point whose coordinates are z - z. Then the correlations of

with x and y are the cosines of the angles which

makes with

and

that is of the sides of the spherical triangle deter- rnined by the radii

and

but the partial corre- lations are the cosines of the angles of this triangle. So that the partial correlation between x and y, is the cosine of the angle between the projectionsof OP and OQ upon the region perpendicular to

lf therefore we choose a new set of orthogonal coordi- nates such that one of· them lies along

it appears that the total correlation between

and y is still the correlation obtained from n independent pairs of values of normally distributed variates, but that the p arti al correlation is the correlation obtained from (n - 1) independent pairs of

or- mally distributed variates. Consequently the random sampling.

distribution of the partial correlation obtained from n pairs

of values, when one variate is eliminated, is the same as the

random sampling .distribution of a total correlation derived

from (n - 1) pairs. By mere repetition of the above reasoning

it appears that when s variates are eliminated the effective

size of the sample is diminished to

The investiga-

tions of

in 1907 (6) indicated that the probable error of

a partial correlation should be the same as that for a tota)

correlation derived from a sample of the same size. Our result

may be regarded as confirming this approximation provided

that the nUlnber of variates eliminated is a small fraction of

the number of the sample.

331 2.

J. W.

has investigated experimentally the distribu- tion of the partial correlation coefficient in three experiments.

In the first of these (2. 1920) 1000 values were obtained with uncorrelated variates. rrhe distribution of the variates was far from nonnal, and the conditions of sampling allowed no variation in the standard deviations. In spite of this, how- ever, the distribution 01' the total correlations seem to agree with the theoretical expectation. In the second and third experiments (3. 1923), giving 200 and 100 values respectively, the conditions of sarnpling allow of a nearer approach to random normal samples; in these experiments the variates were highly correlated, though the partial correlation invest- igated is still nearly zero. The distribution of the total cor- relations was shown to agree with the theoretical expect- ation, the latter being calculated by the laborious lnethod developed in Biometrika (4. 1917) and not by the direct trans- formation since given in Metron (5. 1921). In all cases the size ol' the sample was 30; so that the variance of the true distribution of the partial correlations was 1/28, whereas that for the total correlation would be 1/29. To discriminate experimentally between these two values would need samples amounting to about 6000, whereas in aH we have only 1300 observations.

BISPHAM

only compare8 his results with the theoretical distribution of the tota1 correlation coefficient, and finds the values to be effectively in agreelnent. This is' to be expected.

It may be note d, however, that in alI these cases the ob- served standard deviation exceeds bis expectation. A nIore refined test of the agreement luay be made by noting that, if r is normally distributerl with standard devÌation a, then, for a sample of

1

-~ • (1' - r)

(J"

is distributed in random saluples in the

distribution ,coro

responding to (n - 1) degrees of freedom; consequently its

expected value is

1). 'Ve give below the expected values,

332

and those calcuiated from the observations taking 1

equal

(12

to 28 and to 29.

Experiment 1 ?2 3 Totai Y2 x. 2 - Y2593 28 S(r - r)2 980.78 210.20 101.27 1292.25 -.104 29 S(r - r)2 1015.81 217.71 104.80 1338.41 +.816 Expectation 999 199 99 1297

It is evident that the value calculated from the true dis- tribution is somewhat nearer to the expectation than that derived on the supposition that the partial and the total correlations have the same distribution. 'rhe difference, how- ever, cannot be regarded as significant. This may be directly tesfed by comparing the values oi' V2 X2 with Y2 ^{n - 1, where}

n

is the expectation. The difference hus a standard deviation of 1. The values do, however, show the advantage of the true variance.

The differences would, of course, be more strongly marked in smaller sanlples, and especiaJly so if several variaies were

eliminaterl. .

ZUSAMMENFASSUNG

Es ist nachgewiesen, dass die exakte Form del' Verteilung in beliebigen normalen aufs Geratewohl genommenen Proben des partiellen Korrelationskoeffizient

der des totalen Kor- relationskosffizient hergeleitet werden kann einfach rlurch Sub- traktion der Anzahl der eliminierten Variabeln von der Anzahi der Proben. Die Fehlerbehandlungsmethoden der totalen Kor- relationskoeffizienten fur beliebige auf Geratewohi genommenen Proben, welche in (5) entwickelt sind, konnen daher unmittelbar fur die partiellenKorrelationskoeffizienten irgendwelcher Ord- nung benutzt werden.

Vorliegende experimentelle Daten fur die Verteilung der

partiellen Korrelationskoeffizienlen in Proben von 30 stimmen,

wenn der partielle Korrelationskoeffizient der Bevolkerung bei-

nahe Null ist, mit der oben entwickelten theoretisehen Vertei-

lung uberein.

333

REFERENCES

1. R. A.

(1915), The frequency distribution of the

of the correlation coefficient" in samples front an indefinitely large population. Biometrika, X pp. 507-521.

2. J. W.

(1920), An experimental detet'mination of the distribution of the parti a l correlation coefficient in samples of thirty. Roya1 Soc. Proc. A. XCVII, pp. 218-224.

3. J. W.

(1923), An experimental determination, of the distribution of the partial correlation coefficient in samples of thirty. Metron II. pp. 684-696.

4. Co-operative Study (1917), On the distribution of the correla- tion coeffwient in smallsamples. Biometrika XI, pp. 328-413.

5. R. A.

(1921), On the "Probable Error" of a coeffi- cient of correlat'ion deduced from a small sample. Metron I, Pt. 4, pp. 1-'32.

6. G.

(1907), On the theory of correlation for any number of variables treated by a ne'IV system of notation.

Roy. Soc. Proc. A. LXXIX, pp. 182-193.

LUCIEN MARCH

Les indiees éeonomiques

Depuis l'article publié dans «Metron» (1), sur

la lnesure du mouvement général des prix» de nombreux travaux ont été con- sacrés à la question des indìces statistiques, en particulier aux indices du mouvement général des prix ainsi qu'à ceux du cout de la vie. Notamment, la Conlmission économique de la Société des N ations a ren voyé à l'Institut International de statistique le rapport préparé à ce sujet par une Commissions d'études.

Celle - ci avait été constituée pour répondre à un voeu de la Con- férence de Genes relatif à l'unification des méthodes de sta- tistique appliquées dans les di vers pays.

L'lnstitut international de statistique a examin6 le rapport de cetle Commission au cours de la. session tenue à Bruxelles .du l

au 5 Octobre 1923; on trouvera à la suite de cet article

le texte des résolutions relatives aux indie es économiques.

Les études précédentes, les travaux publiés récemment par divers auteurs, et les controverses auxquelles ils ont donné lieu, n'ont point eneo re dissipé entièrement le conflit d'idées qui obscurcit certaines parties de la question des indices. Il n'y a point lieu de s'étonner quand on songe, par exemple, que l'observation du mouvement général des pi'ix .se rattache, ainsi que je l'ai fait remarquer dans l'article précité, à des problèmes difficiles, soit de la logique, soit de l'économie politique.

Souvent d'ailleurs, les memes expressions s'entendent dans des sens différents: par exemple les notions de mesure ou de valeur n'ont pas toujO.llI'S la meme acception, suivant le's esprits;

les termes scientifiques eux-memes s'entendent différemment et les analogies entre Ies phénomènes économiques et les phéno- mènes physiques ne se présentent pas à tous avec le meme

(i)

c

voI I, nO 4, p. 57.

335

~spect.

Enfin le but à aUeindre n'est pas toujours clairement indiqué.

Il n'est donc }}oint inutile de fouiller encore le

de reprendre l'examen des notions qui sont au point de départ, de chercher à distinguer

nuances qui modifient ces notions :suivant les points de vue.

L -

1:;-

L'étude du lnouvement des prix a conduit les auteurs anglais {lui s'y sont athichés à eUlployer l'expression «Index Number» ,

pour dr,signer un élément numérique qui résume ou synthétise ]es changenlents relatifs d"un certain nombre d'éléments parti- culiers de meme espèce.

En fait, toutes les fois que l'on représente les changements d'un phénomène quelque peu cOlnplexe par un élément nUlné- rique, celui ci n'est qu'un indice, car il ne révèle qu'un ordI'e particulier de changements. Par exemple, le nombre des . habi- tants d'un pays ne constitue qu'un indice de l'état de la po- pu]ation.

En ee sens on peut dire que, dane toute étude analytique destinée à relier entre eux des caractères et à réaliser des classernents, Ies nOlnbres qui tigurent dans ceUe étude sont généralmnent des DOlnbres indices. 'Et comme l'étude établit 80rtout cles r~}Jùdrts entre Ies choses, on peut définir l'indice, d'une manière génél'ale, conlme un l'apport établi entre deux grandeurs qui eorrespondent à deux états différents d'un meme phénomène.

D'ailleurs, pour que ce l'apport constitue un indice véritable il faut qu'il soit susceptible de fournir un enseignement et, par conséquent, qu'il dépende des faeteurs qui gouvernent le phé- nornène. S'il en est ainsi, l'indiee peut etre considéré comme un instrument d'analyse eapable de mettre en évidence les ef- fets des fa"Cteurs (le8 mouvements, de menle que les indicaieurs de ternpérature, de pression, de potentiel etc ... permettent 1'a- na]yse de nombreux phénornènes physiques.

Les indices se distinguent en troiscatégories: indices par-

ticuliers s'il s'agit d'un seuI caractère; indices synthétiques s'il

s'agit

résumer en un indice unlque plusieurs caractères. de

336

me me espece; indices composés si les caractères groupés sont d'espèces différentes.

Par exemple pour caractériser le mouvement de l'épargne dans un pays, OH peut choisir comme indice particulier le nombre des livrets de caisse d'épargne existant au début de chaque année; pour caractériser le mouvement de la spéculation à la Bourse des Valeurs, on calculera un indice synthétique qui sera la moyenne des indices particuliers aux différentes valeurs; on caractérisera plus au moins correctement l'activité économique d'un pays en cOlnbinant de meme, dans un indice composé, les indices synthétiques ou particuliers qui repré- sentent les mou vements des productions, des prix, du trafic etc ...

Chaque espèce d'indice correspond à une complexité pluB ou moins grande du phénomène représenté. Cependant comme '- la valeur d'un indice est dans sa signification, plns un phéno- mène est complexe, moins il est aisé de concevoir qu'un indice numérique unique soit capable de fournir une représentation satisfaisante de ses mouvements. D'autre part un phénomène quelque peu complexe se présente à des esprits différents BOUS des aspects divers, de sorte que chacun interprète d'une façon différente l'indice choisi. Pour réaliserquelque accortl dans les conceptions, pour mettre quelque unité dans les interpré- tations, il est nécessaire de limiter soigneusement la portée de chaque indice et de

point en trop étendre les limites. En un mot, un indice statistique est un élément numérique variable calculé dans un but déterminé. On ne

avec neUeté sans avoir en meme temps une conception nette de l'objet auquel il est destiné. Par exemple le taux des salaires des ouvriers d'une certaine catégorie peut etre utili sé dans une étude de la production, dans une étude.

revenus, dalls une étude relative au chòmage, à la nataIité. Dans .chaque cas, la portée et la signification de cet élément sont différentes; le mode de calcul est mème différent puisque, suivant les· cas, on considérera le salail'e horaire, le

journalier ou le salaire annueI, le salaire nominaI ou le salaire réel.

Il importe par conséquent de délimiter le champ de l'étude

avant de fixer la nature de l'indice qui aidera à observer les

changements du phénomène complexe que l'on étudie. Pour

avancer utilement il faut savoir où mène le cheluin et

il

passe; s'il est vrai que tous les chemins mènent à RomQ encore

convient-iI de choisir le meilleur.

-

337

* * *

Un indice statistique, avons-nous dit, est un instrument .i'analyse destiné à mettre en évidence les facteurs dont dépend' le phénomène étudié.

U n indice particulier est généralement un rapport entre deuX' grandeurs qui varient à mesure que le phénomène étudié se modifie. Lorsque ces grandeurs dépendent directement d'une partie des facteurs du phénomène, la considération des indices aide à isoler Ies facteurs déterminants.

Par exemple le jugement que nous portons sur la prospérité d'une entreprise industrielle porte sur un phénomène complexe qui se révèle à nous par les variations ùe 'certaines grandeurs : llombre des ouvriers, nomIne des heures de travail accomplies par ces ·ouvriers, quantité, valeur totale des objets produits, bé- néfice brut, bénéfice net, etc.... .

Chacune de ces grandeurs permet le calcul d'un indice et chacun des indices particuliers comporte une signification en rapport

phénomène étudié, à savoir les changements de l'état de prospérité de l'entreprise.

A première vue ceux qui se proposent de se rendre compte des changements attachent plus d'importance à certains in- dices qu'à d'autres' et ils adoptent, à cet égard, des avis diffé- rents. Les uns penseront que le meilleur indice est ce lui du bénéfice net; d'autres, réfléchissant que ce bénéfice net peut etre passager et résulter de l'olnission de certains frais d'amol'- tissement ou autres, attacheront plus ,d'importance au bénéfice brut; d'autres, pensant que la main d'oeuvre a pu ètre excep- tionnellement productrice, ou les achats de matières premières exceptionnellement avantageux. attacheront plus d'intérèt au chiffre d'affaires; mais, en période de variations rapides des prix, certains estimeront que le jugement à porter

la pro- spérité de l'entreprise sera mieux assis si l'on a égard surtout à la quantité de produits sortis, etc ....

En fait, toutes ces opinions sont en partie justifiées .. La prospérité de l'entreprise' se marque par de nombreux indices parce qu'elle dépend de nombreux facteurs; chaque indice cor- respondant à quelques-uns seulement d'entre eux, la . considé- l'ation de plusieurs indices aide à séparer ces facteurs et à en

mesurer l'importance. '.

Par exemple, en composant l'indice du nombre des ouvr'ien-;

338

et l'indice de la quantité produite, on peut constater que ce dernier indice augmente moins vite que le nombre des ouvriers . dans le meme temps. Il en résulte que la productivité ouvrière tend à diminuer, soit que les heures de travail soient moins nombreuses, soit que les qualités des ouvriers s'amoindrissent, par exemple, parce que de nouveaux ouvriers inéxpérilnentés en remplacent de plus exercés. On voit par cet exemple comment les indices sont à la fois des instruments révélateurs des mo- dalités d'un phénomène cOlnplexe et en meme temps des instru- ments de découverte des facteurs qui conditionnent le phéno- mène.

Pour donner un autre exemple, considérons les changements du cout de la vie. Le cout de la vie est encore une notion com- plexe qui peut etre interprétée de différentes façons et qui est en fait diversement interprétée; tantot on envisage la dépense qui est nécessaire pour acheter les memes quantités des memes choses à différentes époques ou en différents lieux, tantot on a en vue l'accroissement qui se produit à lnesure que le genre de vie H'améliore; ou bien l'on considére

par famille d'une certaine catégorie, tantot la dépense des familles de toutes catégories, tantot la dépense d'un indivirlu isolé, tantot celle d'une. famille de grandeur determinée; ou celle de toutes les familles etc ....

Ce sont là autant de notions différentesqui s'appliquent au phénomène complexe que recouvre l'expression

Coùt de la vie

A chacune de ces notions peut correspondre un indice par- ticulier, chacun de ces indices ayant sa signification propre, dépendant de facteurs particuliers parmi tous ceux que Fon peut considérer comme ayant une influence

le coùt de la vie en général.

* * *

La distinction des indices particuliers et des indices syn- thétiques est souvent arbitraire.

En principe, l'indice synthétique est celui qui réunit en un seuI plusieurs indices particuliers relatifs à des grandeurs qui se mesurent à l'aide de la meme unité, autrement dit qui se rapportent à un meme caractère observé

des objets diffé- rents. Par exemple, prix de différents objets, taux de l'escompte à différentes lnaturités, etc .... Quand les grandeurs sont mesu-

rable~

en unités de nature différente on emploie le terme indice

339 composé. Il suit de là qu'un total de grandeurs de meme espèce peut etre un indice synthétique; or toute grandeur peutetre regardée comme le totai d'un certain nombre de parties. La distinction de l'indice particulier et de l'indice synthétique serait donc assez artificielle si elle ne· s'imposait dans d'autres caso

Ainsi, dans Ies exemples précédents, le nombre total des ouvriers d'une entreprise est la somme des nombres d'ouvriers occupés dans divers ateliers; de meme la dépense ·totale d'un ménage est la somme des dépenses que nécessite l'achat de diverses denrées ou de divers services.

Il convient, en conséquence, pour la clarté, de réserver la dénomination d'indices synthétiques à ceux qui réunissent des rapports et qui sont en fait de simples expressions atithméti - . ques, sans signification concrète.

Un indice particulier au contraire est une grandeur concrète ou un rapport concret entre deux grandeurs concrètes. Le rap- port entre le nombre des ouvriers d'une usine, ou la dépense d'un ménage à une certaine époque, et le nomb're des ouvriers, ou la dépense, à une autre époque, est un rapport concreto Tandis que, si nous considérons Ies éléments de l'une des granqeurs précédentes et si nous rapportons chaque élément, considéré à une certaine époque, à la valeur qui il posséde à une autre époque, le total de ces rapports n'a plus de signifi- cation· concrète, c'est une expression arithmétique, une fonction

<le rapports concrets particuliers; on peut re server à ce total, ou -à tout multiple ou toute fraction de ce total, le nom d'indice synthétique.

L'indice synthétique est donc pour nous une expression arithmétique qui résume une série d'indices partìculiers calculés entre grandellrs mesurables d'après la meme unité (à un facteur constant près).

Considérons p8T exemple un ceàain nombre de valeurs de bourse et Ies cours de ces valeurs à un certain momento Prenons Ies . rapports de ces cours aux cours pratiqués à une autre époque.

La somme de ces rapports, Ieur moyenne arithmétique etc ....

constit.uent des indices synthétiques.

De Illeme si l' on groupe dans un total ou une moyenne Ies prix relatifs d'une série de denrées entre deux époques, on construit un indice synthétique.

Au contraire si l'on réunit dans un totai ou une moyenne

un indice dès prix des marchandises qui se négocient sur un

340

marché, un indice des quantités de chaque marchandise vendues

SUI'

ce marché, un indice du nombre des vendeurs et des ache- teurs, on groupe des indice8 qui s'expriment en unités de nature différente: unité monétaire, unité de poids, individu; on obtient un indice composé.

II. -

La distinction établie plus haut entre les trois catégories d'indices dépend de la nature des unités de mesure. Ce n'est donc point une distinction de forme: elle intéresse les facteurs irréductibles de l'évolution, soit uans le temps, soit dans l'e7.

space, du phénomène étudié, en permettant d'isoler les influ- ences de ces divers facteurs, ou bien 'au contraire d'éliminer les influences négligeables pour ne laisser appa.raitre que l'effet des influences les plus importantes.

Ce dernier trait appartient aux indices synthétiques et aux indices compDsés.

Pour ces dernierspeux' considérations gouvernent par con-

séquent leur emploL: .

1) celle de l'unité de mesure.

2) celle de la compensation des influences négligeables.

* * *

En ce qui concerne l'unité de mesure, il convient de noter que, dans les recherches statistiques, les caractères de l'unité de me!::;ure ne peuvent pas toujours etre les memes que ceux des unités de mesure physique.

Dans les mesures physiques, des conventions particulières et certaines précautions permettent d'admettre la permanence de l'unité.

Par exemple, on convient d'adopter comme unité de mesure

des longueurs un certain mètre étalon. Ce mètre est conservé

à l'abri de toutes les influences qui nous sont accessibles, de

sorte que l'on admet que sa longueur est constante. Grace à

lui, on peut mesurer, en toutes circonstances, les changements

de longueur d'un objet quelconque. Mais, si la longueur du

metre étalon vient à changer - et en fait elle a changé quando

on asubstitué l'étalon actuel au précédent - toutes les mesures

341 qu'il permet changent exactement dans une proportion inverse de celle dont l'étalon a changé.

La notion d'unité de mesure implique nécessairement cette dernière règle qui est la conséquence logique de la définition de l'unité.

La définition s'exprime en effet par une égalité telle que l

nu. l étant la chose mesurée, u la grandeur de l'unité et n le nombre des unités ou des fractions de l'unité" que contient l. Done si u devient 2u et si la quantité l n'a pas changé il faut né- cessaifement que n soit remplacé "par ; ; le doublement de l'unité entraine la réduction de moitié du nombre des unités.

C'est là une nécessité logique; sans cette condition, la no- tion d'unité de mesure serait inconsistante.

La condition pratique d'invariabil!té est nécessaire, non plus pour éviter un énoncé contradictoire, mais pour la raison que si l'unité variait en meme tems que la grandeur à mesurer, il serait impossible d'observer l'effet qu'a la cause de variation sur l'objet à mesurer. Si l'on mesure la longueur d'une barre de fer en appliquant contre elle un mètre en fei' on ne pourra mesurer par ce lnoyen la dilatation de la barre sous l'influence de chaleur, puisque l'unité et la barre se dilatènt au cours de l'expérience dana la meme proportion.

Pour donner un exemple, rappelons que l'on n'a point toujours mesuré les longueurs à l'aide d'un étalon invariable.

Ainsi, on a d'abord mesuré les distances un peu longues d'après le nombre des pas nécessaires pour les parcourir.

Supposons que la distance à un village A de 3 villages B, C, D soit Inesurée de la sorte par des jeunes gens de 15 ans, dont 10 mesurent AB, 1 mesure AC, 1 mesure AD on trouve ainsi les distances suivantes:

AB

2000 pas AG"

3000

AD

4000

On en conclut que le point D est plus éloigné de A que C et C plus éloigné que B.

Le pas unité n'est évidemment point un élément invariable

3

34::l

mais s'il ne satisfait point à la condition pratique d'une bonne unité, il satisfait à la condition logique.

Supposons que la meme épreuve étant recommencée cinq années plus tard on obtienne les nombres suivants:

AB = 1610 pas

= 2410

AD

3120

Dans la conviction que les viUages ne se sont point dé- placés OH conclura que le pas rles jeunes gens' (maintenant agés de 20 ans) s'est allongé.

Pour ceux qui ont mesuré .A.B le nonveau pas est égal'- aux 161 200 de l'ancien

1,242.

Pour

= 300 241 de l'ancien

J .244 Pour AI?

³¹² 400

^{= 1.269}

Les· grandeurs des nouveaux pas n'étant point

on en prendra la moyenne 1.25, ce qui indique que le pas s'est allongé d'un quart environ. Cet a1l6ngement s'est évidemment produit BOUS l'jnfluence de l'age, de l'entrafnement, etc.

On remarquera qu'il n'a point paru nécessaire de tenir compte du faitque la mesure AB a été prise par 10 individus alors que chacune cles deux autres a été prise par un seuI. En toute rigueur, on devrait admettre que la distance AB, ayant été lnesurée pal' 10 individus, alors que chacune des deux autres distances ne J'était que par un seuI, comporte plus de précision.

On tiendrait compte de ce fait, rlans le calcul de la moyenne, en triplant la première mesure 1,242 avant de l'ajouter aux deux autreB, le total étant alors divise par 5.

D'ailleurs pour lnesurer l'allongement du pas avec l'age il t'audrait opérer sur un plus grand nombre de mesures.

Dans cet exemple l'unité de lnesure, qui est la longueur d'un pas, satisfait à la condition logique mais non à celle d'in- variabilité. N ous signalerons plus loin un autre exemple.

Auparavant nous dirons un mot de la compensation des ,