Porte Logiche Quantistiche a 2-qubit
2 1
0
4
0
H l
λ i,j
λ ψ
,
i,j l
l
ij
= = ∈
= ∑ ∑
= =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
1 0 0 0 3
1 , 1 , 0 1 0 0 2
0 , 1 , 0 0 1 0 1
1 , 0 , 0 0 0 1 0
0 , 0
2
2
H
A:H →
( ) ( A i A j )
λ i,j
A λ ψ
A
, i,j
ij ,
i,j
ij 2
1 0
1 1
0
∑
∑
= =⊗
=
=
2
1
A
A
A = ⊗
Op. tensoriali
( ) ( N i N j )
i,j N
N, N
N
⊗2= ⊗
⊗2= ⊗
2-qubit NOT
( 0 ) ( 0 ) 1 1 11 3
00
0
22
=
⊗= ⊗ = ⊗ = =
⊗
N N N
N
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⊗ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⊗
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 1
1 0
0 1
1
2
0 N
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
= −
⊗
⊗
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2
Had Had 1
Had
q1
q2
N
⊗2q1
q2
Had
⊗2N N
=
( ) ( )
=∑
∑
= =⊗
⊗
=
⊗ + =
+ ⊗
=
⊗
=
=
3
0 1
0 2
2
2 1 2
1 2
1 0
2 1 0
0 0
00 0
l ,
i,j
l j
i
Had Had
Had
Had H
H
2-qubit Controlled Phase-Flip Gate
2-qubit Map Swap Gate
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
CZCZ q1
q2
control
target =
q1 q2
CZ
00 01
10 11
ω0
ωz 0 2
1 2
ωaux+ ωz
ω0 - ωz
[ 2 1 1 2 ]
2
ϕ
ϕ i
i
e
Ω' e
H' = h +
−( ) 2 11 11
11 → R'
xπ = −
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
= −
1 0 0
0
0 0 1 0
0 1 0
0
0 0 0
1
SW-[
01 10 10 01]
2
iφ red iφ
red Ω e e
H ≈ h + −
R
y( ) π ( λ 01 + µ 10 ) = µ 01 − λ 10
Control Not
CN q1
q2
CN q1
q2 =
⎟ CZ
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2
Ry π ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛−
2 Ry π
Had Had
≈ ≈
2 3 3
2 1
1 0
0
10 11
11 10
01 01
00 00
+ +
+
= +
+ +
CN =
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
=
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( I I i R π i R π R π I i R π )
CN = ⊗ +
x+
x y⊗ −
x2
1
( I R ( ) π/ 2 ) CZ ( I R ( π/ 2 ) )
CN = ⊗
y⊗
y−
I CN
2= 2
3 3
2 1
1 0
0 = , CN = , CN = , CN = CN
J.I. Cirac, P. Zoller: Phys. Rev. Lett., 74 (1995), 4091
Elaborando porte reversibili con controllo
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
Had CN
Had Had
Had
CN Control Target =
U
N N
U
Control-U
eseguita se q1=0
=
Control – phase shift gate
1 1 1
1 , 0 1 0
1 , 1 0 1
0 ,
0 0 0
0 → → → eiα → eiα
α α
i i
e e
0
0
α
ei
0 0 1
=
⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⊗ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
1 0
0 1 0
0 1 0
0 0
0 0
0
0 0
1 0
0 0
0 1
α α
α i
i
i e
e e
Costruzione generale di una porta controllata a 2-qubit
Decomposizione N della porta controllata U (2-qubit)
U =
CN CN
C B A
α
ei
0 0 1
I C B
A =
A,B,C 1-qubit QLG
Porta di Scambio ( o Swap)
CN CN
CN
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Swap = Swap
Realizzazione di Porte CNot
|Atomo, fonone>
~ Swap g.
1 , 0 0
,
1 ↔
Ione k Ione k
Procedura di Cirac-Zoller
1. Porre a 0 lo stato fononico
2. Produrre uno stato sovrapposto per lo ione j tramite Hadamard (ω0) 3. Effettuare la trasformazione U red sullo ione k
4. Effettuare la trasformazione CZ sullo ione j
5. Riportare lo ione k nel suo stato iniziale usando U red
6. Riportare lo ione j nel suo stato iniziale tramite Hadamard (ω0)
1 , 1 1
, 1
: ↔ −
CZ
Ione j Ione j
Ione j Ione j
F. Schmidt-Kaler et al. Nature, 422 (2003), 408
Porte logiche a 3-qubit
CCN
0 11
1
0
1 1 1 1
1 1 1
CCN
1 11
1
1
0 1 1 1
1 1 0
= CCN Control-Control-Not
V
CN
V+
CN CCN V
=
(
1)
4
2 I iσ V e
iπ
+
=
−
1 2
= σ V
Control-Control-U
V
CN
V+
CN U V
=
V
2= U
Quantum Fredkin Gate
0
m n
0
m n
n m
1 1n m
n m
0 0 m n
1
m n
1
n
Fr m
Fr
= Fredkin
CCN CCN
CCN Fr
=
La porta di Fredkin è realizzabile con 3 porte CCNOT, quindi con porte CNOT e a 1-qubit
Porte Logiche Quantistiche Universali
E’ possibile realizzare ogni trasformazione unitaria
come prodotto di matrici unitarie che agiscono in sottospazi 2-dim .
n
n
H
U:H →
+
−
= U U
1( ) ( )
( )
( )( )
( ){ ⊕ ⊥ = dim = 2 }
=1 −1
∃ U
i, H
jH
jH
n, H
j i ,L,n( )i −
= U
( )i +U
1U
( )j H( )j ⊥= I
2n−21 1
~
−
−
→
nn
H
:H U
Trasf. Unitarie a 2 - livelli
( ) ( ) ( )
⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
= 0 0
0 0
1
1 2
1
M
L L U U
U
U
n-U
Teor. 1
~
Coroll. 1
(
n) ( )
nn
O
k ≤ 2
−12 − 1 ≈ 4 V
kV V
U =
1 2L
Trasf. Unitarie a 2 - livelli
Universalità delle porte 1-qubit e CNOT
E’ possibile realizzare ogni trasformazione unitaria a 2-livelli
come prodotto di trasformazioni 1-qubit e CNOT su uno spazio di n-qubit
( )0
⊕ ( ) H
( )0 ⊥→ H
( )0⊕ ( ) H
( )0 ⊥U:H H
( )0= Span ( s
1, L ,s
n, t
1, L ,t
n)
Esempio
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
d b
c a
U
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
( )0
Span ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 )
H =
( )
⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= b d
c U a
U
H 0~
Strategia (Gray code) :
• Eseguire una successione di trasformazioni ( ≤ 2(n-1) ) con lo scambio di 2 bit adiacenti per volta in modo tale che
• Eseguire la trasformazione controllata in
• Eseguire la trasformazione inversa
{ , ,n } { } / j
i , t s' :
,s' ,
s' ,s
,
s
1L
n→
1L
n i=
i∈ 1 K
( )
(
j n j n)
j
Span t , ,t , ,t , t , ,t , ,t
H =
1L = 0 K
1L = 1 K
n
n
s , ,s
,s' ,
s'
1L →
1L
1 1 1 1
1 0 1
0 0 0
0
0 , , → , , → , , → , ,
Codice Gray( ) ( ) n O n O ( ) ( )
nO n
nO 4 =
24
Quante trasformazioni a 1-qubit e CN per U ?
# C-gates per 1. e 3.
# C- e 1-qubit gates
per la C- # gates 2 livelli # 1-qubit e
CNOT
necessarie per una generica trasf. Unitaria !!!
CCN
CCN
U =
CCN
CCN CCN
CCN
U
~
La Trasformata di Fourier Quantistica
( ) ∑
−=
−
→ =
10
2 1
0
1
Nj
k/N j i π j k
N
x e
y N x
, x K ,
&
NTrasf. Fourier
∈
Discreta
{ 0 1 2
n− 1 }
n
, , ,
H K
∑
−=
=
2 10
2 2
2
21
n nj
k/
j i π
n
k e
j
Trasf. Fourier
F
Quantistica
∑
−=
=
2 10
n
j
k
k y ψ
∑
−F
=
=
2 10
n
j
j
j x ψ
La Trasf. di FQ è unitaria
∑
−=
=
2 10
2
20 1
n
j
n
k
Es.
F
jn
j j
j ≡ 1 2K
0 2
2 1
12n j 2n jn2
j
j = − + − +K+
Rappresentazione Fattorizzata
[ ]
( 0 1 )( 0 1 ) ( 0 1 )
2 1
1 2 0
1
2 1 2
1
2 1
1 1
1
1
0 2 0
2 0
2 2
2 2
1 2
1 0
2 2
1 2 1
0 01
2 2
2 1
1 2
0
2 2
2
n n
n n
l
l
l l
n
n l
l l n
n
j .j i π j
.j i π .j
i π n
j i n π
n l
, k
k j i π l
n
n l ,
k k ,
k j i π n n
j
k/
j i π n
e e
e
e
e k e
k k
e k j
F
L
KL L
+ +
+
= +
=
∑ =
=
=
−
−
= −
−
⊗
⊗ ∑
∑ ∑
∑
=
= =
= =
−
=
n n
n
j j j
j j
j
. = 2
−+ 2
−+ + 2
−0
1 2K
1 1 2 2K
Un Circuito per la Quantum Fourier Transform
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ S i
0
0 1
Es. : Descrivere il circuito logico per la QFTr con n=3
j1
j2
j3
Had
( )
2 30 2 2
1 0 1
2
1 1
j j e πi .j
+
S
( )
2 30 2 2
1 0 1
2
1 1 2
j j e πi .j j
+
T
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
40
0 1
π/
e
iT
( )
2 30 2 2
1 0 1
2
1 1 2 3
j j e π i .j j j
+
Had S
( )( )
3 Had0 2 0
2 1 0 1
2 0
1 1 2 3 2
j e
e π i .j j j + π i .j +
( )( )
30 2 0
2 1 0 1
2 0
1 1 2 3 2 3
j e
e π i .j j j + π i .j j +
(
0 1)(
0 1)(
0 1)
2
1 2 0 1 2 3 2 0 2 3 2 0 3
2 3
.j i π j
.j i π j
j .j i π
/ +e +e + e
( )( )( )
1 2 30 2 0
2 0
2 2
3 0 1 0 1 0 1
2
1 3 2 3 1 2 3
j j j F e
e
e π i .j πi .j j π i .j j j
/ + + + =
Swap
La rappresentazione matriciale la Trasf. di Fourier Quantistica per 3- qubit
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
F /
2 3
4 5
6 7
2 4
6 2
4 6
3 6
4 7
2 5
4 4
4 4
5 2
7 4
6 3
6 4
2 6
4 2
7 6
5 4
3 2
2 3 3
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
i e
ω =
2πi/8=
(
3)(
32 2)(
31 21 1)
31
3
Swap Had S Had T S Had
F =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1 1 1
ω Sij
S ji
jj
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
ω Tij
1 1 1
T ji
jj
La QF Tr a n-qubits
j1
j2
−1
jn
Had R22 Rn-n-11
Had
Swap
jn
Had Rnn
Rn-n-22 Rn-n-11
R22
n
n-1
Had
2 Swap
1
n/2
# Hadamard + Rotazioni condizionate = n (n+1)/2
# Swap = n
#Porte = O(n2) Quante porte?
L’algoritmo classico ( Fast Fourier Transform ) richiede O(n 2n) porte !!!
Ma le ampiezze degli stati quantici NON sono accessibili !!!
Realizzazioni Sperimentali (Vandersypen et al. Nature, 414 (2001),833
