(3) Definizione di punto fisso e di proprietà
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(2) Outline Definizione di punto fisso e di proprietà del punto fisso Enunciato del Teorema di Brouwer Il Teorema di Hadamard (usando Brouwer) Il Teorema di Poincarè-Miranda (usando Brouwer) Il Teorema di Birkhoff-Kellogg (usando Hadamard e Poincarè-Miranda) 2/14.
(3) Definizione di punto fisso e di proprietà del punto fisso Definizione: Sia X spazio topologico e f : X → X una funzione continua. x ∈ X si dice punto fisso per f se f(x)=x. Definizione: X ha la proprietà del punto fisso se per ogni f : X → X continua ∃x ∈ X tale che x è un punto fisso per f. Proprietà: La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, viene cioè preservata dagli omeomorfismi.. 3/14.
(4) Il Teorema di Brouwer Nel 1912, Brouwer dimostra il seguente Teorema (Brouwer): Sia BR = {x ∈ Rn : |x| ≤ R} la palla chiusa di centro 0 e raggio R e f : BR → BR continua. Allora f ha almeno un punto fisso.. Corollario: Ogni sottospazio compatto e convesso di Rn ha la proprietà del punto fisso.. 4/14.
(5) Il Teorema di Hadamard Teorema (Hadamard):. Sia g : BR → Rn continua. Se g (x), x ≥ 0 ∀x ∈ ∂BR , allora g si annulla in BR . Dimostrazione: Sia h : Rn → BR definita in questo modo R x se |x| > R, |x| h= x se |x| ≤ R e f : Rn → Rn con f = h − g ◦ h Allora, ∀x ∈ Rn , si ha che: |f (x)| ≤ |h(x)| + |g (h(x))| ≤ R + max |g | := R0 BR 5/14.
(6) Il Teorema di Hadamard Questo significa che f : Rn → BR0 manda BR0 in se stesso. Per il Teorema di Brouwer: f possiede un punto fisso x ∗ ∈ BR0 x ∗ = h(x ∗ ) − g (h(x ∗ )) Se |x ∗ | > R, si ha che: x∗ ∗ x∗ ∗ 2 |x | = R ∗ , x − g R ∗ , x ∗ = |x | |x | |x ∗ | x∗ x∗ = R|x ∗ | − g R ∗ , R ∗ ≤ R|x ∗ | < |x ∗ |2 R |x | |x | che è una contraddizione. Di conseguenza, |x ∗ | ≤ R e perciò x ∗ = h(x ∗ ). Dalla definizione di f ricaviamo che x ∗ = x ∗ − g (x ∗ ) e quindi che g (x ∗ ) = 0. Q.E.D.. 6/14.
(7) Il Teorema di Poincarè-Miranda Teorema (Poincarè-Miranda): Sia P = [−R1 , R1 ]x · · · x[−Rn , Rn ] e g : P → Rn continua. Se ∀i = 1, 2, ..., n si ha che: gi (x) ≤ 0 in {x ∈ P : xi = −Ri } e gi (x) ≥ 0 in {x ∈ P : xi = Ri } allora g si annulla in P. Dimostrazione: Sia h : Rn → Rn la funzione definita come: −Ri se xi ∈ (−∞, −Ri ) hi (x) = xi se xi ∈ [−Ri , Ri ] ∀i = 1, 2, ..., n R se xi ∈ (Ri , +∞) i 7/14.
(8) Il Teorema di Poincarè-Miranda É facile vedere che, ∀i = 1, 2, ..., n e ∀x, y ∈ Rn , |hi (x) − hi (y )| ≤ |xi − yi | ≤ |x − y | Inoltre h(Rn ) ⊆ P e h(x) = x ∀x ∈ P. Sia f : Rn → Rn la funzione continua definita come: f = h − g ◦ h. Allora, ∀x ∈ Rn , si ha che: |f (x)| ≤ |h(x)| + |g (h(x))| ≤. n X j=1. ! 12 Rj2. + max |g | := R0 P. 8/14.
(9) Il Teorema di Poincarè-Miranda Questo significa che f (Rn ) ⊆ BR0 , quindi f (BR0 ) ⊆ BR0 . Utilizzando Il Teorema di Brouwer possiamo affermare che f possiede un punto fisso x ∗ ∈ BR0 che soddisfa l’equazione: x ∗ = h(x ∗ ) − g (h(x ∗ )) Se x ∗ 6∈ P, allora ∃i ∈ {1, 2, ..., n} tale che xi∗ < −Ri oppure xi∗ > Ri Nel primo caso si ha che: −Ri > xi∗ = hi (x ∗ ) − gi (hi (x ∗ )) = −Ri − gi (hi (x ∗ )) ≥ −Ri e siamo giunti a una contraddizione.. 9/14.
(10) Il Teorema di Poincarè-Miranda Analogamente, nel secondo caso: Ri < xi∗ = hi (x ∗ ) − gi (hi (x ∗ )) = Ri − gi (hi (x ∗ )) ≤ Ri. Perciò x ∗ ∈ P e, per la definizione di h, si ha che x ∗ = x ∗ − g (x ∗ ) Questo vuol dire che g (x ∗ ) = 0 Q.E.D.. 10/14.
(11) Il Teorema di Birkhoff-Kellogg Sia C = BR oppure C = P, con P = [−R1 , R1 ]x · · · x[−Rn , Rn ] Teorema (Birkhoff-Kellogg): Se f : C → Rn è continua e f (∂C ) ⊂ C , allora f ha almeno un punto fisso.. 11/14.
(12) Il Teorema di Birkhoff-Kellogg Caso 1: C = BR f : BR → Rn continua e f (∂BR ) ⊂ BR . Sia g = I − f . Allora, ∀x ∈ ∂BR. . g (x), x = x − f (x), x = |x|2 − f (x), x ≥ ≥ R 2 − |f (x)|R ≥ R 2 − R 2 = 0. Utilizzando il Teorema di Hadamard, abbiamo che g ha uno zero in BR , quindi f ha un punto fisso.. 12/14.
(13) Il Teorema di Birkhoff-Kellogg Caso 2: C = P = [−R1 , R1 ]x · · · x[−Rn , Rn ] f : P → Rn continua e f (∂P) ⊂ P. Sia g = I − f . Allora, siccome −Ri ≤ fi (x) ≤ Ri ∀x ∈ ∂P, si ha che: per x ∈ P tali che xi = −Ri , gi (x) = xi − fi (x) = −Ri − fi (x) ≤ 0 e, per x ∈ P tali che xi = Ri , gi (x) = xi − fi (x) = Ri − fi (x) ≥ 0 Utilizzando ora il Teorema di Poincarè-Miranda possiamo affermare che g ha almeno uno zero in P, che sarà il punto fisso di f. 13/14.
(14) Grazie per l’attenzione. 14/14.
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