Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali Modulo III: Distribuzioni di probabilità L8. Intervalli di confidenza Prof. Carlo Meneghini dip. di Scienze Università Roma Tre e-mail: carlo.meneghini@uniroma3.it

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Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali

Modulo III: Distribuzioni di probabilità L8. Intervalli di confidenza

Prof. Carlo Meneghini

dip. di Scienze Università Roma Tre e-mail: carlo.meneghini@uniroma3.it

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Intervalli di confidenza

Un intervallo di confidenza individua una regione attorno al valore misurato (media) che contiene il valore atteso (vero) della

popolazione da cui proviene il dato con probabilità g

.... e presumibilmente conterrà i valori di altre misure (identiche) con probabilità g

m

a=1-g è la probabilità che per caso l’intervallo non contenga il valore vero m della popolazione da cui proviene il dato

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Intervallo di confidenza

x 2

- x x  2

95%

^x ²  ²

P -   m = a

^x ^- ^ ² ^ ^m ^ ^x ^ ^ ² ⁼ ^g

P

^x ²  ²

P    m = a Valuta un

intervallo di confidenza g=95%

quando la dev.st. è nota

Valuta un intervallo di confidenza g=95%

quando la dev.st. è nota

g -

= a 1

2 a /

2 a/

g

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C. Meneghini

Un intervallo di confidenza g% è una regione intorno al valore osservato dove a=1-g è la probabilità che per

caso l’intervallo non contenga il valore vero m della popolazione da cui

proviene il dato o il campione.

a=1-g rappresenta il rischio di commettere un errore maggiore di /2 in positivo o negativo, nella stima del valore vero m della

popolazione da cui proviene il campione.

2 a/

g

2 a/

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Un intervallo di confidenza g% è una regione intorno al valore osservato dove a=1-g è la probabilità che per

caso l’intervallo non contenga il valore vero m della popolazione da cui

proviene il dato o il campione.

2 a/

g

2 a/

Funzione EXCEL

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Applicazioni del teorema del limite centrale

C. Meneghini

3. Noti i dati di un campione di dimensione N individua una regione attorno al valore misurato (media) che contiene il valore atteso (vero) con probabilità (intervallo di confidenza) 3. Noti i dati di un campione di dimensione N individua una

regione attorno al valore misurato (media) che contiene il valore atteso (vero) con probabilità (intervallo di confidenza)

La concentrazione di una data proteina nel sangue di una persona sana è C_o La deviazione standard della distribuzione dei valori sulla popolazione è s=50 mg/L . Le abitudini alimentari possono influenzare la concentrazione della proteina ma ci si aspetta che la deviazione standard, dovuta alla variabilità fisiologica, non cambi.

In un campione di dimensione N=12 la concentrazione misurata è C₁=198 mg/L.

Valuta un intervallo di confidenza al 95% per la concentrazione C₁

La concentrazione di una data proteina nel sangue di una persona sana è C_o La deviazione standard della distribuzione dei valori sulla popolazione è s=50 mg/L . Le abitudini alimentari possono influenzare la concentrazione della proteina ma ci si aspetta che la deviazione standard, dovuta alla variabilità fisiologica, non cambi.

In un campione di dimensione N=12 la concentrazione misurata è C₁=198 mg/L.

Valuta un intervallo di confidenza al 95% per la concentrazione C₁

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Intervallo di confidenza, varianza campionaria

3. Noti i dati di un campione di dimensione N individua una regione attorno al valore misurato (media) che contiene il valore atteso (vero) con probabilità (intervallo di confidenza) 3. Noti i dati di un campione di dimensione N individua una

regione attorno al valore misurato (media) che contiene il valore atteso (vero) con probabilità (intervallo di confidenza) Da un campione casuale di 7 sfere prodotte da una macchina il

diametro medio è 25.5 mm con deviazione standard s=1.5 mm.

Fornisci un intervallo di confidenza al 95% per il diametro medio delle sfere prodotte

Da un campione casuale di 7 sfere prodotte da una macchina il diametro medio è 25.5 mm con deviazione standard s=1.5 mm.

Fornisci un intervallo di confidenza al 95% per il diametro medio delle sfere prodotte

Caso 2: La deviazione standard è stimata dal campione s

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Intervallo di confidenza, varianza campionaria

Caso 2: La deviazione standard è stimata dal campione

s= dev.st campionaria

Caso 2: La deviazione standard è stimata dal campione

s= dev.st campionaria

Per N>15 la differenza tra distribuzione normale e t-Student è

La distribuzione delle medie campionarie segue una distribuzione t-Student con

v=N-1 gradi di libertà.

2 g

a/ a/2

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Intervallo di confidenza: s o s?

I valori limite di concentrazione di As nell’acqua potabile devono essere inferiori a C_As=10 mg/L (WTO).

Si misura il contenuto di As nell’acqua minerale della marca X prendendo campioni da 7 bottiglie a caso.

Otteniamo un valore medio C_m=8.7 (mg/L).

Valuta il risultato in relazione ai limiti imposti dal WTO per una deviazione standard nota: s=1.5 mg/L

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C. Meneghini

C_As=10 mg/L (WTO).

L’intervallo di confidenza al 95% per il contenuto di As nella partita di bottiglie controllata corrisponde a 7.6-9.8 (mg/L).

La probabilità che la concentrazione di As nelle bottiglie sia in realtà maggiore di 9.8 (mg/L) è stimata minore di 2.5% (coda destra della distribuzione)

Il rischio di errore affermando che la partita di acqua rientra nei limiti di legge è inferiore a 2.5%.

Ampiezza =

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Valuta il risultato in relazione ai limiti imposti dal WTO per una deviazione standard campionaria s=1.5 mg/L

Ampiezza =

(12)

C. Meneghini

C_As=10 mg/L (WTO).

L’intervallo di confidenza al 95% per il contenuto di As nella partita di bottiglie controllata corrisponde a 7.3-10.1 (mg/L)^.

Il rischio di errore affermando che la partita di acqua rientra nei limiti di legge

Non è inferiore a 2.5%.