Def : Una FUNZIONE f: AÆB è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B y = f(x) A Õ ¬ è il Dominio di definizione di f BÕ¬ è il Codominio di f o Immagine di f x

Def : Una FUNZIONE f: AÆB è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B y = f(x) A Õ ¬ è il Dominio di definizione di f

BÕ¬ è il Codominio di f o Immagine di f x é la variabile indipendente

y è la variabile dipendente

¬ è lo spazio su cui é definita la variabile x.

Campo di esistenza di f (C.E.) è : i) un sottoinsieme di ¬,

ii) l’insieme dove è possibile effettuare le operazioni algebriche presenti nell’espressione algebrica della funzione.

Dominio di definizione di f (D

) è:

i) sottoinsieme del campo di esistenza di f (C.E.),

ii) l’insieme dove si scelgono i valori da attribuire alle variabili (dipende dal significato delle variabili).

D

Õ C.E. Õ ¬

OPERAZIONI tra FUNZIONI Date f:AÕ ¬Æ¬ e g:BÕ ¬ Ƭ

Se x

Œ A « B allora è possibile calcolare f(x

) e g(x

) e definire le seguenti operazioni

SOMMA

(f + g) (x

) = f (x

) + g(x

) " x

Œ A « B DIFFERENZA

(f - g) (x

) = f (x

) - g(x

) " x

Œ A « B PRODOTTO

(f ⋅ g) (x

) = f (x

) ⋅ g(x

) " x

Œ A « B

QUOZIENTE

(f \ g) (x

) = f (x

) \ g(x

)

" x

Œ D ={xŒA«B : g(x) ≠0}

Date f: A Õ ¬ Ƭ e g: B Õ ¬ Ƭ

PRODOTTO di COMPOSIZIONE

(g

f) (x

) = g(f (x

)) " x

ΠA e f(x

)ŒB

Campo di esistenza della funzioni elementari i) f(x) = k , kŒ¬ " x Œ¬

ii) f(x) = x " x Œ¬

iii) f(x) = |x| " x Œ¬

iv) f(x) = x

nŒ¿ " x Œ¬

v) f(x) = ⁿ x nŒ¿ pari "x ≥0

vi) f(x) = ⁿ x nŒ¿ dispari " x Œ¬

vii) f(x) = log

(x) a>1 "x >0 viii) f(x) = a

"x Œ¬

ix) f(x) = Î x ˚ "x Œ¬

Per calcolare il campo di esistenza di una funzione si pone:

- i denominatori ≠ 0

- gli argomenti delle radici n-esime con n pari ≥0,

- gli argomenti dei logaritmi > 0.

GRAFICO di una FUNZIONE

Data f: A Æ ¬ si definisce grafico di f l’insieme delle coppie ordinate G

={ (x, f(x)) : xŒA}

(x, f(x)) Œ ¬

quindi G

à ¬

C

= {f(x)Œ¬ : xŒA} à ¬ Codomio o Immagine di f, definita su A) f: AÆ C

Definizione di Limite:

Sia f: AƬ e x

punto di accumulazione per AÕ¬

†

xÆx lim

f(x) = L ¤

" U

$

†

V _x

: " x ≠ x

e x Œ

†

V _x

« A fi f(x) Œ U

U

= {yŒ¬ : dist (y, L) < e} = {yŒ¬ : | y - L | < e}

†

V _x

= {xŒ¬ : dist (x, x

) < d

} = {xŒ¬ : | x - x

| < d

}

†

xÆx lim

f(x) = L ¤

" e >0 $ d

>0 : " x ≠ x

, xŒA e |x - x

| < d

fi | f(x) - L | < e Limite destro:

†

lim

xÆx

f(x) = L ₁ ¤

" e >0 $ d

>0 : " x ≠ x

, xŒA e x

<x<x

+d

fi | f(x) - L

| < e Limite sinistro:

†

lim

xÆx

f(x) = L ₂ ¤

" e >0 $ d

>0 : " x ≠ x

, xŒA e x

-d

< x < x

fi | f(x) - L

| < e Se $

†

lim

xÆx

f(x) = L ₁ e

†

lim

xÆx

f(x) = L ₂ e L

= L

fi $

†

xÆx lim

f(x) = L ₁ = L ₂

Definizione di Intorno di + •:

I

= {xŒ¬ : x > M}, M>0 Definizione di Intorno di - •:

I

= {xŒ¬ : x < - N}, N>0

†

xÆx lim

f(x) = L ¤

" U

$

†

V _x

: " x ≠ x

e x Œ

†

V _x

« A fi f(x) Œ U

†

xÆ+• lim f(x) = L ¤

" U

$ V

: " x ΠV

« A fi f(x) Œ U

" e>0 $ M

>0 : " x ŒA, x >M

fi |f(x)-L| < e

†

xÆx lim

f(x) = +• ¤

" U

$

†

V _x

: " x ≠ x

e x Œ

†

V _x

« A fi f(x) Œ U

" M >0 $ d

>0 : " x ≠ x

, xŒA e |x - x

| < d

fi f(x) > M

†

xÆx lim

f(x) = -• ¤

" U

$

†

V _x

: " x ≠ x

e x Œ

†

V _x

« A fi f(x) Œ U

" N >0 $ d

>0 : " x ≠ x

, xŒA e |x - x

| < d

fi f(x) < - N

†

xÆ+• lim f(x) = -• ¤

" U

$ V

: " x ΠV

« A fi f(x) Œ U

" N >0 $ M

>0 : " x ŒA, x > M

fi f(x)< -N TEOREMA dell’Unicità del Limite Sia f: AƬ. Se $

†

xÆx lim

f(x) = L

fi tale limite è unico.

TEOREMA della PERMANENZA del SEGNO Sia f: AƬ. Se $

†

xÆx lim

f(x) = L≠0 fi

$

†

I _x

: f(x) assume lo stesso segno di L " x ≠ x

, x Œ

†

I _x

« A.

Corollario: Sia f: AƬ. Se $

†

xÆx lim

f(x) = L e $

†

I _x

: f(x) > 0 [<0] " x Œ

†

I _x

« A, x ≠ x

fi L ≥ 0 [£ 0].

Siano f: AƬ e g: AƬ, Aլ.

TEOREMA della somma, prodotto e quoziente tra LIMITI Se $

†

xÆx lim

f(x) = L ₁ e

†

xÆx lim

g(x) = L ₂

fi $

†

xÆx lim

[ f(x) + g(x) ] ⁼

†

xÆx lim

f(x)+

†

xÆx lim

g(x) = L

+L

fi $

†

xÆx lim

[ f(x) ⋅g(x) ] ⁼

†

xÆx lim

f(x)⋅

†

xÆx lim

g(x)= L

⋅L

se $ L

≠0 fi $

†

xÆx lim

f(x) g(x) =

†

xÆx lim

f(x)/

†

xÆx lim

g(x)=

†

L ₁ L ₂ Siano f: IƬ e g: AƬ,

TEOREMA del prodotto di composizione tra limiti Se $

†

xÆx lim

g(x) = L ₂ e f (L

) fi $

†

xÆx lim

f(g(x)) = f (

†

xÆx lim

g(x)) = f (L

)