⇒ ⇒ n n n →∞ →∞ →∞ [] () () () () 0 A A A A A A () () () () () () ∀ ∀ ∀ ∀ k k A A f f f f f f f f f f f f f x x x →∞ x →∞ ⊂ ⊂ : → → : → → → → ∈ ∈ ∈ A A ∈   A A A → → f f f f f f A   lim f fx a , b x f x → fx Sup Sup f x f f − x x fx − − fx fx → → 0 0

Mattia  Natali  

  1  

Successioni  e  Serie  di  Funzioni  

Ultima  modifica:  sabato  13  novembre  2010  ore  15.53.  

µ Successioni  di  funzione:  

Ø

Convergenza  puntuale:

 data  la  successione  di  funzione  

f

ⁿ

: A → 

 con  

A ⊂ 

^,  

f

_n

→ f

  puntualmente  in  

A

 se  

∀x ∈A

,  

lim

n→∞

f

_n

( ) x ^{→ f x} ( )

.  (L’annotazione  

f

_n

→ f

 significa  “

f

_n   converge  a  

f

”)    

Ø

Convergenza  uniforme:

 data  la  successione  di  funzione  

f

ⁿ

: A → 

 con  

A ⊂ 

^,  

f

_n

→ f

  uniformemente  in  

A

 se  

Sup

x∈A

f

_n

( ) x ^{− f x} ( ) ^{→ 0}

 con  

n → ∞

.  

§ Per  chiarire  meglio  le  idee  possiamo  vedere   f_n

( )

x ^{− f x}

( )

 come  l’errore  della  nostra   successione  di  funzioni  rispetto  alla  funzione  a  cui  sta  convergendo,  oppure  come  la  distanza   tra  le  due  funzioni.  Con  

Sup

x∈A

f

_n

( ) x ^{− f x} ( ) ^{→ 0}

 con  

n → ∞

 vogliamo  sapere  se  il  peggiore   tra  gli  errori  o  la  massima  distanza  che  riesce  ad  avere  

f

_n

( ) x

 rispetto  a  

f x ( )

 tenda  a  

0

 con  

n → ∞

.  Se  questo  accade  allora  la  nostra  

f

_n

→ f

.Questo  è  differente  dalla  convergenza   puntuale  che  non  s’interessa  di  verificare  il  massimo  errore  o  la  massima  distanza  che  si  può   avere  tra  le  due  funzioni.  

§ Proprietà  della  convergenza  uniforme:  

• Se  

f

_n

→ f

 uniformemente  

⇒

 

f

_n

→ f

 puntualmente.  

• Se  

f

_n  continua  

⇒

 

f

 continua.  

•

∫

_a^b f_n

( )

x ^dx→

∫

^{ab f x}

^{( )}

^dx.  

 

µ Serie  di  Funzioni:  

Ø

Convergenza  puntuale:

 data  la  serie  di  funzione  

f

_n

( ) x

n=0

∑

+∞  converge  puntualmente  ad  

f

 in  

A

 se  

∀x

0

∈A

 la  serie  numerica  

f

_n

( ) x

₀

n=0

∑

+∞

^{→ f x ( )}

^{0  (e}  

^lim

_k→∞

^f

ⁿ

^{( ) x}

⁰ n= k

∑

∞

^{= 0}

).  Il  dominio  

A

 viene  

chiamato  dominio  di  convergenza  della  serie.  

Ø

Convergenza  uniforme:

 

f

_n

( ) x

n=0

∑

+∞

^{→ f}

 uniformemente  in  

A

 se  

∀x ∈A

 

sup f

_n

( ) x

n= k

∑

∞

^{→ 0}

 

con  

k → ∞

.  

§ Proprietà:  

• La  convergenza  uniforme  implica  quella  puntuale.  

• Se  la  serie  

f

_n

( ) x ^dx

n=1

∑

∞  converge  uniformemente  in  

[ ] a,b

^à  

f

_n

( ) x ^dx

n=1

∑

∞ a

∫

b

⁼ ∑

_n=1^∞

∫

^ab

^f

ⁿ

^{( ) x dx}

^.  

Ø

Convergenza  totale:

 

f

_n

( ) x

n=0

∑

+∞

^{→ f}

 totalmente  in  

A

 se  

∀x ∈A

 

sup f

_n

( ) x ^{→ 0}

n= k

∑

∞  con  

k → ∞

.  

Mattia  Natali  

  2  

§ Criterio  di  Weierstrass:  Sia  

I ⊆ 

 un  intervallo  e  siano  

f

ⁿ

: I → , n = 1,2,3,...

 Diremo  che   la  serie  

f

_n

n=1

∑

∞  converge  totalmente  in  

I

 se  esiste  una  successione  

{ } a

_n ^∞n=1  di  numeri  reali   positivi  tali  che:  

• f_n

( )

x ^{≤ a}n  per  ogni  

x ∈I, n ∈

^.  

•

a

_n

n=1

∑

∞  converge.  

Questo  criterio  è  molto  utile  per  verificare  la  convergenza  totale  di  una  serie  di  funzioni,  perché   basta  trovare  una  successione  numerica  convergente  che  è  sempre  maggiore  della  nostra   successione  di  funzioni.  

§ Proprietà:  

• La  convergenza  totale  implica  quella  uniforme  e  puntuale.  

Ø Teorema  continuità  della  Somma:  sia  

I ⊆ 

 un  intervallo,  siano  

f

ⁿ

: I → 

 continue  in  

x

₀

∈I

  per  n= 1,2,3,…  e  supponiamo  che  la  serie  

f

_n

n=1

∑

∞  converga  totalmente  in  

I

.  Allora  la  somma  

della  serie,  

f x ( ) ^{= f}

ⁿ

( ) ^x

n=1

∑

∞ ,  è  una  funzione  continua  in  

x

₀.  In  particolare,  se  le  

f

_n  sono  continue   in  

I

,  anche  

f

 è  continua  in  

I

.  

Ø Teorema  derivabilità  termine  a  termine:  sia  

I ⊆ 

 un  intervallo,  siano  

f

ⁿ

: I → 

 derivabili  in  

I

  per  n= 1,2,3,…  e  supponiamo  che:  

§ La  serie  

f

_n

( ) x

n=1

∑

∞  converga  per  ogni  

x ∈I

;  

§ La  serie  

f

_n

′ ( ) x

n=1

∑

∞  converga  totalmente  in  

I

:  ossia  che  

f

_n

′ ( ) x

n=1

∑

∞

^{≤ a}

ⁿ n=1

∑

∞

^{< ∞}

 per  ogni  

x ∈I

 

(criterio  di  Weierstrass).  

Allora,  detta  

f x ( )

 la  somma  delle  serie  

f

_n

( ) x

n=1

∑

∞ ,  si  ha  che  

f

 è  derivabile  in  

I

 e  

′

f x ( ) ^{= f}

n

( ) x

n=1

∑

∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′ = f

_n

′ ( ) x

n=1

∑

∞  per  ogni  

x ∈I

.  

Ø Teorema  integrabilità  termine  a  termine:  siano  

f

ⁿ

: a,b [ ] ^{→ }

 continue  per  n= 1,2,3,…  e   supponiamo  che  la  serie  

f

_n

( ) x

n=1

∑

∞  converga  totalmente  in  

[ ] a,b

 a  una  funzione  

f

 (continua  per  il  

teorema  della  continuità  della  somma).  Allora  la  serie  è  integrabile  termine  a  termine,  cioè:  

f x ( ) ^dx

a

∫

b

^{= ⎛} _⎝⎜ ∑

_n=1^∞

^f

ⁿ

^{( ) x} _⎠⎟ ^{⎞ dx =}

a

^f

ⁿ

^{( ) x dx}

∫

b

( )

n=1

∑

∞ a

∫

b ^.