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Testo completo

(1)

Mattia  Natali  

  1  

Successioni  e  Serie  di  Funzioni  

Ultima  modifica:  sabato  13  novembre  2010  ore  15.53.  

µ Successioni  di  funzione:  

Ø

Convergenza  puntuale:

 data  la  successione  di  funzione  

f

n

: A → 

 con  

A ⊂ 

,  

f

n

→ f

  puntualmente  in  

A

 se  

∀x ∈A

,  

lim

n→∞

f

n

( ) x → f x ( )

.  (L’annotazione  

f

n

→ f

 significa  “

f

n   converge  a  

f

”)    

Ø

Convergenza  uniforme:

 data  la  successione  di  funzione  

f

n

: A → 

 con  

A ⊂ 

,  

f

n

→ f

  uniformemente  in  

A

 se  

Sup

x∈A

f

n

( ) x − f x ( ) → 0

 con  

n → ∞

.  

§ Per  chiarire  meglio  le  idee  possiamo  vedere   fn

( )

x − f x

( )

 come  l’errore  della  nostra   successione  di  funzioni  rispetto  alla  funzione  a  cui  sta  convergendo,  oppure  come  la  distanza   tra  le  due  funzioni.  Con  

Sup

x∈A

f

n

( ) x − f x ( ) → 0

 con  

n → ∞

 vogliamo  sapere  se  il  peggiore   tra  gli  errori  o  la  massima  distanza  che  riesce  ad  avere  

f

n

( ) x

 rispetto  a  

f x ( )

 tenda  a  

0

 con  

n → ∞

.  Se  questo  accade  allora  la  nostra  

f

n

→ f

.Questo  è  differente  dalla  convergenza   puntuale  che  non  s’interessa  di  verificare  il  massimo  errore  o  la  massima  distanza  che  si  può   avere  tra  le  due  funzioni.  

§ Proprietà  della  convergenza  uniforme:  

• Se  

f

n

→ f

 uniformemente  

 

f

n

→ f

 puntualmente.  

• Se  

f

n  continua  

 

f

 continua.  

ab fn

( )

x dx

ab f x

( )

dx.  

 

µ Serie  di  Funzioni:  

Ø

Convergenza  puntuale:

 data  la  serie  di  funzione  

f

n

( ) x

n=0

+∞  converge  puntualmente  ad  

f

 in  

A

 se  

∀x

0

∈A

 la  serie  numerica  

f

n

( ) x

0

n=0

+∞

→ f x ( )

0  (e  

lim

k→∞

f

n

( ) x

0 n= k

= 0

).  Il  dominio  

A

 viene  

chiamato  dominio  di  convergenza  della  serie.  

Ø

Convergenza  uniforme:

 

f

n

( ) x

n=0

+∞

→ f

 uniformemente  in  

A

 se  

∀x ∈A

 

sup f

n

( ) x

n= k

→ 0

 

con  

k → ∞

.  

§ Proprietà:  

• La  convergenza  uniforme  implica  quella  puntuale.  

• Se  la  serie  

f

n

( ) x dx

n=1

 converge  uniformemente  in  

[ ] a,b

à  

f

n

( ) x dx

n=1

a

b

=

n=1

ab

f

n

( ) x dx

.  

Ø

Convergenza  totale:

 

f

n

( ) x

n=0

+∞

→ f

 totalmente  in  

A

 se  

∀x ∈A

 

sup f

n

( ) x → 0

n= k

 con  

k → ∞

.  

(2)

Mattia  Natali  

  2  

§ Criterio  di  Weierstrass:  Sia  

I ⊆ 

 un  intervallo  e  siano  

f

n

: I → , n = 1,2,3,...

 Diremo  che   la  serie  

f

n

n=1

 converge  totalmente  in  

I

 se  esiste  una  successione  

{ } a

n n=1  di  numeri  reali   positivi  tali  che:  

fn

( )

x ≤ an  per  ogni  

x ∈I, n ∈

.  

a

n

n=1

 converge.  

Questo  criterio  è  molto  utile  per  verificare  la  convergenza  totale  di  una  serie  di  funzioni,  perché   basta  trovare  una  successione  numerica  convergente  che  è  sempre  maggiore  della  nostra   successione  di  funzioni.  

§ Proprietà:  

• La  convergenza  totale  implica  quella  uniforme  e  puntuale.  

Ø Teorema  continuità  della  Somma:  sia  

I ⊆ 

 un  intervallo,  siano  

f

n

: I → 

 continue  in  

x

0

∈I

  per  n= 1,2,3,…  e  supponiamo  che  la  serie  

f

n

n=1

 converga  totalmente  in  

I

.  Allora  la  somma  

della  serie,  

f x ( ) = f

n

( ) x

n=1

,  è  una  funzione  continua  in  

x

0.  In  particolare,  se  le  

f

n  sono  continue   in  

I

,  anche  

f

 è  continua  in  

I

.  

Ø Teorema  derivabilità  termine  a  termine:  sia  

I ⊆ 

 un  intervallo,  siano  

f

n

: I → 

 derivabili  in  

I

  per  n= 1,2,3,…  e  supponiamo  che:  

§ La  serie  

f

n

( ) x

n=1

 converga  per  ogni  

x ∈I

;  

§ La  serie  

f

n

′ ( ) x

n=1

 converga  totalmente  in  

I

:  ossia  che  

f

n

′ ( ) x

n=1

a

n n=1

< ∞

 per  ogni  

x ∈I

 

(criterio  di  Weierstrass).  

Allora,  detta  

f x ( )

 la  somma  delle  serie  

f

n

( ) x

n=1

,  si  ha  che  

f

 è  derivabile  in  

I

 e  

f x ( ) = f

n

( ) x

n=1

⎝⎜

⎠⎟

′ = f

n

′ ( ) x

n=1

 per  ogni  

x ∈I

.  

Ø Teorema  integrabilità  termine  a  termine:  siano  

f

n

: a,b [ ] → 

 continue  per  n= 1,2,3,…  e   supponiamo  che  la  serie  

f

n

( ) x

n=1

 converga  totalmente  in  

[ ] a,b

 a  una  funzione  

f

 (continua  per  il  

teorema  della  continuità  della  somma).  Allora  la  serie  è  integrabile  termine  a  termine,  cioè:  

f x ( ) dx

a

b

= ⎝⎜

n=1

f

n

( ) x ⎠⎟ dx =

a

f

n

( ) x dx

b

( )

n=1

a

b .  

 

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