Soluzione degli esercizi del primo esonero di Calcolo Differenziale ed Integrale I e II (a.a. 2007-2008)
Appello: 11 Gennaio 2008
1. Determinare il dominio della funzione: f(x) = p1 + log(1 − x2).
Condizioni di esistenza:
a) logaritmo: 1 − x2 > 0⇒ |x| < 1;
b) radice: 1 + log(1 − x2) > 0 ⇒ log(1 − x2) > −1, quindi:
x2 6 1−1
e ⇒ |x| 6 r
1 −1 e. Dominio:
E =
"
− r
1 −1 e, +
r 1 −1
e
# .
2. Calcolare il limite: lim
x→+∞
logp
x2+ 1 − x.
lim
x→+∞
logp
x2+ 1 − x = log lim
x→+∞
px2+ 1 − x La forma indeterminata ∞ − ∞ si tratta come segue:
lim
x→+∞
px2+ 1 − x = lim
x→+∞
"
px2+ 1 − x
·
√x2+ 1 + x
√x2+ 1 + x
#
= lim
x→+∞
√ 1
x2+ 1 + x = 0.
Quindi:
lim
x→+∞
logp
x2+ 1 − x = log lim
x→+∞
px2+ 1 − x
= −∞.
1
3. Calcolare l’integrale indefinito:
Z 2x3+ 2x + 1 x2+ 2x + 2 dx.
Eseguendo una divisione tra i polinomi al numeratore ed al denominatore, o ricorrendo a manipolazioni algebriche sul numeratore, si vede che:
Z 2x3+ 2x + 1
x2+ 2x + 2 dx =Z
(2x − 4) dx + 3Z 2x + 2
x2+ 2x + 2dx + 3Z d(x + 1) 1 + (x + 1)2. Si ha quindi, in definitiva:
Z 2x3+ 2x + 1
x2+ 2x + 2 dx = x2− 4x + 3 log(x2+ 2x + 2) + 3 arctan(x + 1) + c.
4. Studiare il grafico della funzione: f(x) =r x − 5 x2− 9 Condizioni di esistenza: x2− 9 6= 0, x− 5
x2− 9 > 0.
Dominio: E = (−3, 3) ∪ [5, +∞).
Asintoti: x = −3, x = 3 (verticali).
lim
x→−3+
r x − 5
x2− 9 = +∞, lim
x→3−
r x − 5
x2− 9 = +∞;
lim
x→+∞
r x − 5
x2− 9= 0, c’`e quindi l’asintoto orizzontale y = 0 (asse x).
f0(x) = −1 2
r x2− 9 x− 5
x2− 10x + 9
(x2− 9)2 ; f0(x) `e definita in E − {5} e si ha:
lim
x→5+
f0(x) = +∞;
f0(x) = 0 ⇒ x = 1, x = 9;
Studiando l’andamento del segno di f0(x) si vede che il punto x = 1, con f(1) = 1/√ 2 `e di minimo relativo, mentre il punto x = 9, con f(9) = 1/(3√
2), `e di massimo relativo.
Poich´e la funzione non `e limitata non c’`e massimo assoluto. Il minimo assoluto `e il punto x = 5, con f(5) = 0, in cui f0(x) non `e definita, mentre f(x) `e definita e continua a destra:
lim
x→5+
r x − 5
x2− 9 = f(5) = 0.
Il grafico `e nella pagina seguente.
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
−0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
−1
−2
−3
−4
y
x
5. Trovare massimo (M) e minimo (m) assoluti della funzione:
f (x) = xex−x2
2 −x, con x ∈ [−2, 1].
f0(x) = (ex− 1)(x + 1); f0(x) esiste, ed `e continua, in tutto l’intervallo [−2, 1], e si ha:
f0(x) = 0 ⇒ x = −1, x = 0.
f00(x) = (x + 2)ex− 1; Il punto x = −1, con f(1) = (e − 2)/2e, `e di massimo relativo, poich´e f00(−1) = 1/e − 1 < 0. Il punto x = 0, con f(0) = 0, `e di minimo relativo, poich´e f00(0) = 1 > 0. Il minimo e massimo assoluti si trovano negli estremi, dove si ha: m = f(−2) = −2/e2≈ −0.271, M = y(1) = e − 3/2 ≈ 1.218.
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