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Academic year: 2021

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(1)

Corso di Teoria dei Giochi, esame 14 aprile 2005

LS: decisioni economiche, impresa e responsabilit`a sociale, A.A. 2004/05 Tempo: 2 ore e 1/2; risolvere 3 dei 4 esercizi proposti; le risposte agli esercizi 3 e 4 non possono superare una pagina e mezza; non `e consentito l’uso di testi, appunti, etc... GIUSTIFICARE LE RISPOSTE.

Esercizio 1 Si consideri il seguente gioco in forma estesa:

Ic

T1













B1

HH HH

H HH

HH s H

@

@

@

@

@

s

@

@

@

@

@

II II

L1 R1 L2 R2

s









 T2

A A

A A

A B2

s









 T2

A A

A A

A B2

s I 5 0

s

4 4

s

2 1

s

0 0

s

2 0

s

0 2 a) scriverne la forma strategica;

b) determinarne gli equilibri di Nash in strategie pure (se esistono);

c) trovarne gli equilibri perfetti nei sottogiochi (se esistono) Soluzione

La forma strategica `e (`e sottolineata la “best reply” per I e sopralineata quella per II):

I\

\II L1L2 L1R2 R1L2 R1R2

T1T2 (5, 0) (5, 0) (4, 4) (4, 4) T1B2 (5, 0) (5, 0) (4, 4) (4, 4) B1T2 (2, 1) (2, 0) (2, 1) (2, 0) B1B2 (0, 0) (0, 2) (0, 0) (0, 2)

Vi sono pertanto quattro equilibri in strategie pure: (T1T2, R1L2), (T1T2, R1R2), (T1B2, R1L2), (T1B2, R1R2).

1

(2)

Il gioco dato ha due sottogiochi propri. Uno, quello a sinistra in figura, ha come equilibrio R1. Il sottogioco a destra ha, come unico equilibrio, (T2, L2), come si verifica agevolmente dalla forma strategica riportata qui sotto:

I\

\II L2 R2

T2 (2, 1) (2, 0) B2 (0, 0) (0, 2)

Pertanto, dei quattro equilibri di Nash, l’unico che `e perfetto nei sotto- giochi (cio`e l’unico la cui restrizione ai sottogiochi `e ancora un equilibrio) `e (T1T2, R1L2).

Esercizio 2 Trovare le soluzioni di Nash e di Kalai-Smorodinsky per i se- guenti problemi di contrattazione (in entrambi i casi il “disagreement point”

`

e (0, 0)).

- 6

I II

s

(2, 1)

3

s

1 s

@

@

@

@

- 6

I II

s

(2, 1)

2

s

1 s

Soluzione

Nella figura a sinistra, per la condizione di efficienza la soluzione si trover`a sul lato obliquo del trapezio che rappresenta S.

Poich´e (S, d) `e essenziale, la soluzione di Nash `e data da:

Φ(S, d) = argmax{(x − d1) · (y − d2) : (x, y) ∈ S ∩ (d + R2)}

Visto che d = (0, 0), occorre massimizzare xy sul segmento individuato da:

x + y = 3, x ≥ 2, y ≥ 0.

Condizioni necessarie di massimo sulla retta x + y = 3 si trovano coi moltiplicatori di Lagrange (o anche per sostituzione, ad esempio riducendo il problema alla massimizzazione di x(3 − x)) e danno come soluzione x = y = 3/2, punto che sta sulla retta (ovviamente!) ma non sul segmento. Quindi il massimo di xy sul segmento si trova in uno dei due vertici: xy vale 0 in (3, 0) e 2 in (2, 1), pertanto `e quest’ultimo punto, ovvero (2, 1), la soluzione di Nash del problema dato.

2

(3)

Per quanto riguarda Kalai-Smorodinsky, il punto utopia `e (3, 1) e pertanto la soluzione di KS `e data dall’intersezione della retta y = x/3 con la retta x + y = 3. Quindi otteniamo (9/4, 3/4).

Per la figura a destra, la soluzione `e immediata. In S vi `e un unico punto fortemente efficiente, che `e (2, 1) e quindi esso rappresenta sia la soluzione di Nash che quella di KS.

Esercizio 3 Presentare il valore Shapley.

Esercizio 4 Descrivere e discutere l’equilibrio di Nash.

3

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