I Scrivere una funzione di Matlab che implementi il metodo di Adams-Bashforth a quattro passi

I Scrivere una funzione di Matlab che implementi il metodo di Adams-Bashforth a quattro passi

 u i +1 = u i + ₂₄ ^h (55f i − 59f i −1 + 37f i −2 − 9f i −3 ) i = 3, . . . , N − 1 u 0 = y 0

per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t 0 , t 0 + T ] y (t 0 ) = y 0

dove h = T /N, t _i = t ₀ + ih per i = 0, 1, . . . , N e f _i = f (t _i , u _i )

I Per calcolare u 1 , u 2 e u 3 usare

I

il metodo di eulero;

I

il metodo di Runge-Kutta di ordine 4.

Verificare l’ordine di convergenza del metodo in entrambi casi.

Esercizio

I Scrivere una funzione di Matlab che implementi il seguente metodo predictor corrector







u _{i +1} ^∗ = u _i + ₁₂ ^h (23f _i − 16f i −1 + 5f _{i −2} )

u i +1 = u i + ₂₄ ^h (9f _{i +1} ^∗ + 19f i − 5f i −1 + f i −2 ) i = 2, . . . , N − 1 u 0 = y 0

per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t ₀ , t ₀ + T ] y (t ₀ ) = y ₀

dove h = T /N, t _i = t ₀ + ih per i = 0, 1, . . . , N, f _i = f (t _i , u _i ) e f _{i +1} ^∗ = f (t _{i +1} , u ^∗ _{i +1} ).

I

Usare il metodo di Runge-Kutta di ordine 4 per calcolare u 1 e u 2 .

I

Verificare l’ordine di convergenza del metodo

u ^∗ _{i +1} = u _i + h

2 (3f _i − f _{i −1} )

e verificare di nuovo l’ordine di convergenza del metodo.

Esercizio

Usando il metodo di Eulero approssimare la soluzione di

I



 



 



y ₁ ⁰ (t) = −4y 1 (t) − 2y 2 (t) + cos t + 4 sin t

y ₂ ⁰ (t) = 3y ₁ (t) + y ₂ (t) − 3 sin t t ∈ [0, 2]

y 1 (0) = 0 y 2 (0) = −1

Soluzione esatta: y ₁ (t) = 2e ^−t − 2e ^−2t + sin t y 2 (t) = −3e ^−t + 2e ^−2t

I

 y ⁰⁰ (t) − 2y ⁰ (t) + 2y (t) = e ^2t sin t t ∈ [0, 1]

y (0) = −0.4 y ⁰ (0) = −0.6

Soluzione esatta: y (t) = 0.2 e ^2t (sin t − 2 cos t).



 



 



y ₁ ⁰ (t) = y ₂ (t)

y ₂ ⁰ (t) = −2y ₁ (t) + 2y ₂ (t) + e ^2t sin t t ∈ [0, 1]

y ₁ (0) = −0.4 y ₂ (0) = −0.6