• Non ci sono risultati.

Equazioni differenziali ordinarie metodi a pi`u passi Ana Alonso

N/A
N/A
Info
Scarica
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Equazioni differenziali ordinarie metodi a pi`u passi Ana Alonso"

Copied!
13
0
0

Caricamento.... (Visualizza il testo completo ora)

Scarica adesso ( 13 pagine )

Testo completo

(1)

Equazioni differenziali ordinarie

metodi a pi` u passi

Ana Alonso

Dipartimento di Matematica - Universit`a di Trento

13 dicembre 2019

(2)

Esercizio

Scrivere una funzione di Matlab per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y

0

(t) = f (t, y (t)) t ∈ [t

0

, t

0

+ T ] y (t

0

) = y

0

usando il metodo di Adams-Bashforth a quattro passi:

u

i +1

= u

i

+ h

24 (55f

i

− 59f

i −1

+ 37f

i −2

− 9f

i −3

) i = 3, . . . , n − 1 dove h = T /n, t

i

= t

0

+ ih e f

i

= f (t

i

, u

i

) per i = 0, . . . , n.

Fare u

0

= y

0

e per calcolare u

1

, u

2

e u

3

usare

I

il metodo di Heun;

I

il metodo Runge-Kutta 4.

In entrambi i casi stimare numericamente l’ordine di convergenza.

(3)

Adams-Bashforth 4 passi

function [t,u]=AB4(fun,t0,y0,T,n) h=T/n;

t=[t0:h:t0+T];

u(1)=y0;

for i=1:3

f(i)=fun(t(i),u(i));

K1=f(i);

K2=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K1);

K3=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K2);

K4=fun(t(i)+h,u(i)+h*K3);

u(i+1)=u(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end for i=4:n

f(i)=fun(t(i),u(i));

u(i+1)=u(i)+h/24*(55*f(i)-59*f(i-1)+37*f(i-2)-9*f(i-3));

end

(4)

Esercizio

I

Scrivere una funzione di Matlab che implementi il seguente metodo predictor-corrector

u

0

= y

0

for i = 2, . . . , N − 1

u

∗i +1

= u

i

+

12h

(23f

i

− 16f

i −1

+ 5f

i −2

) u

i +1

= u

i

+

24h

(9f

i +1∗

+ 19f

i

− 5f

i −1

+ f

i −2

) per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y

0

(t) = f (t, y (t)) t ∈ [t

0

, t

0

+ T ] y (t

0

) = y

0

dove h = T /N, t

i

= t

0

+ ih per i = 0, 1, . . . , N, f

i

= f (t

i

, u

i

)

e f

i +1∗

= f (t

i +1

, u

∗i +1

).

(5)

Predictor-corrector

function [t,u]=PC3(fun,t0,y0,T,N) h=T/N;

t=t0:h:t0+T;

u=zeros(1,N+1);

f=zeros(1,N+1);

u(1)=y0;

for i=1:2

f(i)=fun(t(i),u(i));

K1=f(i);

K2=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K1);

K3=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K2);

K4=fun(t(i)+h,u(i)+h*K3);

u(i+1)=u(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end for i=3:N

f(i)=fun(t(i),u(i));

uaux=u(i)+h/12*(23*f(i)-16*f(i-1)+5*f(i-2));

faux=fun(t(i+1),uaux);

u(i+1)=u(i)+h/24*(9*faux+19*f(i)-5*f(i-1)+f(i-2));

end

(6)

Predictor-corrector

Oppure eliminando le variabili uaux e faux

function [t,u]=PC3n(fun,t0,y0,T,N) h=T/N;

t=t0:h:t0+T;

u=zeros(1,N+1);

f=zeros(1,N+1);

u(1)=y0;

for i=1:2

f(i)=fun(t(i),u(i));

K1=f(i);

K2=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K1);

K3=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K2);

K4=fun(t(i)+h,u(i)+h*K3);

u(i+1)=u(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end for i=3:N

f(i)=fun(t(i),u(i));

u(i+1)=u(i)+h/12*(23*f(i)-16*f(i-1)+5*f(i-2));

f(i+1)=fun(t(i+1),u(i+1));

u(i+1)=u(i)+h/24*(9*f(i+1)+19*f(i)-5*f(i-1)+f(i-2));

end

(7)

Esercizio

I

Modificare il metodo predictor-corrector precedente in modo di usare Adams-Bashforth a due passi

u

∗i +1

= u

i

+ h

2 (3f

i

− f

i −1

)

come metodo predictor e verificare di nuovo l’ordine di

convergenza del metodo risultante.

(8)

Predictor-corrector

function [t,u]=PC32(fun,t0,y0,T,N) h=T/N;

t=t0:h:t0+T;

u=zeros(1,N+1);

f=zeros(1,N+1);

u(1)=y0;

for i=1:2

f(i)=fun(t(i),u(i));

K1=f(i);

K2=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K1);

K3=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K2);

K4=fun(t(i)+h,u(i)+h*K3);

u(i+1)=u(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end for i=3:N

f(i)=fun(t(i),u(i));

u(i+1)=u(i)+h/2*(3*f(i)-f(i-1));

f(i+1)=fun(t(i+1),u(i+1));

u(i+1)=u(i)+h/24*(9*f(i+1)+19*f(i)-5*f(i-1)+f(i-2));

end

(9)

Predictor-corrector

L’ordine di convergenza risulta essere 3.

Per avere un metodo predictor-corrector di ordine 4 usando il

metodo di Adams-Bashforth a due passi (metodo di ordine 2)

come predictor e il metodo di Adams-Moulton a tre passi (metodo

di ordine 4) come corrector dobbiamo correggere due volte (K=2).

(10)

Predictor-corrector

function [t,u]=PC32n(fun,t0,y0,T,N) h=T/N;

t=t0:h:t0+T;

u=zeros(1,N+1);

f=zeros(1,N+1);

u(1)=y0;

for i=1:2

f(i)=fun(t(i),u(i));

K1=f(i);

K2=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K1);

K3=fun(t(i)+h/2,u(i)+h/2*K2);

K4=fun(t(i)+h,u(i)+h*K3);

u(i+1)=u(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end for i=3:N

f(i)=fun(t(i),u(i));

u(i+1)=u(i)+h/2*(3*f(i)-f(i-1));

for k=1:2

f(i+1)=fun(t(i+1),u(i+1));

u(i+1)=u(i)+h/24*(9*f(i+1)+19*f(i)-5*f(i-1)+f(i-2));

end

end

(11)

Esercizio

Scrivere uno script di Matlab per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y

0

(t) = −t

2

y (t) t ∈ [0, 1]

y (0) = 1

I

usando il metodo di Eulero implicito.

u

0

= y

0

for i = 0, 1, . . . , n − 1 u

i +1

= u

i

+ hf (t

i +1

, u

i +1

)

I

usando il metodo di Crank-Nicolson.

u

0

= y

0

for i = 0, 1, . . . , n − 1

u

i +1

= u

i

+

h2

(f (t

i

, u

i

) + f (t

i +1

, u

i +1

)) .

(12)

Assoluta stabilit` a

Approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y (t) = −5y (t) t ∈ [0, T ] y (0) = 1

usando

I

il metodo di Eulero esplicito: u

i +1

= u

i

+ h f (t

i

, u

i

);

I

il metodo di Crank-Nicolson:

u

i +1

= u

i

+

h2

[f (t

i

, u

i

) + f (t

i +1

, u

i +1

)];

I

il metodo del punto medio: u

i +1

= u

i −1

+ 2h f (t

i

, u

i

).

Provare con h = 0.5, h = 0.4, h = 0.1, h = 0.0001.

Come si comporta il metodo del punto medio se t ∈ [0, 1]?

(13)

Assoluta stabilit` a

Approssimare la soluzione del problema di Cauchy

( y

10

(t) = 9y

1

(t) + 24y

2

(t) + 5 cos t −

13

sin t y

1

(0) =

43

y

20

(t) = −24y

1

(t) − 51y

2

(t) − 9 cos t +

13

sin t y

2

(t) =

23

usando il metodo di Runge-Kutta di ordine 4.

Confrontare i risultati ottenuti con h = 0.1 e h = 0.05 sapendo che la soluzione esatta ` e

y

1

(t) = 2e

−3t

− e

−39t

+

13

cos t

y

2

(t) = −e

−3t

+ 2e

−39t

−

13

cos t

Riferimenti

Scarica adesso ( PDF - 13 pagine - 147.15 KB )

Documenti correlati

1. Risolvi i seguenti sistemi di tre e equazioni in tre incognite, usando il metodo di Cramer: (a)

In riferimento al cubo dell’esercizio precedente, verifica che i punti medi dei segmenti AB, BF, FG, GH, HD, AD sono tutti complanari4. Che

SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Il metodo di confronto

ultima modifica 14/10/2014 I SISTEMI LINEARI..

Conoscenze ottenute. Metodi iterativi stazionari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocit`a di convergenza. Raggio spettrale e convergenza di un metodo stazionario. Metodi di rilassamento. Metodo SOR.

A differenza dei metodi di- retti (come ad esempio il metodo LU), in genere un metodo iterativo stazionario convergente calcola usualmente solo un approssimazione della soluzione x

Metodo di Bisezione, metodo di Newton, esempi.

A tal proposito si esca per return (cf. [3]) se la derivata prima si annulla in una iterazione ponendo flag uguale a 1 o se il valore assoluto dello step `e minore della

Conoscenze ottenute. Metodi iterativi stazionari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocit`a di convergenza. Raggio spettrale e convergenza di un metodo stazionario. Metodi di rilassamento. Metodo SOR.

Una volta trovata una tale matrice A simmetrica e definita positiva, si modifichi il file demo algebra lineare cos`ı da confrontare su un test il metodo di Jacobi, Gauss-Seidel,

Conoscenze ottenute. Metodi iterativi stazionari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocit`a di convergenza. Raggio spettrale e convergenza di un metodo stazionario. Metodi di rilassamento. Metodo SOR.

Applicare i rispettivi metodi di Richardson ottimali e osservare sia i (possibili) miglioramenti in termini di errore dopo un numero prefissato di iterazioni sia il miglior

2.1 Metodo di bisezione e metodo di Newton

(traccia: ci sono 4 configurazioni possibili (disegnarle); le tangenti alla curva grafico stanno sempre sopra o sotto la curva, la successione {x n } `e monotona e limitata, quindi

Usando il metodo dei residui, si calcoli Z

Trieste, 7 settembre 2009 1 Metodi Matematici per