Prof. Mauro La Barbera

Home page Analisi

Classe quinta

STUDIO COMPLETO DELLA FUNZIONE:

3

4 4x

x 3 y 

1) Classificazione e Campo di esistenza :

Funzione algebrica razionale intera di quarto grado, C.E. o dominio della funzione è :





x (simbologia insiemistica) , oppure ^;^ (simbologia topologica).

2) Simmetrie :

Si pone ^f

 

^x ^3x4 ^4x3 allora: fx3x⁴4x³ ossia: ^f



^x



^3x4^4x3, quindi la funzione non è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, cioè non è una funzione pari, perché dal punto di vista algebrico si ha che ^f ^x ^f^x, inoltre, non è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, ossia non è una funzione dispari, perché si ottiene che ^f ^x ^f^x.

3) Studio del segno :

Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:

0 x 4 x

3 ⁴  ³  cioè: x³(3x4)0 , pertanto, si può scrivere:

1 fattore: x³0x0 , 2 fattore: 3x40 per

3 x 4 .

Quindi per x0 e per

3

x 4 la funzione è positiva, mentre per

3 x 4

0  la funzione è negativa,

infine per x0 e per

3

x 4 la funzione è nulla.

Prof. Mauro La Barbera

“Studio completo di una parabola quartica”

0

y x

1 fattore

+ 0 - 0 +

2 fattore

1

4) Intersezioni con gli assi cartesiani :

 







  0 x

x4 x3

y

^{4 3}

y ^y0 ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.

 







  0 y

x4 x3

y

^{4 3}

x

3 x 4

0 x





ossia interseca l’asse delle x, sia nell’origine che nel punto _



 



 ;0 3 A 4 .

5) Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo che costituisce il dominio :





 

 (3x 4x )

lim_x ^{4 3} e lim_x(3x⁴ 4x³) .

6) Crescenza e/o decrescenza :

Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: ^{y12x312x2} , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 12x³12x² 0 , ossia: ^{12x2(x1)0}, pertanto, si ottiene:

1 fattore: 12x² 0 la disequazione è sempre verificata nel C.E. , cioè x ; 2 fattore: x10 per x .1

Prof. Mauro La Barbera

“Studio completo di una parabola quartica”

0

x

+

_

+

2 y

Quindi, la derivata prima della funzione data è negativa per x 0 e per 0x1 , pertanto, ivi la funzione è decrescente, mentre la derivata prima della funzione è positiva per x , allora,1 ivi la funzione è crescente. Infine, la derivata prima è nulla per x0 e per x , ivi la1 funzione è costante. (L’annullarsi della derivata prima è condizione necessaria affinché esistano punti estremanti, ossia minimanti o massimanti.)

7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale :

La funzione data ha nell’origine degli assi cartesiani un punto di flesso discendente a tangente orizzontale, mentre ha un minimo relativo nel punto di ascissa x (minimante). Per1 determinare il valore di minimo si sostituisce x nell’equazione della funzione, ossia1

 ^{1 3 1 4 1 3 4 1}

f        . Pertanto, la funzione ha un minimo relativo in ^B(1;1). 8) Concavità e/o convessità :

Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: ^{y36x2 24x}.

Si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: 36x² 24x0, ossia



3x 2



0 x

12   , pertanto, si ottiene:

1 fattore: 12x0x0 ; 2 fattore:

3 x 2 0 2 x

3     .

Prof. Mauro La Barbera

“Studio completo di una parabola quartica”

0 x

y

1 fattore

2 fattore

- 0 - 0 +

0

y 

x 1 fattore

2 fattore

+ 0 - 0 +

3

Quindi la derivata seconda della funzione data è positiva per x0 e per

3

x 2 , pertanto, ivi la funzione è concava verso l’alto, mentre la derivata seconda della funzione è negativa per

3 x 2

0  , ivi la funzione è concava verso il basso, inoltre, la derivata seconda si annulla per

0

x e per

3

x 2 . (L’annullarsi della derivata seconda è condizione necessaria affinché esistano punti di flesso.)

9) Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua :

La funzione data presenta due punti di inflessione, e precisamente:

^0;0

0 , ossia l’origine degli assi cartesiani, punto di flesso discendente a tangente orizzontale,

(precedentemente trovato) e un punto di flesso a tangente obliqua per

3

x 2. Per determinare

l’ordinata del punto di flesso si sostituisce

3

x 2 nell’equazione della funzione data, cioè

27 16 27 32 27 16 3

4 2 3 3 2 3 f 2

3 4







 



 



 



 



 



 



 , pertanto, si ottiene il punto 



 



  27

; 16 3

C 2 . Infine , per

stabilire se è un punto di flesso ascendente o discendente si osserva che nel valore

3 x 2 la derivata prima della funzione risulta negativa, quindi si può affermare che la tangente obliqua

del flesso è decrescente, quindi il punto 



 



  27

; 16 3

C 2 è un punto di inflessione discendente.

Osservazioni finali:

Il punto di minimo relativo ^B(1;1) risulta essere anche il punto di minimo assoluto.

Per determinare l’equazione della tangente obliqua del punto di flesso 



 



  27

; 16 3

C 2 si

applica la seguente formula (equazione della retta passante per un punto):



₀



o m x x

y

y   dove ^m^f

 

^x_o , mentre x0 e y0 sono le coordinate del punto di flesso. Pertanto, ha senso scrivere:

Prof. Mauro La Barbera

“Studio completo di una parabola quartica” 4

9 16 27

12 4 27

12 12 8 9 4 27 12 8 3 12 2 3 12 2 3 f 2 m

2 3







 

 





 



  



 



 





 



 



 



 



 





 quindi



 

 





 3

x 2 9 16 27

y 16 

27 16 27 x 32 9

y16   

27 x 16 9

y16  ossia l’equazione della

tangente obliqua del flesso 



 



  27

; 16 3

C 2 .

La funzione data essendo algebrica razionale intera non presenta asintoti.

10) Grafico :

Torna su

Prof. Mauro La Barbera

“Studio completo di una parabola quartica” 5