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Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA Esempio A:
1 x
4 y x
2
1) Classificazione e C.E.:
Funzione algebrica razionale fratta di secondo grado, C.E.: x
1 .2) Simmetrie :
Essendof(x) f(x) , la funzione data non è simmetrica sia rispetto all’asse y che rispetto all’origine degli assi cartesiani.
3) Studio del segno :
Si pone: 0
1 x
4 x2
ossia:
2 x 2 x 0 4 x : ) x (
N 2
1 x 0 1 x : ) x (
D
La funzione è positiva per 2x1 e per x2; è negativa per x2e per 1 x2, è nulla per x2, non esiste per x1.
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione algebrica razionale fratta”
-2 1 2 x y
N(x)
D(x)
- 0 + - 0 +
1
4) Intersezione con gli assi cartesiani :
0 y
1 x
4 y x
2
x
Interseca l’asse delle ascisse nei punti A
2;0
e B
2;0 ,
0 x
1 x
4 y x
2
y
Interseca l’asse delle ordinate nel punto C
0;4 .5) Asintoti :
La funzione ha due asintoti: uno verticale ed uno obliquo, infatti:
sapendo che
x 1 4 limx 1 x2
e
x 1 4 limx 1 x2
allora x1 è l’equazione dell’asintoto verticale.
Inoltre,
x 1
4 lim x
2
x , forma d’indecisione, quindi, per poter calcolare il limite, si può
applicare il Teorema di De L’Hôpital, pertanto, si ottiene:
1
x lim 2
1 x
4
lim x H x
2
x ,
analogamente si ha
1
x lim 2
1 x
4
lim x H x
2
x , pertanto, sicuramente la funzione non
presenta asintoto orizzontale. Sapendo che l’equazione di una retta inclinata è del tipo n
mx
y , si calcola il coefficiente angolare m, mediante la formula:
x ) x ( lim f m x Quindi, in particolare si ha:
x x
4 limx x 1 1 x
4 lim x
m 2
2 2
x , forma d’indecisione, quindi, per poter calcolare il limite, si può applicare il Teorema di De L’Hôpital, pertanto, si ottiene:
1 1 2 lim
lim 2 1 x 2
x lim 2
x x
4
lim x2 H x H x x
2
x
, analogamente si ha per x
, quindi, si è trovato che m1 è il coefficiente angolare.
Adesso, si calcola l’intercetta n della retta inclinata, mediante la formula:
f(x) mx
lim
n x Quindi, in particolare si ha:
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1 x
4 lim x
1 x
x x 4 lim x
1 x x
4 lim x
n x
2 2
x 2
x , forma d’indecisione,
quindi, per poter calcolare il limite, si può applicare il Teorema di De L’Hôpital, pertanto, si
ottiene: lim 1 1
1 lim 1 1 x
4
limx x H x x
, analogamente si ha per x.
Pertanto, la funzione data ha un asintoto obliquo di equazione y x1.
6) Crescenza o decrescenza :
Calcolando la derivata prima si ha:
22 2
2 2
2 2
1 x
4 x 2 x 1
x
4 x x 2 x 2 1
x
) 4 x ( ) 1 x ( x y 2
, studiando il segno della derivata prima si ottiene:
sempre 0
4 x 2 x : ) x (
N 2 (notare che 0),
x 1
0 sempre nel C.E., :) x (
D 2
pertanto, essendo la derivata prima sempre positiva nel suo dominio, la funzione data è sempre crescente, quindi, non possono esistere massimi, minimi relativi e punti di flesso a tangente orizzontale.
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
4
4
32 2
1 x
6 1
x ) 1 x ( 6 1
x
) 2 x 2 ( 4 x 2 x 1 x 2 x y 2
,
studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:
sempre 0
6 : ) x (
N ,
x 1
0 x 1 0 x 1: ) x (
D 3 ,
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pertanto, per x1 la derivata seconda è negativa, quindi la funzione data è concava verso il basso (convessa verso l’alto), mentre per x1 la derivata seconda è positiva, quindi, la funzione data è concava verso l’alto (convessa verso il basso), pertanto, poiché la derivata seconda non si annulla mai, non possono esistere punti di flesso né a tangente orizzontale né a tangente obliqua.
8) Grafico :
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