a Trasformata di Fourier

Spettrometri (FTS)

a Trasformata di Fourier

• Per misurare uno spettro si utilizza quasi sempre il fenomeno dell’

interferenza.

• Nel caso degli FTS si fanno interferire solo due raggi: e’ quindi l’ interferenza realizzata nel modo piu’ semplice

possibile.

• Vedremo che questo codifica l’

informazione spettrale in un modo

molto complicato, ma comunque ben

preciso e decodificabile.

Spettrometri (FTS)

a Trasformata di Fourier

• Per misurare uno spettro si utilizza quasi sempre il fenomeno dell’

interferenza.

• Nel caso degli FTS si fanno interferire solo due raggi: e’ quindi l’ interferenza realizzata nel modo piu’ semplice

possibile.

• Vedremo che questo codifica l’

informazione spettrale in un modo

molto complicato, ma comunque ben

preciso e decodificabile.

• Si prende il fascio di luce da analizzare e si divide in due fasci.

• Uno dei due viene ritardato, facendogli compiere un

cammino ottico piu’ lungo

• Poi i due fasci vengono ricombinati facendoli interferire sul rivelatore

• Si studia l’ intensita’ del fascio ricombinato in

funzione del ritardo introdotto

(interferogramma).

• L’ interferogramma e’

univocamente legato allo

spettro della radiazione sotto analisi (sono una coppia di Fourier).

Ricetta per un FTS

ZPD

OPD

• L’ invenzione dell’ FTS si deve ad A. Michelson

(1880). Nel suo interferometro i due bracci hanno la stessa lunghezza, e si realizza interferenza non

costruttiva solo se la velocita’ della luce nei due bracci e’ diversa.

• Michelson cercava l’ etere, il mezzo in cui avrebbero dovuto propagarsi le onde elettromagnetiche. Ma la terra dovrebbe essere in moto rispetto all’ etere e quindi allineando un braccio dell’ interferometro alla direzione del moto della terra la velocita’ della luce avrebbe dovuto comporsi con quella della

terra, portando ad una diversa fase rispetto a quella del braccio ortogonale al moto. (Esperienza di

Michelson e Morley).

• L’ assenza di questo effetto segno’ la morte della

teoria dell’ etere e l’ inizio della relativita’ speciale di Einstein.

Michelson

• Michelson era conscio delle capacita’ spettroscopiche del suo interferometro (1891 e 1892).

• Ma mancavano rivelatori capaci di misurare

accuratamente l’ intensita’ luminosa (l’ occhio era l’

unico rivelatore che uso’ Michelson)

• Rubens e Wood pubblicarono il primo interferogramma nel 1911, usando come rivelatore un microradiometro.

• Ma finche’ non si svilupparono tecniche efficienti di

calcolo delle trasformate di Fourier, l’ FTS rimase poco utile.

• Negli anni 50-60, con i primi computer, si ebbero i

primi usi astronomici dell’ FTS (P + J. Connes, spettri dei pianeti).

• Nel 1965 Cooley e Tukey pubblicarono l’ algoritmo di trasformata veloce di Fourier, che velocizzo’ i calcoli di diversi ordini di grandezza, permettendo cosi’ l’ utilizzo pratico degli interferometri di Michelson come

spettrometri.

Michelson

Specchio fisso

Specchio Mobile

Rivelatore Beamsplitter

Sorgente

x OPD=2x

Parti

essenziali di un

Michelson

Ambedue i fasci vengono sia riflessi che trasmessi dal

beamsplitter prima di arrivare al rivelatore

Teoria elementare dell’ FTS

( ) ( ) ^{( ( ) ) cos( cos( 2 2 ) 4 )}

) (

x ct

RT E

ct RT

E t

E

o o

πσ πσ

σ σ

πσ σ

σ

+ +

+

=

• Supponiamo che uno dei due bracci sia piu’ lungo per una quantita’ x: l’

OPD sara’ 2x.

• Allora i due campi che si combinano sul rivelatore generano un campo

totale dato da

• Qui RT e’ la efficienza del beamsplitter alle diverse frequenze

ZPD

OPD

Teoria elementare dell’ FTS

( ) ^{( ) cos( 2 )} ( ) ^{( ) cos( 2 4 )}

)

( t E RT ct E RT ct x

E =

σ σ πσ +

σ σ πσ + πσ

( ) [ ][ ]

( ) ^{( ( ) )} [ ^{1 1} ] ^{( ) ( ) 2 ( 1 cos 4 )}

) ( )

( )

( )

(

2 4

4 2

4 2

2 4

2 2

2

* 2

x rt

E e

e rt

E

e e

e e

e e

rt E

t E t E t

E x

I

o x

i x

i o

x i

ct i

ct i

x i

ct i

ct i

o

πσ σ

σ σ

σ

σ σ

πσ πσ

πσ πσ

πσ πσ

πσ πσ

+

= +

+ +

= +

+

=

=

=

−

−

−

−

) 4

cos(

) ( )

( x I rt x

I − = σ πσ

( ) ^{σ rt σ πσ x d σ}

S I

x

I ( ) ( ) cos( 4 )

0

∫

=

−

• L’ intensita’ e’ la media del quadrato del campo:

• Quindi l’ interferogramma e’

• E per uno spettro di ingresso non

monocromatico S(σ):

Interferometri reali

• Per rivelatori non puntiformi si deve tenere conto del fatto che raggi leggermente sghembi hanno una OPD differente da quella dei raggi centrali. Per un raggio a del rivelatore ed una lunghezza focale f del concentratore di uscita, si ha:

• C’e’ quindi un doppio effetto:

1. La scala di frequenze dello spettro osservato e’ spostata rispetto a quella dello spettro originale:

2. C’e’ una degradazione della risoluzione a causa della funzione sinc( )

( )

πσ πσ πσ

σ

σ d

f xa

f xa

f x a

rt S

x I

2 2 2

2

2 2

0

sin 4 )

1 ( 4

cos 1

) ( )

(

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+

=

∫

( ) ^{σ rt σ} { ^{πσ x} } ^{d σ}

S x

I ( ) ( ) 1 cos( 4 )

0

+

= ∫

2 2 / f πσ xa

) 4

/ 1

/( a² f ²

obs −

= σ σ

Interferometri reali

• Dello shift in frequenza possiamo tenere conto facilmente alla fine. Per la perdita di risoluzione,

• In queste condizioni si puo’ invertire la relazione fondamentale, ottenendo lo spettro del fascio di luce sotto analisi:

( ) ^{σ rt σ πσ x d σ}

S I

x

I ( ) ( ) cos( 4 )

0

∫

=

−

( ) ^rt ( ^{I x I} ) ^{x dx}

S σ ( σ ) ∫

( ) cos( 4 πσ )

∞

−

−

=

( )

σ πσ

πσ πσ

<< Ω

→

<<

→

= 1

1 se

/ 1 / sin

2 2 2

2

2 2

f x xa f

xa

f

F xa

Interferometri reali

• Per motivi pratici, non possiamo estendere x fino all’ infinito ! Ci sara’ uno

spostamento massimo possibile per lo specchio, x

.

• S’ e’ una approssimazione dello spettro vero S !

• Il suo effetto e’ di limitare la risoluzione dello spettrometro.

( ) ^rt ( ^{I x I} ) ^{x dx}

S σ ( σ ) ∫

( ) cos( 4 πσ )

∞

−

−

=

( )

(

)

S

x

x

) 4

cos(

) ( )

(

max

max

'

σ σ ∫ πσ

−

−

=

Risoluzione dell’ FTS

• Per una unica riga a σ

, l’ interferogramma e’

• Calcolandone la trasformata di Fourier su un intervallo non infinito, ma limitato a +x

, si ottiene:

• Che e’ solo una approssimazione di S (che sarebbe una delta in σ

.

( )

( ) ( )

( )

max '

'

4 4 sin

) 4

cos(

) 4

cos(

max

max

x x x

I S

dx x

x I

S

o o o

x

x

o o

σ σ

π

σ σ

σ π

πσ πσ

σ

−

= −

⇒

=

∫

−

) 4

cos(

)

(x I I x

I − = _o

πσ

• La risposta a una riga e’ quindi una sinc di larghezza

inversamente

proporzionale a x

.

• Ancora una volta la risoluzione aumenta introducendo un

ritardo maggiore.

• Il primo zero della sinc si trova per

σ σ σ

σ σ

→ Δ

=

Δ OPD

23 . 1 2 2

23 .

1 _max

max

x x

Risoluzione dell’ FTS

• Avevamo visto che

• Combinando con

• Si ha che l’ FTS ha lo stesso vantaggio

Jaquinot dell’ FP:

max

σ

2 x R ≈

Risoluzione dell’ FTS

σ π

= Ω x

≈ 2 Ω π

R

Monitoraggio di

contaminanti atmosferici

TAFTS instrument specifications

Parameter Value

Interferometer Martin-Puplet, differential inputs and outputs Spectral Coverage

800 cm^-1to 80 cm^-1in two bands (a) 800 cm^-1to 330 cm^-1and (b) 330 cm^-1to 80 cm^-1

Filtration Dichroic filters to match detector responses

Resolution 0.1 cm^-1

Optical path 100 mm (total OPD, for D/S interferograms) differential scan, four-fold gearing Scan drive micro-stepping motor with pulley gearing system

Mirror carriage Kinematic: precision V-grooves, 3 ball bearings Acceptance solid angle 6.28 x 10^-4steradians

Working Aperture dia. 25 mm (Area = 4.91 x 10^-4m²)

Beamsplitters 2µm Mylar with linear copper grid

Optical System Reflective, cooled field and aperture stops Outputs One pair differential outputs / spectral band

Detectors Two pairs of photoconductors cooled to 4K probably (a) Silicon BIB and (b) Ge:Ga

Scan time 2 S active, 2.5 seconds total

Optical path velocity 50 mm per second

Mirror velocity 25 mm per second

Fringe frequency bands 5000 Hz -- 1500 Hz and 2500 Hz -- 400 Hz ADC Sampling rate fixed frequency 20 kHz / 10 kHz

Position measurement HeNe interferometer

Sample correction off-line digital filtering + phase correction

Sampling interval 2.5µm nominal

Total signal samples 120,000 per scan (360,000 Bytes)

Laser timings 40,000 samples precise to 1 in 1024 or 2048 Total bytes per scan 440,000 over 2.5 secs.

ADCs 2 off Sigma-Delta 20 bit (Crystal CS 5390)

Data Rate (averaged) 172 kBytes / second (= 604 MByte / hour, 4.82 Gbyte / 8 hours) Recording Medium 2 SCUSI Harddisk; 3.2G capacity each

Calibration Four on-board black body sources

Instrument Controllers Pentium PC, on-board 486 DX4/100 PC

Mass 80 kg (Interferometer) 27 kg (control box) 3 kg (disk box)

Environmental Down to -50 Centigrade, 50,000 feet Interferometer at ambient temp, evacuated some electronics at 10C, 1 atmosphere Power Consumption 200 Watts + heaters (Up to 1 kW)

Monitoraggio della

trasmissione atmosferica

One-Meter Fourier Transform Spectrometer

National Solar Obsrvatory

Maximum path difference: 1 meter Minimum resolution element: 0.005 1/cm (0.010 symmetric) Spectral range: 550 1/cm to 45000 1/cm (2200 to 18 micrometers) Throughput: 1 cm diameter at f/50 for R = 600,000

Position accuracy: 1.5 millifringe RMS at 6328 Typical wavenumber accuracy: 10^-3 cm to 10^-4 cm Dynamic range: 19 bits (5*10^5)

(FTS) is a folded Michelson interferometer housed in a vacuum vessel. The instrument is available for use either in conjunction with the McMath's main beam

or with laboratory sources. It should be considered when very accurate line positions are needed, when broad spectral coverage is required, when a stable instrumental profile is desirable, or when working in the infrared. In general, full time run support is provided for visitors by the observatory staff for the duration of

FTS runs.