S u l l e c u r v e r a z i o n a l i d o t a t e d i c u s p i d i .
~ o t a di A~m~O~O L O ~ H ~ (a Lugano).
Santo, - S i espongono a l c u n i r i s u l t a t i di geometria n~tmerativa concernenti le curve r a z i o n a l i iperspaziali.
1. I n uno spazio lineare a quante si vogliano dimensioni, sopra u n a c u r v a razionale e irriducibile F si consideri u n a serie algebrica ~'~, di dimen- sione r, d ' o r d i n e n e d ' i n d i c e v ~ 1, di gruppi di p u n t i : n e e e s s a r i a m e n t e equivalenti per la razionalit/~ di P.
Se v~, v.~,..., v t sono t h u m e r i (distinti o no) interi e positivi, tali c h e :
V~ - I - V~ - l - ... - l - Vt ~ r ,
con 1 ~.~ t ~ n - r, la
T~
possiede in g e n e r a l e u n n u m e r o finito /V di gruppi dotati eiaseuno di (2) t punti r i s p e t t i v a m e n t e multipli (~) secondo vi-+-1 ( i ~ 1, 2,..., t); ed ~ noto come N si possa calcolare m e d i a n t e u n a f o r m u l a di DE J-OIqQUI~]RES~ la quale, nel caso della c u r v a sostegno F razionale, diviene (~):(1) N _ _ ~ T ~ , t, ~ I (~' + 1)(v, -4- ~) ... (v~ + 1)v n ( - - r )
supposto che nelF.insieme dei t n u m e r i v~, rictucentisi a ": clistinti, ve ne siano a~ eguali fra di loro ma diversi dai r i m a n e n t i t - - ~ j ( ] - - 1 , 2,..., ~) perb da osservare t h e se la curva P ha delle cuspidi, nel numero Iq fornito dalla (1) risultano conteggiati, in modo a]~atto incognito, anche i gruppi di ~ con almeno uno dei t p u n t i multipli situceto i n u n a cuspide : m e n t r e in molti importanti problemi oceorre fare astrazione da tali gruppi.
Cost, ad esempio, supponendo la curva P u n a F ° di ordine n, con ~ cu-
n
spidi ordinarie in posizione generica, senza altri elementi stazionari che iperpiani ordinald, e a p p a r t e n e n t e allo spazio Sr ad r dimensioni, il n u m e r o dei suoi iperpiani r - t a n g e n t i (ciaseuno ad r rami) eguaglia quello dei gruppi
(4) S o t t i n t e n d a s i : almeno e in generale precisamente.
(2) E. DE JONQUI~RES, Mdmoire sur les contacts multiples d'ordre quelconque . . . J-ournal fiir Math. ),, 66. 1866. Cf. p u r e : F . SEVERI~ T r a t t a t o di geometria algebrica, Vol. I~ P a r t e I (Bologna~ 19"26)~ p. '243; R. TORELLI~ Dimostrazio~e di u n a f o r m u l a di JDe Jonqui~res e suo significato geometrico~ << R e n d i c o n t i deI Circolo M a t e m a t i c o di P a l e r m o .,, 2i, 1906~ e S u i sistemi algebrici di curve a p p a r t e n e n t i a d u n a superficie algebrica, , A t t i d e l l ' A c c a d e m i a di Torino ~,, 42~ 1907~ n. 1~ u l t i m a nora.
t72 .A. ][~ONGH[: S,ulle c~,rve razionali dotc, te /1.i cuspidi
con r p u u t i doppi tutti d i s t i n t i dalle ~ c u s p i d i (3) entro la serie lineare g::
delle sezioni i p e r p i a n e di F °" onde n * la f o r m u l a {1) di D~ J o ~ q u ~ n . E s n o n atta a determinare il n u m e r o suddetto se non qua.~,do ~ ~ O. P o n e n d o v i t = r, v - - 1 , v i - - 1 , "~ ~.= 1, ~ - - - r essa offre soltau~o il n u m e r o :
degli i p e r p i a n i r - t a n g e n t i di u n a generiea (~) e u r v a r a t i o n a l e d ' o r d i n e n dello spa~io S,..
Ben diversa, e assai m e n o sempliee, g l ' e s p r e s s i o n e del n u m e r o s~esso nel caso ~ > 0 : vedasi il n. 3.
2. In un lavoro in corso di pubblicazione ¢) risolvo a p p u u t o la questione di precisare i l n u m e r o X dei g r u p p i della serie ,(~, d'indice v, dotati ciascuno dei t p u n t i (vi-v-t)-upli s u m m e n z i o n a t i (n. 1): perb t u t t i d i s t i n t i dalle ~ cu.
s p i d i della v u r v a sostegno F°n razionale (n. 1). E dimostro i l teorema esl)resso dalla seguente f o r m u l a :
v ~ ( t ~ k ) I k l s k
(2) X - - ~, ! % ! ... ~ ! ~=o t - - k k
ove i • h u m e r i ~j ( j - - i , 2 , . . . , ~) sono quelli gi~ definiti nel n. 17 mentre s 0-~-1 ed Sk ( k ~ l , 2,..., t) ~ la s o m m a d e i p r o d o t t i a k a k dei t h u m e r i ( d i s t i n t i o no) v~, v2, ..., yr.
Si avver~a che nella (2), e in t u t t e le f o r m u l e del seguito, ~ da ritenere
invece porre :
s e h < 0 < k .
q u a n d o h ~ O , ed ~ ( h ) - - 0 solo se 0 ~ h < k ; d o v e n d o s i
3. A p p l i c a n d o la f o r m u l a (2) alla serie lineare s~accata sulla curva F:
di S,. (n. t) dagli i p e r p i a n i p a s s a n t i p e r u n generico spazio S~-~_1, si per- viene al t e o r e m a che s e g u e :
Gli i p e r p i a n i a v e n t i ciascuno con u n a curva razionale F °. d ' o r d i n e n,
(8) Se q u e s t e n o n fossero su P• in p o s i z i o n e g c n e r i c a , p o t r e b b e r o e c c e z i o n a l m e n t e esi- 0
stere g r u p p i a v e n t i ad e s e m p i o r - - 1 p u n t i doppi i n p u n t i seml)lici di I'~ e u a punto ta~iplo (almeno) in una e u s p i d e : eel a l l o r a tati e v e n t u a l i grupioi sa~rebbero da c o n t e g g i a r e nel nu.
m e r o dl q u e l l i situati in i p e r p i a n i r - t a n g e n t i di r n. o
(4) Cos1, p e r b r e v i t h , si c h i a m e r h la c u r v a r n , sopra con,~iderata~ neW ipotesi .~---0. 0 (5) 2N'ei (, C o m m e n t a r i i iViath. I-telvetici ~ : A. L o ~ t I ~ I gruppi co,t~ elementi multipli distinti dc~He cuspidi nelle'serie algebriche sulte curve razionali cuspidate.
A. L o 5 m l t : S~dlc cwrve ra.zionali dola, te di c:uspidi 173
a p p a r t e n e n t e a d S~ e d o t a l a d i ~ c u s p i d i (~), t d i s t i n t i c o n t a t t i {~) di r i s p e t t i v i d a t i o r d i n i vi ~ 1 (i - - 1, 2, ..., t), con :
? i -~- V ~ -F- ... + Yt'-- f$ ~ 8
e 1 < t ~ n - - % [ o r m a n o u n a v a r i e t ~ c,~ ~-~ di ~lasse :
T E ( t - - k ) ! k ! s h
% ! ~ ! ... ~ , . ~ = o t - - k
c o n s e r v a n d o i s i m b o l i :¢j (j = 1, 2, ..., ~) ed sk (k = 0, 1, ..., t) i m e d e s i m i signi.
ficati che n e l n. 1 e nel n. 2.
D i q u e s t o t e o r e m a e r a f i n o r a n o l o , i n t u t t a l a s u a g e n e r a l i t h , solo il caso p a r t i c o l a r e c o r r i s p o n d e n t e all' ipotesi ~ = O.
C o m e c o r o l l a r i o r i s u l t a a d e s e m p i o c h e (cfr. n. 1):
I1 n u m e r o degli i r ) e r p i a n i r - t a n g e n t i (ciaseuno a d r r a m i ) d e l l a c u r v a ]3o ~ :
~ " ~ P)
~:=o \
4. A r i s u l t a ~ i d i b e n m a g g i o r e r i l i e v o c o n d u c e l ' a p p l i c a z i o n e d e l t e o r e m a g e n e r a l e d e l n. 2 a l l a s e r i e l i n e a r e deserit, t a d a l g r u p p o d e g l i i p e r p i a n i o s e u - l a ~ o r i a P~ (n. 1) u s c e n t i d a u n p u n t o v a r i a b i l e i n u u g e n e r i c o s p a z i o So di S . . Si t r o v a i n f a t t i a l l o r a e h e :
~ e l l o s p a z i o Sr a d r d i m e n s i o n i il luogo dei p u n t i t a l l che d a d a s c u n o di essi escono a h n e n o , e i n g e n e r a l e p r e c i s a m e n t e , t s p a z i d i s t i n t i S r - ~ - I (t ~ 1; i = 1, 2, ..., t) o s c u l a t o r i d i u n a d a t a c u r v a r a z i o n a l e P ° d' o r d i n e n, I1 a p p a r t e n e n l e a d S t , co~ ,o c u s p i d i (~) e q u i n d f d i classe:
n ' --- r ( n - - r + 1) - - (r - - 1)9,
~ 8e :
V~ q - V~ q-- ... q - Vt " - o - ~ r~
u n a v a r i e l d di d i m e n s i o n e r - ~ e d i o r d i n e :
1 1) kz ( t _ k),
:¢~ ! ~ ! ... ~ ! = " k
D e v e s i s u p p o r r e l ~ v i < r e t ~ n ' - - a ; m e n t r e a i s i m b o l i aj 0 - ' - l , 2, ..., ~:) e Sk ( k - - " O, 1, ..., t) v a n n o a t t r i b u i t i g l i s t e s s i s i g n i f i c a l f che n e i n. 1 e 2.
(6) P e r la eurva p0n si sottintendano sempre soddisfatte le ulteriori ipoiesi precisate nel n. i.
(7) Ritenut% beninteso~ the un ip~,rpiano abbia un contatto di ordine ~ 1 con la curva in una sua cuspide P quando eontiene 1' S~ (e non soltanto t'S~-1) osculatore in P al ramo (2, 1,...~ 1) di cui P b origine: err. nora (3); cosicch6 un iperpiano generico per P non 6 da considerarsi tangente alia curva in t ).
174 A. LONGHI: Su~lle c~orve raz~onal4 dot(~te di cuspidi
Di questo t e o r e m a non era sinora note, in tutta la sua estensione, nep- pure ii case partieolare relative alt'ipotesi ~---O.
L ' i n t e r e s s e del t e o r e m a medesimo si d e s u m e dalla possibiliti~ ehe esso offre s e n z ' a l t r o di risolvere in mode affatto e s a u r i e n t e i due problemi gene- rati seguenti (s):
Essendo F u n a eurva razionale, anehe euspidala, ai)parlenenle ad uno spazio lineare qualunque, delerminare :
a) Gli ordini di tulle le variet~ multiple di u n a qualsiasi sviluppabile osculatriee di F.
~) L'ordine della variet~ d'intersezione di quanle si vogliano sviluppabili oseulatrici dt F o lore variet~ multiple.
5. F r a le molteplici proposizioni speciali deducibili daI t e o r e m a del n. 4 a l c u n e sono assai notevoli. Ad e s e m p i o :
Nello spazio S~ ad r dimensioni esistono :
~2(~ 1)~(n--r + k--1)(rn--r ~-k)
k r - - k
p u n t i caratlerizzati dalla propriet~ the in ciascun'~ di essi concorrono r spazi St-~ osculatori distinti di u n a generica (~) curca razionale d'ordine n appar.
tenente ad S t .
Giova osservare che, sebbene il n u m e r o fornito da q u e s t ' u l t i m a proposi.
zione sia (per dualith) u g u a l e a quello degli iperpiani r - t a n g e n t i di una c u r v a razionale d ' o r d i n e r(n ~ r A-1) a p p a r t e n e n t e ud 5 . , il numero stesso non si poteva oltenere con l'ordinaria f o r m u l a di DE JONQUI~RES : pereh/~ tale c u r v a
possiede n e c e s s a r i ~ m e n t e ( r - ~ 1)(n ~ r) cuspidi (cfr. n. 1).
Pitt in g e n e r a l e :
Se ~ ~ u n divisore di r, e 1 ~ l~ ~ ~, esislono i n S t : r
~:~ ( l ~ [ r n - - r ~ - k~
(__1) a ~ - - r + k - -
p u n t i da eiascuno dei quali escono r: lz spazi distinti St--~-t oscutatori d~ u n a generica (') curva razionale d'ordine n apparlenente ad S~..
A n c o r a :
Supposto v ~ - l - - v ~ - ' r , ~ 1 se v~di=v~ ed ~ 1 / 2 se v~--~v 2, u n a eurva
(s) V e d a s i l ' a l t r o m i o l a v o r o p u r e i n c o r s e d i s t a m p a n e i ,, C o m m e n t a r i i m a t h . K e l v e -
~oi ,~ : A . LONGE~[, S~lle svil~plo~bili osculatrici de le c~rve razio~ali iperspaziali.
A. LONGttI: ~ [ V cwrve ,rcbzionali dotate eli c~tspizli 175
r a z i o n a l e P ° d' o r d i n e n, a p p a r t e n e n t e a d Sr e c o n ~ c u s p i d i (6), a m m e l t e :
I1
2~v~v~ 2 + ~r(n - - r - - 1)p - - 2~(r - - 1)
s p a z i Sr_~ a v e n t i c i a s c u n o c o n e s s a d u e d i s t i n t i c o n t a t t i r i s p e t t i v a m e n t e v ~ - p u n t o e v ~ - p u n t o .
I n p a r t i c o l a r e , q u a n d o p---0 il r i s u l t a t o c o n c o r d a c o n q u e l l o o f f e r t o d a n o t e f o r m u l e d e t S E v E r n (9).
(9) ]~o SEVERI~ [ gruppi neutri con elementi multipli in un'involuzione sopra un ente razionalej ~ Rendiconti dell'&ecademia dei Lincei ,,~ 9~ 1900~.
~. SEVERI, Sopra aleune singolwrit~ delle curve di un iperspazio~ ~, Memorie dell'Acca- demia di Torino ~ 51~ 1902~ n. 7.
