Vibrations des systèmes mécaniques

Examen ENSA : Vibrations des systèmes mécaniques page1/2

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Examen du 2 Juillet 2010

Vibrations des systèmes mécaniques

Cursus double diplôme

Durée 2 heures, documents autorisés

Réponse dynamique d’un plancher

On se propose d’étudier la réponse dynamique d’un plancher supportant une machine tournante. La figure ci-contre schématise la structure à étudier. Le plancher est modélisé par une poutre reposant sur des appuis élastiques. Le reste du bâtiment est supposé infiniment massif par rapport au plancher, objet de notre étude dynamique.

Le rotor de la machine n’est pas parfaitement équilibré, il transmet donc au plancher une excitation que nous modéliserons par une force verticale harmoniqueFcos

ω

t.

gG

A

k

cos F ωt

xGo

ω

yG_{o k}

La masse de la machine sera supposée négligeable devant celle du plancher.

I Plancher rigide

Dans cette première approche du problème le plancher est supposé parfaitement rigide.

On note :

m = ρ S A

masse du plancher (

ρ

masse volumique, Ssection uniforme,

A

longueur de la poutre) k Raideur des appuis élastiques

On pose :

y

le déplacement vertical du plancher par rapport à sa position d’équilibre statique.

• Exprimer l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et le travail de la force d’excitation.

• En déduire l’équation des mouvements par rapport à la position d’équilibre

• Quelles sont les précontraintes dans les appuis élastiques (allongements à l’équilibre)

• Quelle est la fréquence de résonnance du dispositif, on notera

ω

_ola pulsation propre.

• Exprimer la réponse forcée du système (solution particulière de l’équation du mouvement)

• Donner l’allure du diagramme de Bode avec l’échelle bi logarithmique Application numérique :

Quelle est l’amplification dynamique, en décibel, si le moteur tourne avec une vitesse

ω = 1,1 ω

_oet

2 ω

_o

II Plancher élastique

Le plancher est maintenant modélisé par une poutre élastique.

On note :

EI

la raideur élastique du plancher

E

Module d’Young du matériau,

I

moment quadratique de la section

( , )

v x t

le déplacement vertical du plancher par rapport à sa position d’équilibre statique.

On posera :

EI

₄

2 k

S α m

ρ A ⁼

Pour construire une solution approchée de notre problème nous allons utiliser la solution analytique, connue, du problème voisin de la poutre sur deux appuis glissants.

Rappel :

Il existe un mode rigide de translation

V x

₀

( ) = 1

Les solutions de l’équation caractéristique « sin

λ

Asinh

λ

A=0 »

sont :

λ

_i

A = i π

d’où les pulsations propres i

( )

i ² 4

EI ω λ S

= A ρ

A

Problème voisin

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2/2 Les modes de vibration associés sont :

V x

_i

( ) = cos i x π / A

,

ils vérifient :

/ 2

cos / cos /

o

0

i j

i x j x dx

i j

π π _{= ⎨} ^{⎧ =}

⎩ ≠

∫

^A

^{A A A}

II-1 Équations du problème

• Exprimer l’équation locale en

v x t ( , )

pour le problème posé sur ^x=

] [

^0,A

On utilisera la « fonction dirac »

δ ( x − A / 2)

pour introduire l’excitation dynamique du moteur.

• Exprimer les conditions aux limites en 0et

A

• Expliquer pourquoi les modes propres du problème voisin sont cinématiquement admissibles.

• Donner l’expression du Principe des travaux virtuels du problème pour des déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

• Identifier l’énergie cinétique, l’énergie de déformation de la poutre et des ressorts, le travail virtuel de la force d’excitation

• Pourquoi le champ de pesanteur n’intervient-il pas dans l’équation des mouvements ? II-2 Approximation

Nous allons utiliser la base modale du problème voisin pour construire l’approximation.

{ } { }

0

( , ) ( ) ( ) 1 ... cos / ...

n

i i

i

v x t V x q t i x π q V q

=

= ∑ =< ^A > =< >

• Donner l’expression de la matrice masse en fonction de < V >

Pourquoi cette matrice est-elle de la forme

[ ]

1 1/ 2

...

1/ 2 M ρ S

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

• Montrer que la matrice raideur est la somme de deux matrices :

Une matrice

⎡ ⎣ K

_f

⎤ ⎦

due à la flexion du plancher qui est diagonale, et dont on donnera l’expression en fonction des pulsations propres du problème voisin :

ω

_i²

Une matrice

[ ]

Kk due aux ressorts que l’on exprimera en fonction de k.

• Donner l’expression du vecteur force généralisée.

II-3 Pour l’approximation à 2 DDL :

( , )

₁( )t ₂( )t

cos x

v x t q q π

= +

A

• Calculer l’approximation deux premières pulsations propres

( Ω Ω

₁²

,

²₂

)

en fonction de

ω

_o²et

α

, tracer l’allure de ces 2 modes.

• Expliquer pourquoi la réponse forcée du système redonne la solution sans déformation du plancher.

• En serait-il de même si le moteur était situé ailleurs qu’au milieu de la poutre ? Le moteur est maintenant situé en x= A/ 4

• Donner l’expression de la réponse forcée

v x t ( , )

Vérifier que cette solution redonne la réponse obtenue en I pour

α

→ ∞ (plancher rigide)

• pour

α = 10

⁻² (fixation rigide du plancher)

Calculer l’approximation des 2 premières fréquences de résonance du système.

L’amplitude de la réponse dynamique est maximale au niveau des appuis. Tracer l’allure de la réponse forcée maximale en fonction de la fréquence d’excitation (utilisez l’échelle bi logarithmique)

Quelle est l’amplification dynamique maximale (en décibel) si le moteur tourne avec une vitesse

ω = 2 ω

_o Complément de l’étude : modes et réponse forcée pour une approximation à 3 DDL, atténuation des vibrations.

Cette étude, trop longue à faire en temps limité, permet de mettre en évidence le couplage plancher - ressorts.