DES SYSTÈMES MÉCANIQUES V IBRATIONS EN PETITES PERTUBATIONS

V IBRATIONS EN PETITES PERTUBATIONS DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

H ERVÉ O UDIN

Table des matières

I AVANT PROPOS ... 5

II MISE EN ÉQUATIONS D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ... 7

II-1 R APPELS ... 7

II-1.1 Les actions mécaniques ... 7

II-1.2 Le paramétrage... 8

II-2 P RINCIPE DES T RAVAUX V IRTUELS ... 8

II-2.1 Énoncé du PTV... 8

II-2.2 Équivalence PTV - PFD ... 8

II-2.3 Le Théorème de l’énergie... 9

II-3 M ISE EN ÉQUATIONS DES SYSTÈMES DISCRETS ... 9

II-3.1 Déplacements virtuels - définitions... 9

II-3.2 Équations de Lagrange ...10

II-3.3 Forme pratique des équations de Lagrange ...11

II-3.4 Analyse d’un problème par les équations de Lagrange...12

II-4 M ISE EN ÉQUATIONS DES MILIEUX CONTINUS ...19

II-4.1 Rappels de MMC...19

II-4.2 Écriture du PFD ...22

II-4.3 Écriture du PTV ...23

B IBLIOGRAPHIE ...27

N OTES PERSONNELLES ...28

III OSCILLATEURS À UN DDL... 29

III-1 G ÉNÉRALITÉS ...29

III-2 F ORME CANONIQUE DE L ’ ÉQUATION ...31

III-2.1 Définitions...31

III-2.2 Analogie électrique...32

III-3 R ÉGIME LIBRE ...32

III-2.1 Aspect analytique...32

III-2.2 Aspect expérimental ...34

III-4 R ÉGIME PERMANENT ...35

III-4.1 excitation harmonique...35

III-4.2 excitation périodique...42

III-5 S OLUTION GÉNÉRALE ...44

III-5.1 variation des constantes...45

III-5.2 Réponse indicielle...46

III-5.3 Réponse impulsionnelle...46

III-5.3 Utilisation des réponses indicielle et impulsionnelle...47

N OTES PERSONNELLES ...48

IV OSCILLATEURS À N DDL... 49

IV-1 F ORME LINÉAIRE DES ÉQUATIONS ...49

IV-2 É TUDE DU SYSTÈME CONSERVATIF ...51

IV-2.1 Fréquences et modes propres...51

IV-2.2 Orthogonalité des modes propres...52

IV-2.3 Coordonnées généralisées...53

IV-2.4 Régime permanent harmonique...55

IV-2.5 Calcul pratique des valeurs propres...56

IV-3 É TUDE DES SYSTÈMES DISSIPATIFS ...59

IV-3.1 Système dissipatif à amortissement proportionnel...59

IV-3.1 Système dissipatif à amortissement quelconque...60

IV-4 T ROIS EXERCICES DE SYNTHÈSE ...61

N OTES PERSONNELLES ...63

V VIBRATIONS DES MILIEUX CONTINUS ... 65

V-1 R ÉGIME LIBRE ...65

V-1.1 Problème aux valeurs propres ...66

V-1.2 Théorème d’expansion ...66

V-1.3 Réponse à des conditions initiales non nulles ...68

V-I1 R ÉGIME FORCÉ PAR L ’ ANALYSE MODALE ...68

V-III M ÉTHODES D ' APPROXIMATION ...70

V-III.1 Méthode des résidus pondérés...71

V-III.2 Méthode variationnelles discrétisées. ...73

N OTES PERSONNELLES ...75

I Avant propos

Les vibrations mécaniques apparaissent dans toutes les structures, elles ont une influence considérable sur le fonctionnement et la durée de vie de ces structures. Les excitations dynamiques, qui sont la cause des vibrations, sont nombreuses. Elles proviennent, soit de l’environnement extérieur (sol, atmosphère, eau, contacts ou chocs avec d’autres structures), soit de dispositifs internes mobiles (machines intégrées à la structure). Le plus souvent ces vibrations sont néfastes pour les structures (usure, rupture ou ruine) comme pour les personnes (bruits, confort, fatigue) est peuvent conduire à un danger pour la santé. Ces problèmes couramment posés à l’ingénieur doivent être pris en compte aussi bien au niveau de la conception que de la vérification des structures. Ils sont complexes, phénomènes non linéaires et excitations souvent aléatoires.

Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons à l’étude des vibrations linéaires des systèmes continus et discrets. Ces bases théoriques permettront d’aborder dans d’autres cours les phénomènes plus complexes cités précédemment.

Le premier chapitre de ce cours fait le lien avec le cours de mécanique de première année, où vous avez vue et mis en application le Principe Fondamental de la Dynamique « PFD » pour effectuer la mise en équations d’un système de solides rigides « système mécanique discret ». Nous présentons ici le « PTV » Principe des Travaux Virtuels qui nous permet d’obtenir de façon systématique les équations du mouvement du système. Nous apprendrons à « linéariser » ces équations dans le cadre des petits mouvements autour d’une position d’équilibre. Et nous verrons comment appliquer ces deux principes aux milieux continus.

Le second chapitre est consacré aux vibrations des systèmes à un degré de liberté « ddl », la connaissance du comportement de l’oscillateur simple est fondamental pour la suite, il permet d’appréhender les différents types de mouvement « oscillations libres », « oscillations forcées », réponse à une excitation harmonique puis périodique. Les principales propriétés de ces réponses nous permettrons de présenter les méthodes expérimentales permettant d’évaluer les caractéristiques mécanique de l’oscillateur : sa masse, sa raideur, son amortissement.

Le troisième chapitre est la généralisation de ce qui vient d’être vue aux systèmes discrets ayant un nombre fini de degré de liberté. Nous présentons la méthode d’analyse modale qui permet de décomposer la réponse linéaire d’un système à N degrés de liberté sur la réponse de N oscillateurs à un degré de liberté.

Dans le dernier chapitre nous aborderons l’étude des vibrations des milieux continus, nous montrerons comment résoudre analytiquement les modèles monodimensionnels (vibrations des barres et poutres) en généralisant la méthode d’analyse modale. Puis sur ces mêmes modèles nous mettrons en place la notion d’approximation qui permet de se ramener à un système discret.

A la fin du cours les bases indispensables à la compréhension de la « méthode des éléments finis » auront été abordées. La méthode des éléments finis est une des principales méthodes à l’heure actuelle pour calculer et dimensionner les structures, elle permet d’aborder des problèmes complexes et peut être appliquée à différents domaines de la physique. Vous utiliserez cette méthode en deuxième année à l’Ecole central de Nantes.

Principales abréviations utilisées dans ce cours : DDL Degré de Liberté

MEF Méthode des éléments finis MMC Mécanique des Milieux Continus PFD Principe Fondamental de la Dynamique PTV Principe des Travaux Virtuels

Principales abréviations utilisées dans ce cours :

, x

A A x

∂ =

∂ ^{de même , y}

A A y

∂ =

∂ ^{et ,z}

A A z

∂ =

∂ ^{etc …}

2

2 , uu

A A u

∂ =

∂ ^ou

²

2

2 ,u

A A u

∂ =

∂ ^{de même}

2

,uv

A A u v

∂ =

∂ ∂ ^{etc ….}

dA A

dt =  de même

2 2

d A A dt = 

Notations matricielles :

[ ] Pour une matrice quelconque

{ } pour un vecteur colonne,

{ } ^T

< >= pour un vecteur ligne.

Quelques mots clefs par chapitre:

Chap.II : PFD - Mécanique analytique - PTV – MMC.

Chap.III : Vibrations - Oscillateurs simples - Régime libre et forcé - Diagramme de Nyquist - Diagramme de Bode - Série de Fourier.

Chap.IV : Analyse modale – Coordonnées généralisées – Matrice modale – Matrice admittance – Quotient de Rayleigh – Condition de Caughey – Transformation de Duncan.

Chap.V : Fonctions admissibles – fonctions de comparaison – Problème auto-adjoint – Théorème d’expansion.

Site Web :

https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/vibra/vibra.htm

II Mise en équations d’un système mécanique

Ce chapitre présente les deux principes qui permettent d’effectuer la mise en équations des systèmes mécanique. Nous nous attacherons à l’équivalence de ces principes, mais aussi à ce qui en fait la différence dans la mise en œuvre en fonction des objectifs de l’étude et des méthodes de résolution que l’on souhaite utiliser.

Bien entendu nous restons dans le cadre de la mécanique classique admettant :

• que les propriétés du référentiel espace-temps sont identiques pour tout observateur,

• qu'à tout corps matériel on peut associer une masse (nombre positif),

• et que les actions mécaniques peuvent être modélisées par un champ de vecteurs liés.

Le Principe Fondamental de la Dynamique présenté dans le cours de mécanique nous fournit des relations vectorielles entre le torseur des efforts extérieurs appliqués au système et sa quantité d’accélération par rapport à un repère supposé galiléen.

PFD : { } ^/ { ^/ }

A

ext Rg A

Rg t F _Σ ma _Σ

∃ ∀Σ ∀ G = G

La principale difficulté d’application du PFD est de déterminer les systèmes et les directions privilégiés qui conduisent aux équations principales du problème. Pour un système matériel complexe il est difficile d’obtenir les équations du mouvement car il faut faire apparaître un nombre important d’inconnues secondaires correspondants aux efforts de liaison.

La mécanique analytique, que nous allons aborder dans ce chapitre permet d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème. Basée sur un Principes Variationnel ce principe utilise les grandeurs scalaires que sont l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, et le travail virtuel des efforts appliqués au système.

II-1 Rappels

II-1.1 Les actions mécaniques

Les actions mécaniques peuvent être classifiées en :

Efforts donnés : caractérisés par un torseur noté { } F d

On y trouve les champs de force (volume), ainsi que les pressions supposées connues pouvant s’exercer sur une partie de la frontière du domaine.

Efforts inconnus : caractérisés par un torseur noté { } F i

Ces efforts sont des inconnues du problème, ils correspondent aux liaisons mécaniques modélisées par des déplacements ou des vitesses imposées, ces liaisons sont appelées

« liaisons cinématiques ».

Classification essentielle, elle conditionne notre analyse du problème mécanique.

Une seconde classification ‘‘théorique’’ vient s’y superposer qui correspond à la formulation du PFD. Nous devons donc pouvoir différentier les efforts intérieurs et extérieurs à un système matériel.

Efforts intérieurs : caractérisés par un torseur noté { } F int

Le torseur des efforts intérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui agissent entre les différents éléments matériels du système considéré.

Efforts extérieurs : caractérisés par un torseur noté { } F ext

Le torseur des efforts extérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui

proviennent d’éléments extérieurs au système matériel considéré.

II-1.2 Le paramétrage

La toute première phase d’analyse d’un problème mécanique consiste à pouvoir décrire les mouvements du système matériel par rapport à un espace d’observation donné. Cette analyse conduira au paramétrage des mouvements du système.

Pour un système matériel constitué d’un nombre fini de solides supposés indéformables, La position du système considéré dépend d’un nombre fini de paramètres, on parle de systèmes discrets.

( , ) _i

P OP P q t

∀ ∈Σ JJJG = G

L’espace de configuration du système discret est l’ensemble des n valeurs des paramètres q _i à un instant τ

Pour un milieu continu il faut prendre en compte sa déformation, la position actuelle des particules sera définie par rapport à sa position initiale, description Lagrangienne des mouvements. On parle de transformation du milieu continu.

( , )

P x P X t

∀ ∈Σ G = G G

La transformation P G

est bijective elle définie complètement les mouvements du système matériel.

II-2 Principe des Travaux Virtuels

Dans la littérature vous trouverez deux présentations de la mécanique analytique

Principe de d’Alembert - Lagrange : c’est un principe variationnel, l’état du système à un instant donné est pris comme référence et on considère l’influence des variations des paramètres du mouvement.

Principe d’Hamilton : il repose sur une fonctionnelle, en mécanique l’énergie du système. C'est un principe intégral.

Dans ce cours nous présentons le Principe des travaux virtuels ou Principe de d’Alembert. Il faut savoir qu’il y a équivalence formelle entre les trois principes (Newton, d’Alembert, et Hamilton), ils conduisent aux mêmes équations, ce n’est que le point de vue (point de départ de la formulation) qui diffère.

Nous profiterons de ce chapitre pour revoir les notions d’énergie, de puissance, et de travail présentées l’an passé.

II-2.1 Énoncé du PTV

Pour bien ancrer l’équivalence qui existe entre les principes, nous retenons une énoncée similaire à celle utilisée pour le principe fondamental de la dynamique.

PTV : ∃ Rg ∀Σ ∀ t ∀ δ q δ W _{( ) Σ} = δ A _{( / Σ Rg )}

« Il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que quelque soit le système matériel considéré, à tout instant et pour tout déplacement virtuel, le travail virtuel des efforts intérieurs et extérieurs appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d’accélération du système. »

Ce principe, posé comme point de départ, peut être appliqué à des solides, des liquides ou des gaz.

II-2.2 Équivalence PTV - PFD

Partons du PFD appliqué à un élément de matière μ = dm centré en P subissant des actions mécaniques de résultante df G ( ) P

.

Le PFD Î df G ( ) P = dm a G _g ( ) P ⇔ ∀ δ P G δ P df G . G ( ) P = δ P a G . G _g ( ) P dm ( ) P Intégrons cette dernière relation sur le domaine occupé par la matière

Nous obtenons :

( ) ( ) ( / )

( / ) ( )

( )

.

.

D Rg

Rg g

D P

P

W f P dv

P W A avec

A a P dm

δ δ

δ δ δ

δ δ

Σ

Σ Σ

Σ

⎧ =

∀ = ⎪⎪ ⎨

⎪ =

⎪⎩

∫

∫

JJJJG G

G G JJJJG

C’est le Théorème de d’Alembert ou Principe des Travaux Virtuels

II-2.3 Le Théorème de l’énergie

Appliquons maintenant le PTV en prenant comme champ de déplacement virtuel particulier, le champ des vitesses réelles des points du système mécanique considéré.

Pour δ P G = V G _g ( ) P

le PTV Î ( ) . _g ( ) ( ) _g . _g ( )

D D

P P P P

f V dv = a V dm

∫ ^{G G} ∫ ^{G G}

Soit _{f g} ( ) . _g ( ) D

P P

P = ∫ a ^G V ^G dm

( ^{( )} ) ^{. ( )}

g

f g g

D

P P

P d V V dm

= ∫ dt ^{G G}

( ^{( )} ) ² ( ^{( / )} )

1

f 2 g c Rg

D

d P d

P V dm E

dt dt ^Σ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ∫ ^G ⎟ ⎟ ⎠ =

Nous voyons ici le théorème de l’énergie comme un cas particulier du PTV.

II-3 Mise en équations des systèmes discrets

Les équations de Lagrange sont la traduction du Principe des Travaux Virtuels dans le cas d’un système discret. Précisons tout d’abord la notion de déplacement virtuel.

II-3.1 Déplacements virtuels - définitions

Pour un système discret la position de tout point, dépend d’un nombre fini de paramètres.

( , ) _i

P OP P q t

∀ ∈Σ JJJG = G

Le déplacement virtuel d’un point P est défini par : _i

i i

P OP q

δ = ^∂ q δ

∑ ∂ ^JJJG JJJG

Remarques : Le terme OP

t

∂

∂ JJJG

ne doit pas être calculé car le système matériel est considéré à tout instant.

Pour calculer des déplacements virtuels, vous pouvez faire l’analogie avec un calcul de vitesse.

Le système étant à masse conservative

nous pouvons permuter l’intégration et

la dérivation.

Exemples :

La position d’un point A étant donné par : OA JJJG = a cos( ω t x ) G o + b sin θ ( ) t z G o Son déplacement virtuel sera : δ JJJG A = b cos θ δθ z G _o

Pour un solide repéré par les angles d’Euler, le vecteur rotation virtuelle du solide est définie par :

sin

cos

s o

v

z n z

δθ

δθ δψ δθ δϕ δψ θ

δψ θ δϕ

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= + + = ⎨ ⎬

⎪ + ⎪

⎩ ⎭

JJJG G G G

Champ virtuel rigidifiant

Un champ de déplacement virtuel est dit rigidifiant sur (S), s’il respecte la notion de solide rigide. Un champ virtuel rigidifiant est un torseur, nous avons :

( , ) A B ( ) S δ A δ B δθ _s BA

∀ ∈ JJJG JJJG JJJG JJJG = + Λ

En mécanique, nous utiliserons des champs rigidifiant par sous domaines, chaque sous domaine étant un solide du système mécanique Conséquence :

Le travail virtuel des efforts intérieurs pour tout champ de déplacements virtuels rigidifiant est nul. En effet l’hypothèse de solide indéformable revient à négliger les déformations du solide, ce qui du point de vue énergétique revient à considérer qu’il n’y a pas d’énergie de déformation.

Champ virtuel cinématiquement admissible

Un champ de déplacement virtuel est dit compatible ou cinématiquement admissible s’il satisfait toutes les liaisons cinématiques telles quelles existent à l’instant τ.

Exemple :

Soit un déplacement imposé en A : u A G ( ) = a cos( ω t x ) G _o

Le champ de déplacement virtuel est cinématiquement admissible si δ JJG u A ( ) = 0 G II-3.2 Équations de Lagrange

Pour un système discret le travail virtuel d’un champ de force f G ( P )

est défini par :

( ) i ( )

D

avec

. .

P i i P

i i D

W f P dv q f OP dv

δ = δ = φ δ φ = ^∂ q

∑ ∂

∫ ∫

JJJJG JJJG

G G

Le PTV est alors équivalent à écrire :

(1, ) _i ^{c c}

i i

E E

i n d

dt q q

φ ^{⎛ ∂ ⎞ ∂}

∀ ∈ = ⎜ ⎝ ∂  ⎟ ⎠ − ∂

Ce sont les ‘‘n’’ équations de Lagrange du système matériel considéré.

Démonstration :

( / ) ( ) . ( ) .

Rg g g i

i i

D D

P P P

A a P dm a q dm

δ _Σ = δ = ^∂ q δ

∑ ∂

∫ ∫

JJJJG G

G G

Soit : _{( / )} ( ) .

Rg i i i g

i D i

P P

A A q avec A a dm

δ _Σ = δ = ^∂ q

∑ ∫ ∂

G G

Pour chaque terme

( )

( ) . ^g ( ) .

i g g

i i

D D

P P d P P

A a dm V dm

q dt q

∂ ∂

= =

∂ ∂

∫ ∫

G G

G G

( ) . ( ) .

g g

i g g

i i

D D

P P

d P d P

A V dm V dm

dt q dt q

⎛ ⎞

∂ ∂

= ∫ ∂ − ∫ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠

G G

G G

Or

( ^{( )} )

( ) ^g

g i

i i i

i

g g

i i

P P

P P P V

V q

q t q q

d P d P

dt q q dt

⎧ ∂ ∂ ∂ ∂

⎪ = + ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

⎪⎪ ⎨

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎪ ⎜ ∂ ⎟ = ∂ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎩

∑

G G G G

G 

G  G

Ce n’est pas aussi évident que cela alors prenez le temps de comprendre les dérivations partielles.

D’où ( ^{( )} ) ( ^{( )} )

( ) . ^g ( ) . ^g

i g g

i i

D D

P P

P P

V V

A d V dm V dm

dt q q

∂ ∂

= −

∂ ∂

∫ ∫

G G

G G



( ^{( )} ) ² ( ^{( )} ) ²

1 1

2 2

i g g

i D i D

P P

A d V dm V dm

dt q q

⎛ ∂ ⎛ ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎝ ∂ _ ⎜ ⎜ ⎝ ∫ ^G ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ − ∂ ⎜ ⎜ ⎝ ∫ ^G ⎟ ⎟ ⎠

Soit _i ^{c ( / Rg ) c ( / Rg )}

i i

E E

A d

dt q q

Σ Σ

∂ ∂

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ∂  ⎟ ⎠ − ∂

En écrivant δ A _{( / Σ Rg )} = δ W nous obtenons les équations de Lagrange.

II-3.3 Forme pratique des équations de Lagrange

De façon à faire apparaître explicitement les inconnues dans les équations, nous allons détailler le second terme qui correspond au travail virtuel des efforts (intérieurs et extérieurs). Regroupons les efforts, en donnés et inconnus (Les efforts inconnus sont associés aux liaisons cinématiques).

De plus pour simplifier les calculs, nous utilisons la notion d’énergie potentielle pour les efforts donnés dont on en connaît l’expression de l’énergie potentielle (poids, ressort).

On pose : δ W = δ W _d + δ W _i avec

( )

( ) i

.

.

d d P i i

i i D

i i P i

D i

W f P dv D Ep q

q

W f P dv L q

δ δ δ

δ δ δ

⎧ ⎛ ∂ ⎞

= = −

⎪ ⎜ ∂ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎪ = =

⎪⎩

∫ ∑

∫ ∑

JJJJG G

JJJJG G

Rappels sur les énergies potentielles

Champ de pesanteur : E _{p mg ( )} = Mg OG z JJJG G . _o + Cte

Le système étant à masse conservative

nous pouvons permuter l’intégration et

la dérivation.

Ressort (traction k - torsion C ) : _{( )} ² _{( )} ( ) ² 2

) 1 2 (

1

o C

p o k

p k E C

E = λ − λ = α − α

Travail virtuel des efforts appliqués à un solide rigide (S)

( )

( ) P . ( ) P . s

S S

W f P dv f A AP dv A S

δ = ∫ ^G δ ^JJJJG = ∫ ^G δ ^{JJJG JJG} + δθ Λ ^JJJG ∀ ∈

( ) ( ) ( )

. P s . P . f s . f A

S S

W A f dv AP f dv A R M

δ = δ ^JJJG ∫ ^G + δθ ^JJG ∫ ^JJJG Λ ^G = δ ^{JJJG G} + δθ ^{JJG G}

Le calcul pratique du travail virtuel se fait donc à partir des éléments de réduction des torseurs des efforts appliqués au solide.

Forme développée des équations de Lagrange :

c c

i i

i i i

E E

d Ep

i D L

dt q q q

⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂

∀ ⎜ ⎝ ∂  ⎟ ⎠ − ∂ + ∂ = +

C’est cette forme qu’il faut connaître, et savoir utiliser pour cela il est bon de se rappeler l’origine de chaque terme.

Travail virtuel des efforts de liaison

Le travail virtuel des efforts de liaison entre deux solides S

₁

et S

₂

est défini par :

2 /1 2 /1

1 2 1 2 . 1 2 ( ) .

S S S S S S A

W F A M

δ _↔ = G _→ δ JJJG + G _→ δθ JJG

Le travail virtuel d’une liaison est indépendant du repère d’observation Propriété

Si le champ des déplacements virtuels respecte une liaison géométrique supposée parfaite, alors le travail virtuel des efforts de liaison est nul.

Cette propriété est utilisée comme définition mathématique d’une liaison parfaite.

Conséquence :

Si le champ des déplacements virtuels respecte toutes les liaisons du système mécanique, et que ces liaisons sont supposées parfaites.

Î ^{c c} _i

i i i

E E

d Ep

i D

dt q q q

⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂

∀ ⎜ ⎝ ∂  ⎟ ⎠ − ∂ + ∂ =

Les ''n'' équations de Lagrange sont les ''n'' équations du mouvement.

Vous réalisez sûrement tout l’intérêt de cette conséquence du point de vue pratique, la méthode de Lagrange peut conduire directement aux équations du mouvement Corollaire

Pour toute liaison non parfaite ou non respectée par le paramétrage, les équations de Lagrange font apparaître des inconnues supplémentaires (termes en L

_i

) associées aux efforts de liaison.

Pour pouvoir résoudre, il faut associer à ces inconnues supplémentaires, soit les équations des liaisons non respectées, soit des lois permettant de modéliser le comportement non parfait de la liaison (exemple : les lois de frottement).

II-3.4 Analyse d’un problème par les équations de Lagrange

Prend en compte les

actions de 1 Î 2 et les

actions de 2 Î 1

Lors de l’analyse, le choix du paramétrage défini le problème virtuel qui permettra d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème par la méthode de Lagrange.

Cas ou les liaisons sont toutes supposées parfaites : a- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement

• on utilise un paramétrage qui respecte toutes les liaisons.

« Le problème virtuel traité est équivalent au problème réel » b- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement et ‘‘p’’ composantes d’efforts de liaison

Î on utilise un paramétrage qui ne respecte pas les liaisons dans la directions des ‘‘p’’

composantes cherchées (forces ou moments).

« On traite un problème virtuel différent du problème réel » Aux ’’n+p’’ paramètres du problème virtuel, viennent s’ajouter ’’p’’ inconnues efforts de liaison. Pour ’’n+p’’ équations de Lagrange et ’’p’’ équations de liaison qu’il faudra respecter pour traiter le problème réel.

Si certaines liaisons ne sont pas parfaites :

Les ’’n’’ équations du mouvement feront apparaître des efforts de liaison inconnus qui seront associés à des modèles donnant un nombre identique de relations. Cependant pour résoudre de tels problèmes dans une approche de type Lagrange il est généralement nécessaire de faire apparaître dans les équations de Lagrange les composantes d’effort utiles à l’écriture de ces relations. Nous sommes donc ramené au cas b précédent.

« Application : problèmes de frottement » Si certaines liaisons conduisent à un paramétrage trop complexe.

Pour l’étude de mécanismes possédant une ou plusieurs boucles fermées (chaînes cinématiques complexes) la prise en compte des liaisons cinématiques de fermeture peut rendre inextricable les calculs de cinématique et de cinétique. Il est alors intéressant de ne pas tenir compte de ces équations lors du paramétrage.

« On traite un problème virtuel différent du problème réel » La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet d’exprimer directement le travail virtuel de ces liaisons à partir des équations de fermeture sans faire apparaître de bilan d’efforts. Les équations de Lagrange et les équations de liaison fournissent un système dont on peut éliminer les inconnues

« multiplicateurs » pour obtenir les équations du mouvement.

Méthodologie

1. Analyse : choix du paramétrage en fonction des objectifs du problème.

‘’Problème réel’’ Î ‘’n’’ équations du mouvement (toutes les liaisons sont respectées)

‘’Problème virtuel’’ Î ‘’n+p’’ équations de Lagrange pour ‘’n+2p’’ inconnues

‘’p’’ inconnues sont des multiplicateurs ou efforts de liaison 2. Calcul des Énergies (E

c

et E

p

) et du travail virtuel des autres efforts

Prise en compte des actionneurs

Prise en compte des ‘’p’’ inconnues associées aux liaisons non respectées Prise en compte des liaisons non parfaites

3. Écriture des équations de Lagrange 4. Mise en forme et résolution

Écriture des ‘’p’’ équations de liaisons cinématiques

Écriture des lois modélisant les liaisons non parfaites (frottement) Mise en forme et linéarisation dans le cadre des petits mouvements

Application en mécanique du solide

Sur un problème simple de mécanique nous allons mettre en œuvre le PTV pour différents types de problèmes,

c'est-à-dire en modifiant les objectifs de chaque étude. Notre but est de montrer comment les équations de

Lagrange correctement utilisées permettent d’obtenir directement les informations cherchées.

Considérons un système mécanique constitué d'un cerceau de rayon a, de masse M et d'un point matériel P de masse m. La rotation du cerceau par rapport au repère suposé galiléen est assurée par un pivot parfait d'axe

) , ( O z G _o

. Le point matériel se déplace sans frottement sur le cerceau (C) . Le champ de pesanteur est défini par g G = − g z G _o

Paramétrage

M

^vt

de (C) / Ro : liaison pivot ( O , z G _o )

Î un paramètre z G _o ψ /

M

^vt

de P / (C) : liaison linéaire annulaire

Î un paramètre n G θ /

liée à C

( x o y o z o )

b G G G ,

0 ,

z o

/ G

ψ n ( n G u G z G o )

,

, n G

θ /

( n v z )

v G G G , , Définition des bases

Le mouvement du système dépend de deux paramètres indépendants ψ etθ . C’est notre point de départ,

Il est indispensable de bien paramétrer le problème réel

a

x G _o

z G _o

y G _o

(C) (P)

A

O z G

C

g G

Pb1 : L’objectif est d’obtenir les équations du mouvement

Dans ce problème nous supposerons qu’un couple moteur donné est appliqué sur le cerceau. Pour obtenir les équations du mouvement nous utilisons des déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, le problème virtuel est donc équivalent au problème réel.

Nos inconnues principales sont : ψ θ ,

Calculs

Énergie cinétique de (Σ) = (P+C)

)

2 (

) , ( . ) / (

2 Ec R _o G _oc J C C G _oc m V G _o P

+ Ω Ω

= Σ

( ^{2 2} )

2 2

) sin ( ) 2 (

) / (

2 Ma ψ  m a θ  a θ ψ 

R

Ec Σ _o = + +

D’où ^{2 2 2 2 2}

2

2 sin )

/ (

2 Ma ma θ ψ  ma θ ^

R

Ec _o ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= Σ

Énergie potentielle de (Σ) : E _p ( ) Σ = Cte mg OP z + . JJJG G _o = mga cos θ + cte

Travail virtuel des efforts

Efforts donné : le couple moteur Î δ T _D = Γ G _M . δθ JJJG _C = Γ δψ

Efforts de liaison : les liaisons sont supposées parfaites, et elles sont respectées par le paramétrage Î δ T _L = 0

Équations de Lagrange :

2

2 2

( sin )

2 d Ma

l ma

ψ ⇒ dt ^⎛ ⎜ + θ ψ ^⎞ ⎟ = Γ

⎝  ⎠

( ^{2 sin cos} ) ^{2 sin 0}

2 − − =

⇒ θ θ θ ψ θ

θ ma ma mga

l   

Nous ne détaillons pas les calculs, reportez vous à votre cours de mécanique de l’an passé.

sin ( )

0

o v

a

V P a

ψ θ

θ

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ − ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

G  

Bien entendu nous aurions pu obtenir ces équations par le PFD. Ce qui nécessitait de faire un bilan des efforts de liaisons, puis de justifier pour le système complet et pour le point matériel les deux équations suivantes.

Que nous pouvons identifier :

( )

( , ).

. .

o o

o P o

l O z

l m v mg z v

ψ

θ

δ γ

⇔ Σ = Γ

⇔ = −

G G

G G G G

PB2 : Calcul d’une composante d’effort de liaison

Nous adoptons ici un point de vue ingénieur en fixant des objectifs précis à l’étude, pour cela précisons d’abord le torseur des efforts de liaison.

Les actions de liaison de la base sur C sont modélisées par un torseur :

( )

. 0

o

O o

R qcq

M z

⎧⎪ ⎨

⎪⎩ = G

G G

Les actions de liaison de C sur P sont modélisées par une résultante : R G _{C P} T n G N z G +

→ = Fixons maintenant nos objectifs

Nous cherchons les équations du mouvement (indispensable pour pouvoir résoudre) et la composante N des actions de liaison de C sur P.

Pour faire apparaître la composante d’effort cherchée, nous utilisons un déplacement virtuel qui écarte P de sa position réelle dans la direction z G

. Le problème virtuel est alors défini par le paramétrage suivant :

Les 2 paramètres ( ψ θ , ) du problème réel et ρ tel que CP JJJG = ρ z G

Le problème virtuel est représenté ici sur la figure ci-contre, en pratique cette figure n’est pas nécessaire car seul le problème réel nous intéresse vraiment.

Notez que pour δρ = 0 , la liaison ρ = a est respectée.

(C) z G

C (P)

δρ

δρ ρ = a +

Calculs

Énergie cinétique de (Σ) = (P+C)

( ^{2 2 2} )

2 2

) sin ( ) 2 (

) / (

2 Σ = Ma ψ  + m ρ θ  + ρ θ ψ  + ρ  R

Ec _o

D’où

2

2 2 2 2 2 2

2 ( / ) sin

o 2

Ec Σ R = ^⎛ ⎜ Ma + m ρ θ ψ ^⎞ ⎟ + m ρ θ + m ρ

⎝ ⎠

  

Énergie potentielle de (Σ) : E _p ( Σ ) = mg ρ cos θ + cte

Travail virtuel des efforts

Efforts donné : le couple moteur Î δ T _D = Γ δψ

Efforts de liaison :

La liaison en O est supposée parfaite et elle est respectée par le paramétrage Î δ T _Lo = 0

En effet δ T _Lo = R G _o . δ JJJG O + M G ( ) O . δψ z G _o Or δ JJJG G O = 0

et M G ( ) O ⊥ z G _o

Î δ T _Lo = 0

La liaison C-P n'est pas respectée donc le travail virtuel est non nul

δρ δρ

δ δ

δ

δ T _{C ↔ P} = R G _{C → P o} P _P + R G _{P → C o} P _C = R G _{C → P CP} P = R G _{C → P} z G = N .

. .

.

Pivot parfait d'axe ( , O z G

_o

)

Pas de frottement entre C-P

Les calculs sont faits pour le problème virtuel c'est- à-dire avec les 3 paramètres ( ψ θ ρ , , )

(C) P C C

P R

RG→ =−G→

zG

C (P)

δρ

P

R G

c_→

PC P_P

Pour ce calcul vous pouvez penser puissance de la liaison.

Remarques :

Le calcul précédent est basé sur une analyse physique qui consiste à modéliser la liaison par le torseur des efforts de liaison et à exprimer le travail virtuel de ces efforts.

L'analyse mathématique basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange consiste à écrire :

C P

T L

δ _↔ = λδ = λδρ le multiplicateur de Lagrange λ peut être identifié à N

Cette méthode est souvent plus rapide à mettre en œuvre, car elle ne nécessite pas de faire l’analyse physique des liaisons.

Pour δρ = 0 , on retrouve que toute liaison parfaite respectée est à travail virtuel nul δ T _{C ↔ P} = 0 . Équations de Lagrange :

2

2 2

( sin )

2 d Ma

l m

ψ ⇒ dt ^⎛ ⎜ + ρ θ ψ ^⎞ ⎟ = Γ

⎝  ⎠

( ) ² ( ^{2 sin cos} ) ^{2 sin 0}

l m d m mg

θ ⇒ dt ρ θ  − ρ θ θ ψ  − ρ θ =

( ^{m m} ) ^{mg N}

m

l _ρ ⇒ ρ   − ρ θ  ² + ρ sin ² θ ψ  ² + cos θ =

Soit 3 équations pour 4 inconnues ( ψ θ ρ , , , N ) Pour résoudre il faut se ramener au problème réel en tenant compte de l'équation de liaison ρ = a .

Pour ρ = a on retrouve les équations du mouvement ( l , _ψ l _θ ), et l'effort ^{N = mg cos θ − ma} ( ^{θ  + 2 sin 2 θ ψ  2} )

Nous répondons aux objectifs du problème, sans rencontrer de difficultés autres que les calculs.

Test :

Quels paramétrages utilisez vous pour : a- Calculer la composante : R z G G _o . _o b- Calculer l’effort : R G _o

c- Calculer la composante : M n G G _o . _o

Réponses : a ( ψ θ , , z _O ) - b ( ψ θ , , x _O , y _O , z _O ) - c ( ψ θ θ , _c , )

PB3 : La rotation du cerceau est imposée

Pour imposer la vitesse de rotation du cerceau il faut un moteur, et l’ingénieur cherchera à calculer la valeur du couple moteur permettant d’imposer les mouvements du système mécanique (robotique).

Pour obtenir le couple moteur nous traitons le problème virtuel à 2 paramètres ( ψ , θ ) La liaison ψ ψ  =  _d n’est pas respectée.

Le travail virtuel de cette liaison est non nul et vaut δ T _Γ = Γ δψ

Toutes les autres liaisons, supposées parfaites, sont respectées donc à travail virtuel nul, et les expressions des énergies sont celles calculées au PB1.

D'où

2

2 2

( sin )

d Ma

l _ψ ⇒ ^⎛ ⎜ + ma θ ψ  ^⎞ ⎟ = Γ

PFD :

(

^{2 2 2}

)

( ) . sin

o

P z a

γ G G = − θ  + θψ 

Ici le couple moteur Γ ^est

une inconnue du problème

2 équations pour 3 inconnues.

Dans le cas ou ψ  = ω = Cte on trouve :

L’équation du mouvement : ^{ma 2 θ  −} ( ^{ma 2 sin cos θ θ ω} ) ^{2 − mga sin θ = 0}

Et le couple moteur Γ = 2 ma ² ω sin θ cos θ θ ^

Pour chacun des problèmes, l’analyse par les équations de Lagrange nous donne directement les résultats cherchés si le problème est correctement posé.

Application :

Des exercices corrigés sont proposé dans le chapitre 7 du cours de mécanique sur le site : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/meca/meca.htm . Ils vous permettront d’assimiler les notions présentées dans ce paragraphe sur les équations de Lagrange.

Dans le cadre de ce cours les corrigés des exercices suivants sont sur le site : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htm

ces exercices sont plus axés sur la mise en équations des problèmes de vibrations.

Exercice 1I-1 : Machine d’Atwood

La machine d’Atwood schématisée par la figure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m

₁

et m

₂

reliées entre elles par un fil parfait (fil sans masse et inextensible) .

Le fil passe dans une poulie de rayon R, montée sur un pivot parfait d’axe

) , ( O z G _o

, on note I le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation. Nous supposons que le contact entre le fil et la poulie à lieu sans glissement.

La masse m

1

est rappelée vers sa position d’équilibre par un ressort de raideur K. Une force F cos ω t est appliquée verticalement à la masse m

₂

les deux masses sont supposées guidées en translation. On choisira comme origine des déplacements la position à vide du ressort.

Le champ de pesanteur est défini par g G = − g y G _o ^{F cos} ω ^t

x G _o y G _o

O

g G

(m

₂

) (m

₁

)

A – Recherche des équations du mouvement

• Justifier votre choix de paramétrage.

• Exprimer les équations de Lagrange.

• En déduire la position initiale du système B – Tensions dans le fil

On veut déterminer les tensions dans les deux brins du fil

• Justifier votre choix de paramétrage.

• Exprimer les équations de Lagrange.

a. Utiliser un bilan d’effort pour exprimer le travail virtuel des liaisons.

b. Utiliser les multiplicateurs de Lagrange, et analyser les expressions.

• En déduire les tensions dans le fils et retrouver l’équation du mouvement en θ

Annexe

Retrouver en les identifiant ces équations à partir du Principe Fondamental de la Dynamique.

Exercice II-2 : Position d’équilibre, stabilité

Considérons une tige de masse m de longueur a. Cette tige articulée en O, est reliée au bâtit par un ressort de torsion de raideur C non contraint pour θ = 0 . Déterminer la (les) position(s) d’équilibre, et les conditions de stabilité de ces positions.

θ

c g G

Cette même tige est maintenant reliée au bâtit par un ressort linéaire de raideur k de longueur à vide A _o .

A l’équilibre θ = 0 la longueur du ressort est A _e

Écrivez l’équation des petits mouvements autour de cette position, en déduire la condition de stabilité de la position d’équilibre.

θ G

g k

Exercice II-3 : Linéarisation avec vitesse de rotation importante

Considérons un disque D tournant à une vitesse angulaire constante ω (arbre du rotor). Une des ailettes de la turbine est modélisée par une tige T de masse m de longueur 2a. Elle est ramenée vers sa position initiale par un ressort de torsion de raideur C (élasticité de la liaison).

Déterminez l’équation des petits mouvements de la tige.

O G

x _o g G

D

G ω y _o

θ

T c

x G ₁

Exercice II-4 : Oscillations libres dues à une perte de masse.

Considérons le système ci contre constitué de deux tiges de longueurs 2a et a, et d’une charge en P de masse m. On négligera la masse des tiges devant celle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints des ressorts de torsion de raideur respective 3C et C.

Ces ressorts sont non contraints pour θ θ ₁ = ₂ = 0 .

1- Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits

mouvements, déterminer la position d’équilibre statique ( θ θ _{1 e} , _{2 e} ) G x _o

A B

2a a

c

3c θ ₁

m

θ ₂ y G

o

g G

2- Donnez la condition à satisfaire pour vérifier l’hypothèse des petits mouvements. En déduire sous forme matricielle l’équation des petits mouvements.

3- La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre. Déterminez les

nouvelles équations du mouvement.

II-4 Mise en équations des milieux continus

L’étude dynamique des structures déformables fait appel à la mécanique des milieux continus, les relations entre les quatre champs inconnus de la « MMC » peuvent être schématisées par la figure ci-dessous.

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u ( ) G

T G = σ n G

( ) E ε ( ) σ

Σ

( ) F f G

( ) U u G

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

( ) σ = D ε

Lois de comportement généralisée

Champs vectoriels Champs tensoriels u G

: Déplacements

f G

: Forces ε : Déformations

σ : Contraintes

Nous allons débuter ce paragraphe par quelques rappels de Mécanique des Milieux Continus « MMC » pour redonner la forme générale des différentes relations évoquées par la figure précédente. Les exercices d’application consisteront à écrire ces relations dans le cas particulier des deux modèles simplifiés, barres et poutres. Ces deux modèles, importants en mécanique des structures, nous permettront dans le chapitre V d’établir des solutions analytiques pour des problèmes de vibrations, et de présenter sur des exemples simples les méthodes d’approximation basées sur la méthode des résidus pondérés.

II-4.1 Rappels de MMC

Seules les notions indispensables à la lecture de ce cours seront abordées, pour compléter vos connaissances ou approfondir ces notions reportez vous à la bibliographie en fin de chapitre

Déformations

a - Description des mouvements

Soit D _o le domaine occupé par le milieu à l’instant initial, et D le domaine occupé à l’instant.

Tout point de D _o sera représenté par X G

: Coordonnées Lagrangiennes Tout point de D sera représenté par x G

: Coordonnées Eulériennes

Les mouvements du milieu sont déterminés si l’on connaît l’application f qui met en correspondance biunivoque ces deux domaines.

On parle de transformation du milieu continu. : ∀ ∈ P D x G = f X t G G ( , )

avec f bijective

D

o

( , ) x X t G G P

_o

X G

D P ( , ) U X t G G

Référentiel

En pratique la notion de déplacement est souvent utilisée pour définir la transformation du milieu.

( , ) P D x X U X t

∀ ∈ G = G + G G

b - Description des déformations

L’application linéaire tangente dite gradient de la transformation fait correspondre au vecteur dX G le vecteur dx G

après déformation

dx G = FdX G

F est définie par ( , )

( , ) x X t F X t

X

= ∂

∂ G G

G G sa matrice Jacobienne.

Propriétés :

Le tenseur F permet de calculer la variation de volume dV = det( ) F dV _o = JdV det( )

J = F est le Jacobien de la transformation.

La conservation de la masse Î ^o

J ρ = ρ

Exemple : en coordonnée cartésienne dans le plan

1 1

1 2

2 2

1 2

x x

X X

F x x

X X

∂ ∂

⎡ ⎤

⎢ ∂ ∂ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ∂ ∂ ⎥

⎢ ∂ ∂ ⎥

⎣ ⎦

Calculons maintenant la variation de distance de deux points voisins à l’instant initial

. .

dx dx G G = dX CdX G G

avec

T

C = F F tenseur des dilatations de Cauchy - Green

Ce tenseur est symétrique défini positif, et si le milieu ne subit pas de déformations C = 1

Le tenseur des déformations de Green Lagrange E est défini par :

( )

1 . . .

2 dx dx G G − dX dX G G = dX EdX G G

Î ^{E = 1} ₂ ( ) ^{C − = 1 1} ₂ ^{⎛ ⎜} _⎝ ^{F F T − 1 ⎞ ⎟} _⎠

Si l’on utilise le champ de déplacement pour définir ce tenseur on obtient la relation suivante :

2 2

T T

H H H H

E = + + avec ( , )

X ( )

U X t H grad U

X

= = ∂

∂ G G G

G

En petites perturbations :

Les composantes du tenseur gradient des déplacements H sont des termes du premier ordre. La forme linéarisée du tenseur des déformations est donc :

2

T

H H

ε = ⁺

Attention : Petit déplacement Î petite déformation, mais la réciproque est fausse Propriétés en petites déformations :

Les composantes du tenseur des déformations de Green Lagrange peuvent s’interpréter physiquement, soit ( e e e G G G ₁ , ₂ , ₃

) une base orthonormée directe, la matrice des déformations exprimée sur cette base est de la forme

Forme pratique

11 12 13

12 22 23

13 23 33

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

ε ii : variation de longueur de e G _i 2 ε _ij = θ : glissement de l’angle ( e e G G _i , _j

) Si ε _ii = 0 Î e G ' _i = e G _i = 1

si ε _ij = 0 Î e G ' _i ⊥ e G ' _j

f G

Référentiel

¹

e G e

2

G

¹

' e G '

2

e G

π θ 2 −

Contraintes

Il existe trois manières de présenter « d’introduire » la notion de contrainte. Nous retenons ici l’approche

« physique » qui consiste à isoler par la pensée un petit élément de matière pour faire apparaître les efforts de cohésion dans la matière. En écrivant les équations d’équilibre déduites du Principe Fondamental de la Dynamique on montre que les tensions exercées sur les facettes de l’élément de matière peuvent s’exprimer en fonction d’un tenseur (matrice).

Le tenseur des contraintes de Cauchy σ _C est défini par :

n C

T G ^G = σ n G T G

représente la tension sur l’élément de surface de normale n G ,

c’est une pression. ^{n G}

T G

n^G

Propriétés :

Le tenseur des contraintes est symétrique, il est défini sur l’état déformé, et est représenté sur une base orthonormée directe ( e e e G G G ₁ , ₂ , ₃

) par une matrice.

11 12 13

12 22 23

13 23 33

C

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

La signification physique des coefficients de cette matrice est donnée par la figure ci-contre.

Le tenseur des contraintes peut s’exprimer sur l’état non déformé, σ _K est le tenseur des contraintes de Kirchhoff, la transformation linéaire tangente relie ces deux tenseurs.

En petites perturbations ces deux tenseurs sont confondus, et on note : σ σ ≅ _C ≅ σ _K

Lois de comportement

Les lois de comportement caractérisent le milieu matériel considéré, ce sont des relations entre le tenseur des contraintes et celui des déformations. L’étude générale de ces relations est très délicate, nous nous limiterons dans le cadre de ce cours à l’élasticité linéaire en petites perturbations, dans ce cadre le champ des contraintes dépend linéairement des déformations (et pas de la manière dont s’est effectuée la transformation).

( )

f D

σ = ε = ε

Si le milieu est homogène : la loi de comportement est identique en tout point.

Si le milieu est isotrope : les propriétés sont identiques dans toutes les directions.

Pour un milieu élastique homogène isotrope, le comportement est décrit par les deux coefficients scalaires ( λ μ , ) de Lamé.

( ) 1 2

σ λ = Tr ε + με Loi de Hooke

Les coefficients de Lamé ( λ μ , ) s’expriment en fonction du module d’Young et du coefficient de poisson ( E , ν ), qui sont obtenus expérimentalement à partir d’un essai de traction (normalisé) sur une éprouvette du matériau.

(1 )(1 2 ) 2(1 )

E E

λ ν ν ν

μ ν

= + −

= + et réciproquement : (3 2 ) ( )

2( )

E μ λ μ λ μ ν λ λ μ

= + +

= +

L’inverse de la loi de Hooke est : ¹ 1

( ) ( ) 1

f Tr

E E

ν ν

ε = ⁻ σ = − σ + ⁺ σ

Remarque :

Pour un matériau donné, la forme pratique de la loi de comportement peut différer en fonction des hypothèses simplificatrices du modèle que l’on utilise pour écrire cette loi. Ces incompatibilités correspondent à des incohérences dans les hypothèses du modèle.

Prenons le modèle de l’essai de traction.

H1 : u M t G ( , ) = u x t x ( , ) G _o

Î _xx u u _{, x}

ε = ^∂ ∂ x = la déformation est donc purement axiale (faux) l’écriture de la loi de Hooke donne des contraintes non nulles σ _yy et σ _zz

H2 : _xx F

σ = A l’état de contrainte est uni axial (incompatible avec ce qui précède) l’inverse de la loi de Hooke donne le tenseur

1

xx

E

ε σ ν

ν

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ = −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

La déformation n’est plus purement axiale (ce qui est vrai) Pourtant l’ingénieur utilise couramment les hypothèses « 1 et 2 » pour calculer les structures de type treillis, c’est ce que vous avez fait en résistance des matériaux. Les résultats seront satisfaisants si l’on reste dans le cadre des petites perturbations et que l’on cherche des informations globales sur la résistance de la structure.

II-4.2 Écriture du PFD

d

Référentiel

P Tds G

fdv G

sur chaque face

D Isolons un petit élément de matière à l’intérieur du domaine. Les efforts agissant sur cet élément sont :

f G

les forces de volume (pesanteur)

T G

les forces de cohésion sur la frontière de l’élément L’élément est soumis à une quantité d’accélération a G ( ) P dm ( ) P

Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à cet élément s’écrit :

( ) P ( ) P ( ) P

d d d

a dm f dv Tds

∂

= +

∫ ^G ∫ ^G ∫ ^G avec T G = σ n G

Î ( ) ^P ( ) ^P ( ) ^P ( )

d d d

a dm = f dv + div σ dv

∫ ^G ∫ ^G ∫ ^JJJG

Soit ∫ ( ^{ρ a G ( ) P − div JJJG ( ) σ − f dv G} ) ^{= 0 G}

Th d’Ostrogradsky

( )

S V

A n ds = div A dv

∫ ^G ∫ ^JJJG