6 - Altre medie algebriche

(1)

Altre medie algebriche

Generalizzando questo concetto, possiamo definire la media algebrica di una serie di valori x₁, x₂, ..., x_N come quella quantità M che, sostituita ad ognuno degli N valori, ne lascia invariata una certa funzione.

Quando questa funzione è la somma otteniamo la media aritmetica, quando questa funzione è diversa dalla somma, andiamo a utilizzare un’altra media algebrica.

(2)

Per capire meglio, vediamo prima di tutto che quando la funzione da lasciare invariata è la somma, allora si ottiene proprio la media aritmetica.

Questo è il caso più frequente, ed è per questo motivo che la media aritmetica è la media algebrica più nota e utilizzata.

(3)

Abbiamo la serie di osservazioni (x₁, x₂, ..., x_N) e sostituiamo ad ognuna di esse una quantità M tale che la somma resti invariata. Quanto deve valere M?

N volte

N 2

1 x ... x

x M

...

M

M       

N

x ...

x

M  x¹  ²   ^N

(4)

Rivediamo l’esercizio di prima, in cui volevamo calcolare la resa media degli appezzamenti posseduti dall’azienda.

Superficie vitata (ha)

Età media delle viti (anni)

Densità di impianto (ceppi/ha)

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(5)

Il buon senso ci aveva fatto capire che avremmo dovuto calcolare una media ponderata con la superficie vitata.

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(6)

Ora vediamo come lo stesso risultato si ottenga utilizzando il principio della quantità da lasciare invariata.

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(7)

Vogliamo conoscere qual è il valore M tale che, se i 4 appezzamenti avessero tutti la stessa resa M, la produzione totale sarebbe la stessa.

La produzione totale è data da

^x ²² ⁷⁰^x ¹¹^.^.⁵⁵ ¹²⁰^x ⁰^.⁰⁶^.⁶ ^x ¹⁰⁰⁰^.⁵⁰ ^.⁵

80

4 3

2

1       















(8)

Calcoliamo M:

che è proprio la formula della media aritmetica ponderata che abbiamo utilizzato prima.

13 . 5 84

. 0 6

. 0 5

. 1 2

0.5 100

0.6 120

1.5 70

2 0

M 8 















 

^M ²² ^M^M ¹¹^.^.⁵⁵ ^M^M ⁰⁰^.^.⁶⁶ ^M^M ⁰⁰^.^.⁵⁵ ⁸⁰^x ²² ⁷⁰^x ¹¹^.^.⁵⁵ ^x¹²⁰⁰^.⁰⁶^.⁶ ^x¹⁰⁰⁰^.⁵⁰ ^.⁵

M

4 3

2

1       













































(9)

Se per esempio volessimo lasciare invariata la somma dei quadrati, otterremmo una media differente, detta media quadratica.

(10)

Abbiamo la serie di osservazioni (x₁, x₂, ..., x_N) e sostituiamo ad ognuna di esse una quantità M tale che la somma dei quadrati resti invariata. Quanto deve valere M?

N volte

2 N 2

2 2

1 2

2

2 M ... M x x ... x

M       

N

x ...

x

M  x¹²  ²²   ²^N

(11)

Questo può servire in casi particolari.

Pensiamo all’esempio dell’azienda agricola che possiede 4 appezzamenti di terreno coltivati a vite.

Resa (Q/ha)

2 30 4000 80

1.5 15 4000 70

0.6 10 2000 120

0.5 15 3000 100

(12)

Consideriamo la superficie vitata in ha.

Prima ne abbiamo calcolato la media aritmetica, perché eravamo interessati a conoscere quale è la superficie M tale che, se tutti i 4 appezzamenti avessero la stessa superficie, l’estensione totale (somma delle superfici) rimarrebbe la stessa.

(13)

Ora immaginiamo, per semplicità che gli appezzamenti siano quadrati.

La tabella seguente riporta le lunghezze dei lati dei 4 appezzamenti (in metri).

Lato appezzamento (metri)

2 141.4

1.5 122.5

0.6 77.5

0.5 70.7

(14)

Se volessimo conoscere il lato medio, saremmo interessati a sapere qual è la lunghezza M tale che, se i 4 appezzamenti fossero dei quadrati uguali tra loro, di lato M, l’area totale sarebbe la stessa.

L’area totale è la somma dei lati elevati al quadrato

 ² ² ² ² 

2 2

x x

70.7 77.5

122.5 141.4



(15)

Calcoliamo M:

quindi 4 quadrati di lato 107.24 metri hanno un’area uguale all’area totale dei quattro appezzamenti.

2 2

2

2 M M M 141.4 122.5 77.5 70.7

M       

24 . 4 107

70.7 77.5

122.5 141.4

M

2 2

 



 

(16)

Calcoliamo M:

La media che abbiamo ottenuto è una media quadratica.

2 2

2

2 M M M 141.4 122.5 77.5 70.7

M       

24 . 4 107

70.7 77.5

122.5 141.4

M

2 2

 



 

(17)

Se invece volessimo lasciare invariata la somma dei reciproci, otterremmo una media differente, detta media armonica.

(18)

Abbiamo la serie di osservazioni (x₁, x₂, ..., x_N) e sostituiamo ad ognuna di esse una quantità M tale che la somma dei reciproci resti invariata. Quanto deve valere M?

N volte

N 2

1 x

... 1 x

1 x

1 M

... 1 M

1 M

1       

(19)

N 2

1 x

... 1 x

1 x

1 M

N    

N 2

1 x

... 1 x

1 x

1 M N





(20)

Un’azienda agricola acquista una vendemmiatrice automatica. Messo all’opera su appezzamenti da un ettaro di caratteristiche differenti, il macchinario opera con produttività diverse, come illustrato in tabella.

porzione di terreno

produttività (ha/ora)

1°ettaro 0.3

2° ettaro 0.5

3°ettaro 0.4

(21)

Se volessimo conoscere la produttività media, saremmo interessati a sapere qual è la produttività M tale che, se il macchinario avesse avuto nei 4 appezzamenti la stessa produttività M, il tempo totale impiegato sarebbe stato lo stesso.

(22)

Dette x₁, x₂, x₃, x₄ le produttività nei 4 appezzamenti, prima di tutto calcoliamo i tempi impiegati dal macchinario per ogni appezzamento, dati dal reciproco delle produttività.

porzione di terreno

produttività (ha/ora)

tempo impiegato (in ore)

1°ettaro 0.3 3.33 =1/0.3

2° ettaro 0.5 2.00 =1/0.5

3°ettaro 0.4 2.50 =1/0.4

4° ettaro 0.3 3.33 =1/0.3

(23)

Il tempo totale impiegato (11.16 ore) si calcola quindi come la somma dei reciproci delle produttività

0.3 1 0.4

1 0.5

1 0.3

1   

(24)

Il valore M che, sostituito alle 4 produttività, lascia invariato il tempo totale impiegato dal macchinario per i 4 appezzamenti è pari a

0.3 1 0.4

1 0.5

1 0.3

1 M

1       

3584 .

16 0 . 11

4 0.3

1 0.4

1 0.5

1 0.3

1

M 4  





(25)

La media che abbiamo ottenuto è una media armonica

0.3 1 0.4

1 0.5

1 0.3

1 M

1       

3584 .

16 0 . 11

4 0.3

1 0.4

1 0.5

1 0.3

1

M 4  





(26)

Quindi la produttività media del macchinario è 0.3584 ha/ora.

Si noti che se si fosse calcolata la media aritmetica semplice (=0.375), la reale produttività media sarebbe stata apprezzabilmente sovrastimata.

(27)

Abbiamo visto alcuni esempi di utilizzo di medie algebriche. Anche le medie diverse da quella aritmetica hanno la loro forma ponderata.

Riassumiamo di seguito le principali medie algebriche, assieme alle loro formule semplici e ponderate.

(28)

Media quadratica

Semplice

Ponderata

N

x ...

x

M  x¹²  ²²   ^N²

p

n n

n

n n

M n

...

x ...

x x

2 1

2 p 2

2 2 1

2 1











 

(29)

Media armonica

Semplice

Ponderata

N 2

1 x

... 1 x

1 x

1 M N





p p 2

2 1

1

p 2

1

x ... n

x n x

n

n ...

n M n



 

(30)

Media geometrica

Semplice

Ponderata

N x x xN

M  ₁  ₂  ... 

p p

n n

p n

n x x

x

M  ¹^ ²^^...^ ₁¹  ₂² ... 

(31)

Rivediamo l’esempio del calcolo della produttività media della vendemmiatrice automatica. Supponiamo che il test sul macchinario venga svolto mettendolo all’opera su appezzamenti di diversa estensione.

Appezzamento

Superficie appezzamento

(ha)

Produttività (ha/ora)

1 4 0.3

2 10 0.5

3 8 0.4

(32)

Ragionando come prima, vigliamo sapere qual è la produttività media che lascia invariato il tempo totale impiegato a fare il test su tutti i quattro appezzamenti.

Appezzamento

(ha)

1 4 0.3

2 10 0.5

3 8 0.4

4 2 0.3

(33)

Calcoliamo i tempi impiegati.

Tempo totale = 60 ore

0.3 2 0.4

8 0.5

10 0.3

4   

Appezzamento

(ha)

Tempo impiegato (ore)

1 4 0.3 13.33 =4/0.3

2 10 0.5 20.00 =10/0.5

3 8 0.4 20.00 =8/0.4

4 2 0.3 6.67 =2/0.3

(34)

Il valore M che, sostituito alle 4 produttività, lascia invariato il tempo totale impiegato dal macchinario per i 4 appezzamenti è pari a

0.3 2 0.4

8 0.5

10 0.3

4 M

2 M

8 M

10 M

4       

4 . 60 0

24 0.3

2 0.4

8 0.5

10 0.3

4

2 8

10

M 4  



 

(35)

Si tratta di una media armonica ponderata con le estensioni degli appezzamenti.

4 . 60 0

24 0.3

2 0.4

8 0.5

10 0.3

4

2 8

10

M 4  



 

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