4.1 Introduzione ai modelli di ottimizzazione

4. Modelli di ottimizzazione gestionale e codici solutori

4.1 Introduzione ai modelli di ottimizzazione

La disciplina che studia le procedure e i metodi atti a pianificare e controllare i flussi materiali e le relative informazioni nelle organizzazioni militari, nelle imprese produttrici e distributrici di beni e negli enti erogatori di sevizi è la logistica. La gestione dei fanghi in Italia è effettuata dal Gestore del Servizio Idrico Integrato che opera su un determinato ambito territoriale ottimale ed è quindi un ente erogatore di servizi. La logistica può dunque rappresentare uno strumento importante per la corretta gestione dei fanghi prodotti dagli impianti di depurazione di acque reflue urbane. I concetti e le applicazioni di tale disciplina nel caso dei fanghi di depurazione possono apportare benefici economici, oltre che ad un maggior uso razionale delle risorse tecnologiche a disposizione con un conseguente miglioramento dell’impatto ambientale dovuto alla gestione dei fanghi (ad esempio la localizzazione di una nuova piattaforma di trattamento di fanghi che tenga conto anche della distanza e delle quantità inviategli dagli impianti di depurazione).

Nel settore industriale, campo che rappresenta una gamma di situazioni rappresentative di tutti gli altri campi di applicazione della logistica, i sistemi logistici delle imprese di produzione e di distribuzione si compongono di centri (nodi logistici, facilities), dove vengono svolte attività di trasformazione, assemblaggio, imballaggio, stoccaggio e vendita. Usualmente, un sistema completo, che comprenda tutte le attività dall’approvvigionamento di materiali fino alla distribuzione di prodotti finiti, viene detto catena logistica (supply chain). Traslando l’inquadramento effettuato per il settore industriale al caso della gestione dei fanghi, avendo comunque ben presente la differenza fondamentale che il settore industriale produce beni e servizi, mentre i fanghi sono rifiuti, si può affermare:

gli impianti di depurazione di acque reflue urbane sono i nodi logistici nei quali avviene la produzione del materiale la cui gestione deve essere organizzata e pianificata: tale materiale sono i fanghi di depurazione (sostanzialmente il liquame entrante nell’impianto rappresenta la materia prima da cui attraverso i vari processi di depurazione viene prodotto il fango);

le piattaforme di trattamento del fango rappresentano dei nodi logistici intermedi la cui funzione è quella di ridurre la quantità di fanghi globalmente prodotta dall’insieme degli impianti di depurazione considerato;

i siti dove avvengono le attività di recupero e/o di smaltimento finale sono i nodi logistici con cui viene chiusa la catena logistica dei fanghi di depurazione.

La gestione della catena logistica completa dei fanghi di depurazione deve quindi

tenere conto delle attività svolte nei tre tipi di facilities sopra individuati e anche

dell’interazione che si crea fra gli stessi. Una corretta e completa gestione deve

pertanto prendere in considerazione i seguenti quattro aspetti principali:

negli impianti di depurazione la produzione di fanghi, anche dal punto di vista qualitativo, dipende, oltre che dalle caratteristiche del liquame trattato, dal tipo di trattamento di depurazione effettuato, dalle tecnologie utilizzate e dalle condizione operative all’interno dell’impianto, sia in linea acque che in linea fanghi;

al pari degli impianti di depurazione, la riduzione dei quantitativi di fango che avviene nelle piattaforme dipende, oltre che dal tipo di fango trattato, dalle tecnologie impiegate e dalle loro condizioni operative;

i siti dove avviene il recupero e/o lo smaltimento finale dei fanghi impongono differenti tariffe di conferimento del fango e caratteristiche ben precise di questo (ad esempio il superamento del limite di concentrazione di certe sostanze inquinanti non consente lo smaltimento in agricoltura);

l’interazione che si crea fra i tre nodi logistici è determinata dai due seguenti fattori principali:

•

le distanze relative che influiscono sul costo di trasporto;

•

le attività di recupero e di smaltimento dei fanghi, come già detto, richiedono fanghi con determinate caratteristiche e quindi hanno influenza sulle tecnologie utilizzate per il trattamento dei fanghi all’interno degli impianti di depurazione e delle piattaforme. Hanno influenza anche su alcuni aspetti della depurazione del liquame effettuata in linea acque (ad esempio sull’uso di reattivi chimici coagulanti – flocculanti).

In Figura 4.1 è schematizzato un esempio di nodi logistici e flussi di fango che rientrano nella supply chain dei fanghi di depurazione. Generalmente i flussi di fango sono realizzati con il trasporto su gomma e nel proseguo il riferimento è implicitamente a tale condizione.

impianti di depurazione

Da quanto appena illustrato nei precedenti punti in merito alla supply chain dei fanghi di depurazione, risulta evidente come essa sia complessa date le molte variabili in gioco. A quanto detto si può inoltre aggiungere la constatazione che l’evoluzione normativa in merito al recupero e smaltimento dei fanghi (paragrafo 1.3), crea notevole incertezza agli addetti al lavoro e suggerisce quindi l’adozione di sistemi logistici “elastici” ovvero adattabili in maniera relativamente semplice ai nuovi sviluppi.

Si comprende quindi come lo sviluppo di modelli di ottimizzazione gestionale su base matematica, supportati da opportuni codici di calcolo in grado di risolverli, possa rappresentare un valido strumento nel definire un’appropriata e razionale gestione della catena logistica dei fanghi di depurazione, i cui vantaggi possono consistere, come già sottolineato, in un risparmio economico e in un minor impatto ambientale delle attività che gravitano attorno ai fanghi di depurazione.

L’iter logico da seguire nei problemi di modellazione è schematizzato in Figura 4.2.

Il primo passo da compiere, così come illustrato in Figura 4.2, è la definizione del problema di partenza che costituisce la base per la fase successiva, ovvero lo sviluppo un modello in grado di “tradurre” la realtà del problema attraverso relazioni matematiche. Il modello così sviluppato, per avere una qualche utilità pratica, deve essere numericamente risolto: la risoluzione avviene tramite degli algoritmi generalmente implementati in pacchetti software, quindi attraverso mezzi informatici. Dalla soluzione che si ricava si deve passare ad una reale strategia. Le fasi di modellazione del problema e del passaggio dalla soluzione alla strategia, sono quelle che richiedono maggiore creatività. I paragrafi 4.2 e 4.2.1 oltre a descrivere il problema, illustrano la fase di sviluppo del modello. Il paragrafo 4.2.2 si occupa invece della risoluzione numerica del modello attraverso opportuni codici di calcolo. Il passaggio dalla soluzione offerta dalla risoluzione del modello ad una

Figura 4.2. Schema dell'approccio modellistico per passare da un problema concreto ad un strategia operativa (Cordone et al., 2001).

strategia operativa, necessita di un caso reale di applicazione, pertanto non è svolta in questo capitolo, mentre è presente al paragrafo 5.3 che tratta il caso reale del comprensorio della Valdinievole per cui è stato applicato uno dei due modelli di ottimizzazione gestionale sviluppati.

4.2 I modelli di ottimizzazione sviluppati

Nel presente studio sono stati sviluppati due tipi di modello: uno permette di trattare diversamente i vari tipi di fango prodotti da un impianto (di seguito detto modello A), mentre l’altro considera un solo tipo di fango (chiamato modello B).

Sostanzialmente presentano comunque una formulazione matematica simile. Nel caso del modello B è stato possibile effettuare un’applicazione numerica su di un caso reale così come illustrato al paragrafo 5.3 per il comprensorio della Valdinievole.

Lo sviluppo dei due modelli di ottimizzazione gestionale ha seguito l’approccio what is best ovvero l’individuazione di una soluzione che ottimizzi un prestabilito indice di prestazione. L’indice di prestazione è rappresentato in questo caso dal costo sostenuto per la gestione dei fanghi che deve essere minimizzato (i vantaggi a livello ambientali sono conseguenti ad un maggior uso razionale delle risorse a disposizione, come ad esempio il trasporto dei fanghi). La ricerca della soluzione può essere convenientemente formulata mediante un problema di Programmazione Matematica, branca della Ricerca Operativa. Tradizionalmente i problemi di Programmazione Matematica sono suddivisi in problemi facili e difficili (NP-difficili), a seconda che esista o meno un algoritmo risolutivo con un tempo di calcolo limitato superiormente da una funzione polinomiale della “quantità di informazione impiegata per codificare i dati in ingresso”. Maggiori informazioni e riferimenti sulla Ricerca Operativa e sulla Programmazione Matematica sono presenti nell’Appendice (La Ricerca Operativa e la Programmazione Matematica). Un altro approccio tipico nel decidere sulla catena logistica è del tipo what-if che consiste nel valutare un numero limitato di soluzioni sulla base di un prestabilito insieme di indici di prestazione: nel caso dei fanghi si è ritenuto l’approccio what is best migliore poiché ciò che maggiormente interessa è la riduzione dei costi associati alla loro gestione. Dato che la minimizzazione dei costi comporta una minor produzione di fanghi e/o un maggior uso razionale delle risorse a disposizione, si ribadisce che i vantaggi sono anche a livello di impatto ambientale.

Fra le possibili linee d’intervento per la minimizzazione dei costi esaminate al

paragrafo 1.4, i modelli di ottimizzazione elaborati in questo studio riguardano la

strategia di riduzione della produzione di fanghi con il solo accentramento in uno o

più impianti del trattamento dei fanghi. Si ricorda che le altre due linee d’intervento

sono la riduzione della produzione di fango all’interno degli impianti di

depurazione e l’adozione contemporanea delle due precedenti strategie. La

riduzione della produzione di fanghi all’interno degli impianti non è quindi valutata

nei modelli di ottimizzazione gestionali elaborati: tale aspetto comporta

un’eccessiva complicazione nello sviluppo dei modelli, ma, soprattutto, il costo da

sostenere per eventuali interventi all’interno degli impianti di depurazione può

essere valutato separatamente e successivamente confrontato con la soluzione

proposta dal modello. In definitiva i modelli di ottimizzazione gestionali presi in considerazione in questo studio sono modelli di supporto alle decisioni di localizzazione (location) di piattaforme per il trattamento fango. L’obbiettivo è quello di decidere in quali siti localizzare tali piattaforme in modo da minimizzare i costi di gestione del fango. Inseriti i possibili siti dove installare le piattaforme e le possibili tecnologie da utilizzare, la soluzione del modello indica quali siti e con quali tecnologie sono da attivare per rendere il costo di gestione del fango minimo, anch’esso fornito. Inoltre indica per ogni impianto di depurazione a quali piattaforme inviare i quantitativi di fango prodotti. Tale soluzione fornita dal modello è agevolmente confrontabile sul piano economico con altri tipi di soluzioni che includano la riduzione della produzione di fanghi all’interno degli impianti di depurazione. Ovviamente è anche possibile effettuare il confronto economico fra la soluzione prospettata dal modello e l’attuale stato di gestione dei fanghi.

Prima della descrizione dei due modelli sviluppati in questo capitolo, si illustrano alcuni aspetti di grande rilievo nella schematizzazione dei problemi di localizzazione (Ghiani e Musmanno, 2000):

orizzonte di pianificazione: nei problemi mono–periodali la decisione di localizzazione viene attuata all’inizio dell’orizzonte di pianificazione (ad esempio un quinquennio) sulla base dell’andamento previsto della domanda e dei costi (la domanda nel caso in esame sono i quantitativi di fango prodotti). Nei problemi multi-periodali occorre invece stabilire, all’inizio dell’orizzonte di pianificazione, una successione di modifiche all’assetto del sistema logistico da realizzarsi in corrispondenza di istanti di tempo successivi. I modelli elaborati in questo studio sono di tipo mono-periodale poiché si suppone che l’ eventuale installazione di piattaforme di trattamento dei fanghi avvenga in un solo lotto di lavori. In casi complessi che trattano grandi quantitativi di fango potrebbe rilevarsi utile anche per un ulteriore affinamento anche un modello di tipo multi-periodale, ma tale evenienza deve essere valutata con attenzione per lo specifico caso in esame. Senz’altro il modello di tipo mono-periodale si presenta come necessaria base di partenza;

omogeneità dei flussi materiali: nei modelli a singolo prodotto (single-commodity), si ipotizza l’esistenza di un flusso omogeneo di materiali nel sistema logistico.

Nei modelli multi-prodotto (multi-commodity), si considera, invece, una

molteplicità di prodotti, diversi per costo o per natura (ad esempio,

componenti e prodotti finiti). In quest’ultimo caso, a ciascuna classe di

prodotti simili è associato un insieme di variabili decisionali che ne

descrivono la produzione, lo stoccaggio e/o il trasporto. Il modello A

elaborato in questo studio è multi-prodotto, mentre il modello B è a singolo

prodotto: come meglio specificato nel seguito il primo modello distingue in

vari tipi i fanghi prodotti (biologici, primari, chimici ed altre eventuali

distinzioni a seconda del caso), mentre il modello B non effettua tale

distinzione;

tipologia dei nodi logistici: nel caso in cui la decisione di localizzazione riguardi un solo tipo di nodi logistici il problema si dice mono-tipo, nei problemi multi-tipo occorre invece localizzare i nodi di due o più tipi. I modelli sviluppati in questo studio sono multi-tipo poiché le piattaforme attivabili differiscono per la tecnologia prevista;

tipologia dei nodi logistici: questo aspetto modellistico determina due classificazioni dei problemi. La prima valuta se vi sono flussi materiali tra i nodi di uno stesso tipo. L’altra classificazione può essere fatta in base alla rilevanza economica dei flussi materiali tra i nodi da localizzare e quelli ad essi direttamente collegati. In merito a quest’ultima classificazione, nei problemi ad un livello gli unici flussi presi in esame sono quelli tra i nodi da localizzare e quelli “a valle” oppure tra i nodi “a monte” e quelli da localizzare. Nei problemi a due livelli è invece indispensabile portare in conto i flussi materiali tra i nodi da localizzare e quelli “a monte” e “a valle”. I modelli sviluppati in questa Tesi ipotizzano che non vi siano flussi di fango fra nodi di uno stesso tipo, come ad esempio da una piattaforma di trattamento ad un’altra. Tale ipotesi è generalmente confermata nella realtà.

In merito alla classificazione sui collegamenti dei nodi da localizzare e gli altri tipi di nodi, i modelli elaborati sono ad un livello. Dalla Figura 4.1 si evince in realtà che il problema in esame comporterebbe un modello a due livelli poiché a monte delle piattaforme da localizzare vi sono gli impianti di depurazione, mentre a valle i siti di recupero e/o smaltimento dei fanghi:

quest’ultimi nodi, come meglio spiegato nella descrizione del modello A, sono considerati a parte e facilmente aggiunti alla soluzione ricavabile dal modello.

Inoltre, ulteriori nodi sono rappresentati dai punti di partenza degli automezzi che trasportano il fango fra i diversi tipi di nodi. Non sono considerati nei modelli per due motivi:

•

il trasporto dei fanghi è generalmente appaltato da parte del Gestore del Servizio Idrico Integrato a terzi e la tariffa per quantità unitaria di fango trasportata su cui è basata la gara di appalto consta solo della parte di trasporto dall’impianto verso la destinazione voluta, escludendo quindi il tratto stradale dal punto di partenza dei vicoli verso l’impianto;

•

non è corretto localizzare una piattaforma di trattamento fanghi tenendo anche conto del punto di partenza dei veicoli che, per un qualsiasi motivo, come ad esempio la fine del contratto di appalto ad una ditta esterna, può cambiare di sito;

frazionabilità della domanda: in alcuni sistemi di distribuzione si richiede che

la domanda di un cliente sia soddisfatta da un unico nodo logistico

(domanda non frazionabile), mentre in altri è consentito che il cliente sia

servito da due o più centri (domanda frazionabile). Nel caso dei fanghi la

domanda è la quantità di fango che ogni impianto di depurazione deve poter

convogliare verso una o più piattaforme: nei modelli si assume che un

impianto possa essere servito da più di una piattaforma e quindi la domanda

è considerata frazionabile. Lasciando che il modello consideri la domanda frazionabile, il costo di gestione dei fanghi che si ottiene è minore od uguale a quello che si otterrebbe forzando il modello ad una domanda non frazionabile. Infatti se la domanda è considerata frazionabile, durante l’elaborazione numerica il solutore prenderà in considerazione anche la soluzione con domanda non frazionabile, ovvero quelle combinazione in cui ogni impianto invia i quantitativi di fango prodotti verso un’unica piattaforma;

modalità di trasporto: nella maggior parte dei modelli di localizzazione si suppone che i collegamenti tra i nodi del sistema logistico siano diretti, il che è conveniente se i veicoli viaggiano a pieno carico (trasporto full-load). Questa ipotesi non è generalmente verificata nella distribuzione o nella raccolta di piccoli carichi, giacché uno stesso veicolo serve numerosi punti (ad esempio i dettaglianti di un quartiere). In questo contesto i costi di trasporto sono determinati dall’ordine con il quale i clienti vengono visitati e quindi l’ubicazione ottimale dei nodi logistici dipende dalla rotta dei veicoli.

(modelli di location routing). L’unica tratta di trasporto presa in considerazione nei modelli, stante quanto detto a proposito della tipologia dei nodi logistici, è quella dagli impianti di depurazione verso le piattaforme di trattamento dei fanghi. Tale percorso viene effettuato dagli automezzi con una frequenza che dipende della necessità di allontanare i fanghi propria di ogni impianto di depurazione. Si ritiene di non considerare questo aspetto poiché la frequenza di invio dei fanghi da un impianto di depurazione verso una piattaforma non sempre è costante nel tempo e quindi risulterebbe difficile quanto di scarsa utilità pratica definire nell’ordine una precisa serie di impianti da cui allontanare il fango nello stesso giorno. Inoltre si dovrebbe valutare anche con precisione i tempi di carico e scarico dei fanghi, i tempi per raggiungere i vari siti ed altri parametri ancora. In sostanza, si elabora un modello anche molto complesso che però riceve dati di input di dubbia affidabilità e di conseguenza la soluzione che si ricava è negativamente influenzata da tale aspetto;

Si descrivono a livello generale il modello A e il modello B: specifici approfondimenti su entrambi sono riportati, rispettivamente, ai paragrafo 4.2.1.1 e 4.2.1.2 dove sono illustrate le rispettive formulazioni matematiche da cui si riesce meglio a ricavare informazioni più dettagliate.

Il modello A di ottimizzazione gestionale, in base anche a quanto detto al precedente paragrafo sui quattro principali aspetti da prendere in considerazione per una corretta e completa gestione del ciclo dei fanghi di depurazione, è, fondamentalmente, così strutturato per ogni nodo logistico:

suddivisione degli impianti di depurazione produttori di fanghi in più insiemi

permettendo al modello di trattare in modo differenziato gli impianti

appartenenti a diversi insiemi. In questo modo è possibile separare i flussi di

fango che non sono dello stesso tipo e/o qualità. Ovviamente per ogni

impianto deve essere attribuita la produzione di fanghi che gli compete;

il tipo di tecnologie previste nelle piattaforme di trattamento è pari al numero degli insiemi in cui sono suddivisi gli impianti di depurazione che producono i fanghi: in questo modo si può assegnare ad ogni tipo di fango prodotto un’apposita tecnologia;

le attività di recupero e/o di smaltimento del fango non sono direttamente incluse nel modello con i loro costi di conferimento. La separazione dei flussi di fango in base al tipo di quest’ultimo è dettata dalla volontà di prevedere altrettante destinazioni finali, quindi, ricavata la soluzione numerica del modello che esprime il costo della gestione dei fanghi, è sufficiente sommarvi il prodotto fra le quantità di fango inviate ad ogni destinazione finale per i rispettivi costi di conferimento unitari (le tariffe delle gare di appalto per il trasporto verso una specifica destinazione finale sono espresse in Euro per unità di peso inviata e tengono conto, oltre che del costo di conferimento, anche del costo di trasporto). Le quantità inviate ad ogni attività di recupero e/o di smaltimento sono note poiché sono conosciute le quantità inviate ad ogni piattaforma di trattamento fango di cui sappiamo le potenzialità di riduzione delle quantità.

La struttura pensata segue quindi la logica di separare i diversi tipi di fango per consentirne un diverso trattamento e una diversa destinazione finale. La scelta di conferire tale struttura al modello nasce dall’osservazione che, visto anche gli sviluppi normativi in merito alle destinazioni finali dei fanghi, conviene valutare una catena di gestione dei fanghi che preveda più tipi di attività di recupero e/o smaltimento. In tal modo è soddisfatta l’interazione tra i diversi nodi logistici. In generale il modello A rappresenta un modello di ottimizzazione gestionale dotato di una certa complessità e quindi, capita la sua struttura e grazie alle nozioni di Programmazione Matematica, è possibile derivare in modo relativamente semplice altri tipi di modello da utilizzare per la gestione della catena logistica dei fanghi di depurazione.

L’obbiettivo del modello è quello di minimizzare i costi dovuti alla gestione dei fanghi di depurazione: i costi presi in considerazione sono quelli relativi al trasporto fanghi e all’acquisto e all’esercizio di tecnologie per il trattamento dei fanghi da installare nelle piattaforme.

Il modello B non consente invece, a differenza del modello A, di suddividere i tipi di fango prodotto. E’ stato così realizzato per adattarlo ad un caso reale quale quello del territorio della Valdinievole trattato al paragrafo 5.3. La sua impostazione segue quindi le necessità ravvisate in tale contesto. La tecnologia prevista nelle piattaforme di trattamento è di un solo tipo, ma con la possibilità di valutarne due diverse capacità di trattamento. I costi da minimizzare sono ancora i costi di trasporto e quelli da sostenere per l’acquisto e l’esercizio di tecnologie per il trattamento dei fanghi.

4.2.1 Formulazione matematica dei modelli

Si illustra la formulazione matematica dei modelli di ottimizzazione gestionale descritti al precedente paragrafo.

I modelli di ottimizzazione gestionali sviluppati in questo studio sono modelli di supporto alle decisioni di localizzazione di piattaforme per il trattamento fango.

L’obbiettivo è quello di decidere in quali siti localizzare tali piattaforme in modo da minimizzare i costi di gestione del fango. Inseriti i possibili siti dove installare le piattaforme e le possibili tecnologie da utilizzare, le soluzioni dei modelli indicano quali siti e con quali tecnologie sono da attivare per rendere il costo di gestione del fango minimo, anch’esso fornito. Inoltre indica per ogni impianto di depurazione a quali piattaforme inviare i quantitativi di fango prodotti. Una generica situazione di partenza è quindi rappresentata nella precedente Figura 4.1.

Dalla reale distribuzione sul territorio dei nodi logistici che sono coinvolti nella supply chain (Figura 4.1), si deve passare ad una schematizzazione grafico – numerica (grafo bipartito) in cui i nodi logistici sono convenientemente ordinati (si ribadisce quanto specificato nelle descrizioni dei modelli effettuate al precedente paragrafo secondo cui i siti delle destinazioni finali dei fanghi sono appositamente esclusi dalla formulazione matematica). L’ordine da dare ai nodi logistici è strettamente connesso all’impostazione della formulazione matematica.

Quest’ultima si compone di una funzione obbiettivo di minimizzazione dei costi e di equazioni che impongono determinate condizioni (vincoli) alle variabili impiegate. La formulazione matematica elaborata per entrambi i modelli sviluppati li rende modelli di Programmazione Matematica Lineare Intera Mista (PLIM) (maggiori informazioni nell’Appendice). Si ha un modello di Programmazione Matematica Lineare (PL) quando la funzione obbiettivo e tutte le funzioni che definiscono i vincoli sono lineari, viceversa nel caso della Programmazione Matematica Non Lineare (PNL).

Il fatto che si dica anche che la programmazione è Intera Mista, è dovuto alla circostanza che una variabile è costretta ad assumere valori interi, mentre le altre possono assumere anche valori frazionari.

4.2.1.1 Modello A

Il primo modello qui presentato è il modello A, di cui segue uno schematico riassunto dei principali aspetti modellistici trattati al precedente paragrafo:

orizzonte di pianificazione: modello mono-periodale;

omogeneità dei flussi materiali: modello multi-prodotto;

tipologia dei nodi logistici: modello multi-tipo;

tipologia dei nodi logistici: non vi sono flussi di fango fra nodi di uno stesso tipo e il modello è ad un livello;

frazionabilità della domanda: domanda frazionabile;

modalità di trasporto: collegamenti diretti.

1

2 2

2 1 1

1 1

1

1

1

1 2

2 2 2

2 1

1

1

1

1 2

2 2 2 2

Figura 4.3. Grafo bipartito del modello A.

I modelli multi-prodotto ad un livello sono indicati con l’acronimo MCOL (multi- commodity, one-level); poiché sono anche presenti vincoli di capacità (vincoli di tipo 3 come di seguito illustrati), l’indicazione completa del modello è MCOLCPL (multi-commodity, one-level, capacitated plant location).

Si ricorda che il modello A prevede la suddivisione del fango in base al tipo e una corrispondente tecnologia per il trattamento effettuabile nelle piattaforme. Per rendere più agevole l’interpretazione della formulazione matematica elaborata, si preferisce fare riferimento ad una schematizzazione grafica in cui il numero dei tipi di fanghi prodotti, e di conseguenza delle tecnologie installabili, è indicato numericamente piuttosto che come parametro letterale. Il numero scelto per i tipi di fanghi prodotti è 2; si sottolinea come tale scelta sia solamente dovuta alla necessità di semplificare l’esposizione della formulazione matematica che comunque, come si noterà, è facilmente adattabile ad un diverso numero di tipi di fanghi prodotti. In Figura 4.3 è riportati il grafo bipartito.

Nella parte sinistra del grafo bipartito di Figura 4.3 sono simbolicamente

rappresentati lungo la stessa verticale gli impianti di depurazione produttori dei

fanghi di depurazione. Tali impianti sono suddivisi in due insiemi a seconda del

tipo di fango prodotto che, come premesso, viene qui considerato di due diversi

tipi. Un impianto a seconda dell’insieme di cui fa parte, e quindi in funzione del

tipo di fango prodotto, è indicato col numero 1 o col numero 2 (i punti neri piccoli

indicano che il numero di impianti può essere qualsiasi). Nella parte destra del medesimo grafo bipartito sono invece rappresentate le potenziali piattaforme di trattamento del fango da attivare. La schematizzazione di tali piattaforme è articolata in righe e colonne. Ogni riga rappresenta un medesimo sito dove è attivabile una piattaforma. Per ogni sito (quindi per ogni riga), nel caso in cui venga attivato, sono possibili tre soluzioni (rappresentate dalle altrettante colonne):

attivazione della piattaforma con tecnologia che tratta il fango di tipo 1 (cerchio con numero 1);

attivazione della piattaforma con tecnologia che tratta il fango di tipo 2 (cerchio con numero 2);

attivazione della piattaforma che ha entrambe le tecnologie e tratta quindi i due tipi di fango.

Illustrando la formulazione matematica, si inizia col ripetere quanto già detto in merito allo scopo del modello: attivare un numero tale di piattaforme in modo da soddisfare l’intera domanda di trattamento dei quantitativi di fanghi prodotti dagli impianti di depurazione minimizzando i costi di trasporto e di trattamento dei fanghi (acquisto e costi di esercizio delle tecnologie). La condizione è che ogni tipo di fango sia trattato dal corrispondente tipo di tecnologia.

Si introducono ora le notazioni e le definizioni utilizzate per la formulazione matematica, suddividendoli in parametri da assegnare al modello (dati di input), in variabili (la soluzione numerica del modello fornisce il valore delle variabili che rendono minimo il costo della gestione dei fanghi espresso nella funzione obbiettivo) e nelle funzioni di costo.

Parametri

i : indice rappresentativo di ogni impianto di depurazione;

j : indice rappresentativo di ogni piattaforma di trattamento del fango;

r : indice rappresentativo di ogni tipo di tecnologia (in questo rappresenta due tecnologie);

r

V : è l’insieme che rappresenta gli impianti di depurazioni (indicati con i ) i cui

fanghi prodotti devono essere trattati dalla sola tecnologia r (in questo caso si hanno l’insiemi V e

V , il primo è quello i cui gli impianti di Figura 4.3 sono

indicati col numero 1, mentre nell’altro gli impianti sono indicati con il numero 2).

Se un impianto produce tutti e due i tipi di fango, deve essere posto in entrambi gli insiemi;

V : è l’insieme che rappresenta la totalità delle piattaforme installabili (indicate con

j);

h R

V : è l’insieme delle piattaforme attivabili di uno stesso sito indicato dall’indice h

(in Figura 4.3, h rappresenta ogni riga);

m C

V : è l’insieme delle piattaforme che prevedono una stessa tecnologia o la stessa

combinazione di tecnologia individuate dall’indice m (in Figura 4.3, m rappresenta ogni colonna che in questo caso, avendo fissato a due il numero delle tecnologie, sono 3 di cui due colonne prevedono una sola tecnologia, mentre la rimanente la combinazione delle due tecnologie);

r

V : è l’insieme delle piattaforme che hanno in comune la tecnologia di trattamento

r del fango (in questo caso esistono due insiemi formati ognuno dalla colonna di Figura 4.3 che prevede piattaforme con entrambe le tecnologie e con una colonna che prevede un solo tipo di tecnologia, o quella con il cerchio col numero 1 o quella con il cerchio col numero 2);

NO

V

: è l’insieme delle piattaforme che non possono essere sicuramente attivate;

SI

V

: è l’insieme delle piattaforme che devono essere attivate;

l : distanza stradale fra l’impianto di depurazione i e la piattaforma j;

d : quantità di fango prodotta dall’impianto di depurazione i ; l’indice r , per la

formulazione matematica elaborata, non è necessario, ma è comunque utile nel distinguere a quale tecnologia l’impianto i deve inviare i fanghi di depurazione prodotti;

r

max

q e q min

: capacità di trattamento massima e minima della tecnologia r prevista nella piattaforma j. Tali parametri sono necessari poiché ogni tecnologia ha una propria capacità di trattamento massima dei quantitativi di fango, mentre la capacità minima è una soglia al di sotto della quale non è più conveniente utilizzare la tecnologia (i motivi possono ad esempio essere di ordine economico).

Variabili

r

u : livello di attività della tecnologia r della piattaforma j (con livello di attività si

intende il quantitativo di fanghi trattati);

r

s : quantità di fango inviata dall’impianto

i verso la tecnologia r della piattaforma

j;

y : variabile binaria di localizzazione delle piattaforme: se vale 1, la piattaforma j è

attivata, se vale 0, la piattaforma j non è attivata. Naturalmente per una piattaforma j attivata u e

s sono diversi da zero, se invece non è attivata

u e

s devono

risultare uguali a zero.

Funzioni di costo

C

( s

) : è il costo di trasporto di una quantità di fango s dall’impianto

i alla tecnologia r della piattaforma j. L’espressione matematica con cui si calcola tale costo è la seguente:

i r r ij ij

ij

l cu

Q ) s s (

C = ⋅ ⋅ , dove, oltre ai termini noti, Q

rappresenta la capacità del veicolo assegnato ad ogni impianto di depurazione i per il trasporto dei fanghi e cu rappresenta il costo unitario

di trasporto (per unità di distanza percorsa) del veicolo la cui capacità è Q

(quindi assegnato ad ogni impianto un determinato veicolo, è automaticamente assegnato il relativo costo). Sia Q che

cu sono dei

parametri il cui valore deve essere assegnato come dato di input.

F

( u

) : è il costo di attivazione di una piattaforma di trattamento fango in relazione al livello di attività u della tecnologia prevista. L’espressione

matematica con cui si calcola tale costo è la seguente: F

( u

) = f

⋅ y

+ g

⋅ u

, dove, oltre ai termini noti, f è il termine di costo per l’avviamento (

set up ) ed è dato dalla somma dei costi di acquisto e di installazione della tecnologia.

Possono esservi aggiunti anche altri tipi di costo, come quelli sostenuti ad

esempio per opere edili necessarie all’installazione della tecnologia: in

generale tutti i costi dipendenti dalla presenza della tecnologia, ma

indipendenti dall’esercizio della stessa. Il termine g rappresenta invece il

costo unitario (per quantità di fango trattata) di esercizio della tecnologia r

prevista nella piattaforma j. Sia g che

f sono dei parametri da assegnare.

Segue la formulazione matematica del modello A , di cui, si ribadisce, è ipotizzato in

due il numero di tecnologie al solo fine di una migliore comprensione di quanto

esposto. L’indice r assume i valori di 1 e 2 che sono quindi esplicitati.

Funzione obbiettivo

MIN C ( s ) C ( s ) F ( u , u )

2 2

1 2

1 2

1 1

2 j V

2 j 1 j j V

i j V

2 ij ij V

i j V

1 ij

ij

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈ ∈

+ +

Vincoli vincoli tipo 1 :

∑

∈

∈

=

1

V1

i

1 2 1

j 1

ij

u , j V

s

∑

∈

∈

=

12

V i

2 2 2

j 2

ij

u , j V

s

vincoli tipo 2 :

∑

∈

∈

=

21

V j

1 1 1

i 1

ij

d , i V

s

∑

∈

∈

=

2

V2

j

2 1 2

i 2

ij

d , i V

s

vincoli tipo 3 :

∑

∈

≤ ⋅ ∈

≤

⋅

11

V i

1 2 j

1 j 1

ij j

1

j

y s q max y , j V

min q

∑

∈

∈

⋅

≤

≤

⋅

12

V i

2 2 j

2 j 2

ij j

2

j

y s q max y , j V

min q

vincoli tipo 4 :

∑

∈

⊂

≤

h R

V2

j

2 h

R 2

j

1 , V V

y

vincoli tipo 5 :

NO 2

j

0 , j V

y = ∈

SI 2

j

1 , j V

y = ∈

vincolo tipo 6 :

y

∈ { } 0 , 1 , j ∈ V

vincoli tipo 7 :

2 , 1 r , V j , V i , 0

s

≥ ∈

∈

= 2 , 1 r , V j , 0

u

≥ ∈

=

Si termina la presentazione del modello A commentando la funzione obbiettivo ed i vincoli.:

la funzione obbiettivo è la funzione che somma ogni costo relativo al modello sviluppato. Tale funzione deve avere come risultato il minimo costo fra tutti quelli dati dai diversi valori che possono assumere le variabili nel rispetto dei vincoli.

vincoli di tipo 1: questo tipo di vincolo è applicato separatamente ad ogni insieme V e per ogni piattaforma che gli appartiene. Impone alla tecnologia

r installa nella piattaforma appartenente a V che la somma dei quantitativi

di fango in ricezione sia uguale al livello di attività della stessa tecnologia;

vincoli di tipo 2: questo tipo di vincolo è applicato separatamente ad ogni insieme V e per ogni impianto che gli appartiene. Impone all’impianto che

la somma dei quantitativi di fango inviati verso le piattaforme sia uguale al quantitativo di fango prodotto dall’impianto stesso;

vincoli di tipo 3: questo tipo di vincolo è applicato separatamente ad ogni insieme V e per ogni piattaforma che gli appartiene. Impone alla tecnologia

r installa nella piattaforma appartenente a V che la somma dei quantitativi

di fango in ricezione sia minore o uguale alla capacità massima effettiva e maggiore o uguale a quella minima della tecnologia stessa. I vincoli di tipo 3 formulano anche la relazione logica “se la piattaforma j non è attivata, allora nessun quantitativo di fanghi può essere inviato alla piattaforma stessa”.

Quest’ultima condizione è ottenuta moltiplicando le capacità con la variabile binaria di localizzazione;

vincolo di tipo 4: per ogni insieme V delle piattaforme di uno stesso sito,

la sommatoria delle variabili binarie di localizzazione delle piattaforme appartenenti all’insieme deve essere minore o uguale ad 1. Il vincolo impone quindi che per ogni sito sia attivata al più una sola piattaforma;

vincoli di tipo 5: per le piattaforme appartenenti all’insieme V

la

variabile di localizzazione deve essere pari a 0, mentre per quelli appartenenti

a V

la variabile di localizzazione deve essere pari a 1. E’ quindi imposto,

rispettivamente, che alcune piattaforme non possano essere attivate, mentre

altre lo siano obbligatoriamente;

vincolo di tipo 6: si impone per ogni piattaforma che la corrispondente variabile binaria assuma il valore 0 o 1. Si dichiara quindi che la variabile y è binaria;

vincolo di tipo 7: impone a tutte le variabili s e

u di assumere un valore

maggiore o uguale a zero. Con questi tipo di vincoli sono limitate inferiormente le variabili dette che, altrimenti, tenderebbero ad assumere valori negativi per minimizzare la funzione obbiettivo, ma tale evenienza è fuori dalla realtà trattata dal modello in esame.

Per concludere la presentazione della formulazione matematica del modello A , si osserva come le piattaforme non attivate non incidano sul costo risultante dalla funzione obbiettivo (lo stesso ragionamento, ma all’opposto, vale per quelle attivate). Il costo di attivazione di una generica piattaforma è dato dall’espressione:

r j r j j j r j

j

( u ) f y g u

F = ⋅ + ⋅ . Se la piattaforma non è attivata la variabile binaria di localizzazione assume il valore 0 e quindi viene annullato il costo di avviamento. Il prodotto fra il livello di attività della tecnologia e il costo di esercizio della stessa, è invece azzerato grazie ai vincoli di tipo 3 e di tipo 1: grazie all’annullamento della variabile binaria di localizzazione, i vincoli di tipo 3 pongono le disuguaglianze

0 s 0

1r

V i

r ij

≤

≤ ∑

∈

, di conseguenza la somma dei quantitativi di fango inviati alla piattaforma deve essere nulla ( s 0

1r

V i

r ij

=

∑

∈

) e quindi, per i vincoli del tipo 1, è nullo il livello di attività u . La parte di costo della funzione obbiettivo dovuta al trasporto

dei fanghi, si annulla poiché, come appena spiegato, si ha s 0

r

V1

i r ij

=

∑

∈

.

4.2.1.2 Modello B

Si descrive ora il modello B di cui segue uno schematico riassunto dei suoi principali aspetti modellistici trattati al precedente paragrafo:

orizzonte di pianificazione: modello mono-periodale;

omogeneità dei flussi materiali: modello singolo prodotto;

tipologia dei nodi logistici: modello multi-tipo;

tipologia dei nodi logistici: non vi sono flussi di fango fra nodi di uno stesso tipo e il modello è ad un livello;

frazionabilità della domanda: domanda frazionabile;

modalità di trasporto: collegamenti diretti.

I modelli singolo prodotto ad un livello, con vincoli di capacità (vincoli di tipo 3),

sono indicati con l’acronimo SCOLCPL (single-commodity, one-level, capacitated

plant location).

Figura 4.4. Grafo bipartito del modello B.

Si ricorda che il modello B prevede il trattamento dei dati di un solo tipo di fango, una sola tecnologia, ma con la possibilità di scegliere fra due diverse capacità di trattamento della tecnologia stessa. In Figura 4.4 è riportati il grafo bipartito.

Nella parte sinistra del grafo bipartito di Figura 4.4 sono simbolicamente

rappresentati lungo la stessa verticale gli impianti di depurazione produttori dei

fanghi di depurazione. Come si nota gli impianti non sono suddivisi in più insiemi

come nel modello A poiché i fanghi prodotti sono dello stesso tipo. Nella parte

destra del medesimo grafo bipartito, sono invece rappresentate le potenziali

piattaforme di trattamento del fango da attivare. Vale la spiegazione riportata per il

grafo bipartito del modello A , salvo precisare che la tecnologia da installare è di un

solo tipo, ma con due diverse possibili capacità: quella con capacità maggiore reca il

segno più dell’addizione, mentre l’altra il meno della sottrazione. Si segnala inoltre

che la combinazione che prevede l’accoppiamento delle due tecnologie di minor

potenzialità non è qui preso in considerazione poiché si è voluto proporre già da

questo paragrafo una versione simile a quella realmente utilizzata nel caso di studio

della Valdinievole. In tale contesto, come meglio specificato al paragrafo 5.3, le due

diverse capacità di trattamento della tecnologia sono una il doppio dell’altra; il costo

di acquisto della tecnologia con capacità minore è invece più della metà di quello

della tecnologia con capacità maggiore. Si ha quindi che, dato l’obbiettivo di

minimizzazione dei costi, il modello preferirebbe sempre per un qualsiasi sito la

piattaforma che prevede una sola tecnologia con capacità maggiore piuttosto che la

piattaforma con due tecnologie di capacità inferiore. In generale è comunque

possibile aggiungere un’altra colonna in cui si preveda l’accoppiamento di due

tecnologie con capacità minore senza stravolgere la formulazione matematica.

Prima di passare all’illustrazione della formulazione matematica, si inizia col ripetere quanto già detto in merito allo scopo del modello: attivare un numero tale di piattaforme in modo da soddisfare l’intera domanda di trattamento dei quantitativi di fanghi prodotti dagli impianti di depurazione minimizzando i costi di trasporto e di trattamento dei fanghi (acquisto e costi di esercizio delle tecnologie).

In merito alle notazioni e alle definizioni utilizzate per la formulazione matematica, rimane valido quanto già spiegato per il modello A salvo l’assenza dell’indice r poiché il tipo di tecnologie installabili è unica. Il modello B presenta quindi la semplificazione di non dover indirizzare necessariamente certi tipi di fango verso determinate tecnologie. Un’ultima eccezione alla notazione è costituita dalle diverse capacità di trattamento della tecnologia: q min

e q max

sono, rispettivamente, la capacità minima e massima della tecnologia con capacità maggiore, mentre qmin e

2

max

q sono, rispettivamente, la capacità minima e massima della tecnologia con capacità minore.

La formulazione matematica è di seguito proposta; per i vincoli tipo 4 si specifica che è necessario suddividerli in base agli insiemi V , il cui indice m aumenta (da 1

a 4) dalle colonne di sinistra verso quelle di destra della tabella di Figura 4.4 in cui sono rappresentati le piattaforme di trattamento fango.

Funzione obbiettivo

MIN ∑ ∑ ∑

∈ ∈

+

1 2 2

V

i j V j V

j j ij

ij

( s ) F ( u )

C

Vincoli vincolo tipo 1:

∑

= ∈

V1

i

2 j

ij

u , j V

s

vincolo tipo 2:

∑

= ∈

V2

j

1 i

ij

d , i V

s

vincoli tipo 3:

1 C 2 j

1 j V

i ij j

1

j

y s q max y , j V

min q

1

∈

⋅

≤

≤

⋅ ∑

∈

2 C 2 j

2 j V

i ij j

2

j

y s q max y , j V

min q

1

∈

⋅

≤

≤

⋅ ∑

∈

3 C 2 j

2 j 1

j V

i ij j

2 j 1

j

q min ) y s ( q max q max ) y , j V

min q

( + ⋅ ≤ ∑ ≤ + ⋅ ∈

∈

4 C 2 j

V i

1 j ij

j 1

j

y s 2 q max y , j V

min q 2

1

∈

⋅

⋅

≤

≤

⋅

⋅ ∑

∈

vincoli tipo 4 :

∑

∈

⊂

≤

hR

V2

j

2 h

R 2

j

1 , V V

y

vincoli tipo 5 :

y

= 0 , j ∈ V

SI 2

j

1 , j V

y = ∈

vincoli tipo 6 :

{ }

j

0 , 1 , j V

y ∈ ∈

vincoli tipo 7 :

2 1

ij

0 , i V , j V

s ≥ ∈ ∈

2

j

0 , j V

u ≥ ∈

A conclusione della presentazione del modello B , si osserva che le modalità con cui le piattaforme non attivate non incidono sul costo risultante dalla funzione obbiettivo sono le medesime di quelle presenti nel modello A . E’ infine necessario puntualizzare che per quelle piattaforme appartenenti agli insiemi V e

V , non interessa

sapere come i quantitativi di fango che vi vengono inviati siano divisi dal modello fra le due tecnologie dello stesso tipo, ma di diversa capacità. Nel caso del territorio della Valdinievole preso in considerazione, le due tecnologie dello stesso tipo, ma di diversa capacità hanno infatti il medesimo costo di esercizio.

Al termine di questo paragrafo, si può concludere osservando che la formulazione matematica dei modelli sviluppati è sostanzialmente simile, mentre le possibilità di utilizzo sono profondamente diverse. Il modello A soprattutto nel caso di comprensori con numerosi tipi di impianti di depurazione appare il più promettente potendo trattare diversamente i vari tipi di fango.

4.2.2 Codici solutori

In questo paragrafo si tratta della risoluzione del modello, ovvero quel passaggio che permette attraverso un algoritmo di trovare una soluzione numerica al modello applicato ad un determinato problema (Figura 4.2).

Dato un problema di Programmazione Lineare, si dice che un algoritmo lo

risolve se è capace di determinare correttamente se il problema dato ha insieme

ammissibile vuoto oppure è illimitato oppure, se nessuno di questi due casi risulta

verificato, sia capace di individuare una soluzione ottima (Roma et al., 2003).

Esistono molti algoritmi per la risoluzione di problemi di PL, spesso implementati in pacchetti software molto diffusi e utilizzati (il Metodo del Simplesso è stato il primo algoritmo pratico per la risoluzione di problemi di PL ed è tuttora il più usato e uno dei più efficienti in pratica). L’accesso a tali software di un modello e dei dati propri del problema, avviene tramite la loro traduzione in strutture dati accessibili per un risolutore informatico. Grandi successi in campo matematico e un'enorme potenza di calcolo possono dar luogo a risolutori molto potenti, ma questi sono poco utili a livello applicativo se l'utente non dispone di un'interfaccia comoda verso il risolutore, ovvero di un software che gestisca modelli e dati appartenenti al modo reale e interroghi il risolutore. I generatori algebrici di modelli costituiscono quest'interfaccia, cioè si occupano di fornire al risolutore il modello e i dati in una struttura per lui comprensibile e forniscono all’utente la soluzione trovata dal solutore. Le caratteristiche principali dei generatori algebrici di modelli sono (Cordone et al., 2001):

fornire un linguaggio semplice per descrivere modelli complessi, un linguaggio che sia contemporaneamente ad alto livello, cioè comprensibile a un essere umano, e formalmente strutturato, cioè accessibile a un risolutore;

permettere all'utente di comunicare con il risolutore attraverso file di testo anziché attraverso strutture dati, in modo da non richiedergli conoscenze informatiche approfondite e da poter formulare il modello con un semplice editor, qualunque sia la piattaforma su cui viene scritto e quella su cui viene risolto;

permettere all'utente di comunicare con diversi risolutori, in modo da poter sfruttare i più potenti sul mercato, ovvero quelli disponibili tenere distinti la struttura logica del modello (variabili di decisioni, obiettivi, vincoli e le loro relazioni) dal valore dei dati numerici.

Il linguaggio utilizzato in questo studio per i modelli sviluppati (ed i dati per il modello B applicato al territorio della Valdinievole, paragrafo 5.3) è il linguaggio di modellazione ad alto livello AMPL , frequentemente utilizzato nella descrizione di modelli di Programmazione Matematica. Nell’Allegato 1 sono riportati i modelli sviluppati in questo paragrafo scritti in linguaggio AMPL . Le scritte precedute dal simbolo # sono commenti a spiegazione di quanto riportato; i vincoli recano il nome dei tipi secondo quanto illustrato per la formulazione matematica.

Una notevole mole di informazioni e di utili riferimenti in merito sia ai linguaggi di

modellazione che ai risolutori, è disponibile sulla rete Internet, in particolare si

segnala il sito di Neos Server riportato in bibliografia.